RW – 1.3
– dr inż. Jan Ruchel

1/4

Macierze - rozkład

Rodzaje macierzy

(ze względu na kształt i elementy macierzy)

Macierz zerowa

0

A

m,n

.

def

a

i,j

= 0 (m, n

– dowolne)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Macierz kwadratowa

A

n,n

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Macierz symetryczna

S

n,n

.

def

s

i,j

= s

j,i

5

0

3

0

1

2

3

2

1

Przekątna macierzy (przekątna główna) – a

i,i

Elementy o tym samym wskaźniku wiersza i kolumny

3

2

1

1

9

2

6

1

2

Macierz diagonalna

D

n,n

.

def

d

i,i

0 oraz d

i,j

= 0

1

0

0

0

4

0

0

0

3

RW – 1.3 – dr inż. Jan Ruchel

2/4

Macierze - rozkład

Macierz skalarna

S

n,n

.

def

s

i,i

= c (dla c 0) oraz s

i,j

= 0

3

0

0

0

3

0

0

0

3

Macierz jednostkowa E

E

n,n

.

def

e

i,i

= 1 oraz e

i,j

= 0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

Iloczyn skalaru przez macierz jednostkow

ą daje macierz skalarną

S = c * E

(np. S = 3 * E)

3

0

0

0

3

0

0

0

3

1

0

0

0

1

0

0

0

1

*

3

Iloczyn macierzy

A

T

*A

jest macierzą symetryczną

A

T

* A = S

2

1

1

0

2

1

2

0

1

2

1

1

6 1

1 5

*

Transpoza macierzy symetrycznej daje macierz pierwotną

N

T

= (A

T

* A)

T

= A

T

* A = N

Dla macierzy symetrycznej P iloczyn

m

m

m

n

n

n

T

n

m

N

A

P

A

,

,

,

,

*

*

daje macierz symetryczną

2

3

1

2

1

1

3

0

0

3

2

1 1

3

2

1

6

9

3

6

3

3

2

1 1

3

2

1

39

24

15

24

15

9

15

9

6

*

*

*

RW – 1.3 – dr inż. Jan Ruchel

3/4

Macierze - rozkład

Dla macierzy kwadratowych można zdefiniować potęgowanie

A * A = A

2

Macierz idempotentna A

A

2

= A

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

2

*

Macierz

elementarna

(trójkątna lub trapezowa)

Macierz zawi

erająca poniżej lub powyżej przekątnej same 0

2

1

0

0

3

2

1

0

4

3

2

1

1

0

0

2

1

0

3

2

1

0

0

0

0

0

0

2

0

5

3

0

0

3

1

0

0

0

5

RW – 1.3 – dr inż. Jan Ruchel

4/4

Macierze - rozkład

Rozkład macierzy na czynniki elementarne

Macierz

kwadratową

(n,n)

można rozłożyć na iloczyn dwóch macierzy

trójkątnych

(n,n)

, z których pierwsza składa się z elementów zerowych nad

przekątna główną, a druga ma elementy=0 pod przekątna główną

A

n,n

= H

T

n,n

* G

n,n

Elementy położone na przekątnej jednej z macierzy H lub G mogą być

dowolnie ustalonymi liczbami z wy

jątkiem zera. Najczęściej przyjmuje się na

przekątnej macierzy G jedynki

, a pozostałe elementy macierzy H i G

wyznacza się z definicji mnożenia macierzy.

Macierz

prostokątną poziomą (czyli m<n) można rozłożyć na iloczyn

macierzy trójkątnej H

m,m

i macierzy

trapezowej G o „m” wierszach i „n”

kolumnach

(identycznych rozmiarów , co macierz rozkładana).

A

m,n

= H

T

m,m

* G

m,n

Elementy na przekątnej macierzy G (mogą być ustalone jako = 1
(zalecane).

Przykład rozkładu macierzy

2

4

6

4

3

5

13

3

2

3

13

7

2

0

0

3

1

0

2

1

3

1

2

3

2

0

1

4

3

0

0

1

2

*

Macierz symetr

yczną można rozłożyć na iloczyn dwóch macierzy

(

z których jedna jest transpozą drugiej).

N

n,n

= R

T

n,n

* R

n,n

9

6

3

6

8

10

3

10

42

3

0

0

2

2

0

1

4

5

3

2

1

0

2

4

0

0

5

*

Macierz R nazywamy pierwiastkiem kwadratowym macierzy N.

UWAGA! ROZKŁAD I WSZYSTKIE INNE DZIAŁANIA NA MACIERZACH WYKONYWANE
„RĘCZNIE” NALEŻY WYKONYWAĆ ŁĄCZNIE Z KONTROLAMI SUMOWYMI.