MACIERZE

Równość macierzy

3

2

T

A

x

f

d

b

e

c

a

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

Macierz transponowana (przestawiona)

Dwie macierze A = [ a

ik

] i B = [ b

ik

] tego samego wymiaru n x m

nazywamy równymi, jeżeli odpowiadające sobie wyrazy obu
macierzy są równe, tzn. a

ik

= b

ik

dla i = 1, 2, …, n, k = 1, 2, …, m.

Macierzą transponowaną nazywamy macierz, która powstaje
z danej macierzy przez zamianę wierszy na kolumny, bez
zmiany ich kolejności. Macierz transponowaną względem
macierzy A oznaczamy symbolem A

T

. Jeżeli A = [ a

ik

]

n

x m

to

A

T

= [ b

ik

]

m

x n

, gdzie b

ik

= a

ki

.

2

3

A

x

f

e

d

c

b

a

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

Macierz zerowa

[

]

1 m

1 2

1 1

a

. . .

a

a

A

=

Macierz zerowa to taka, której wszystkie wyrazy są równe zero.

Macierz wierszowa (kolumnowa)

Macierz wierszowa (kolumnowa) to macierz o jednym wierszu

(jednej kolumnie).

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

n 1

2 1

1 1

b

.

.

.

b

b

B

Macierz symetryczna

Macierz symetryczna to macierz kwadratowa, której wyrazy
rozmieszczone są symetrycznie względem głównej przekątnej.

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

j

i

g

d

i

h

f

c

g

f

e

b

d

c

b

a

Macierz diagonalna (przekątna)

Macierz diagonalna to macierz
symetryczna, której wyrazy poza
główną przekątna są równe zero.

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

n n

2 2

1 1

a

. . .

0

0

.

. . .

.

.

0

. . .

a

0

0

. . .

0

a

Macierz jednostkowa

Macierz jednostkowa to macierz
diagonalna, której wyrazy na głównej
przekątnej są równe jeden.

A = [ a

ik

], gdzie a

ik

= 0, jeżeli i

≠ k;

a

ik

≠ 0, jeżeli i = k.

I = [ a

ik

], gdzie a

ik

= 0, jeżeli i

≠ k;

a

ik

= 1, jeżeli i = k.

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

1

. . .

0

0

.

. . .

.

.

0

. . .

1

0

0

. . .

0

1

I

Macierz osobliwa

Macierzą osobliwą nazywamy macierz A, której wyznacznik
jest równy zero, |A| = 0.

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

6

3-

1 0

-

5

A

Przykład:

Macierz nieosobliwa

Macierzą nieosobliwą nazywamy macierz A, której wyznacznik
jest różny od zera, |A|

≠ 0.

Dodawanie macierzy

Iloczyn macierzy przez liczbę

Dodawanie macierzy dotyczy macierzy o tym samym wymiarze:

A = [ a

ik

]

n

x m

, B = [ b

ik

]

n

x m

.

Iloczynem macierzy A = [ a

ik

]

m

x n

przez liczbę

α

nazywamy:

A + B = [a

ik

+ b

ik

]

n

x m

α

A = [

α

a

ik

]

m

x n

Iloczyn macierzy

Iloczynem macierzy A = [ a

ik

]

m

x r

i B = [ b

ik

]

r x n

nazywamy

macierz C = [ c

ik

]

m

x n

której wyrazy c

ik

są sumą iloczynów

wyrazów i – tego wiersza macierzy A przez k – tą kolumnę
macierzy

B.

c

ik

= a

i

1

b

1k

+ a

i

2

b

2k

+ . . . + a

ir

b

rk

∑

=

=

r

j

j k

i j

b

a

1

c

ik

i

-ty

wiersz

AB

→
A

k

–ta

kolumna

↓B

Przykład:

2

3

5

4

2-

3

2

1

A

x

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

3

2

2

0

1-

3

5

2

B

x

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

4

⋅3+5 ⋅2

4

⋅5+5 ⋅0

4

⋅2+5 ⋅(-1)

5

4

3

⋅3+(-2) ⋅2

3

⋅5+(-2) ⋅0

3

⋅2+(-2)⋅(-1)

-2

3

1

⋅3+2 ⋅2

1

⋅5+2 ⋅0

1

⋅2+2 ⋅(-1)

2

1

2

0

-1

3

5

2

3

3

2 2

2 0

3

5

1 5

8

7

5

0

C

x

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

Macierz odwrotna

Macierzą odwrotną A

-1

macierzy A nazywamy macierz, która

spełnia równości:

A

⋅A

-1

= I

A

-

1

⋅A = I

gdzie I to macierz jednostkowa.

Macierz dołączona

Macierz dołączona A

D

to macierz transponowana

(przestawiona) dopełnień algebraicznych wyrazów macierzy A.

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

n n

n

n

n

n

A

. . .

A

A

.

. . .

.

.

A

. . .

A

A

A

. . .

A

A

A

2

1

2

2 2

1 2

1

2 1

1 1

D

gdzie A

ik

to dopełniania algebraiczne

wyrazów a

ik

macierzy A

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

n n

n

n

n

n

a

. . .

a

a

.

. . .

.

.

a

. . .

a

a

a

. . .

a

a

A

2

1

2

2 2

2 1

1

1 2

1 1

Tw. 1

Jeżeli macierz kwadratowa A = [a

ik

] jest macierzą nieosobliwą

(|A|

≠0), to istnieje do niej dokładnie jedna macierz odwrotna A

-1

,

która jest równa macierzy dołączonej pomnożonej przez
odwrotność wyznacznika danej macierzy.

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

=

A

A

. . .

A

A

A

A

.

. . .

.

.

A

A

. . .

A

A

A

A

A

A

. . .

A

A

A

A

A

A

1

A

2

1

2

2 2

1 2

1

2 1

1 1

D

1-

n n

n

n

n

n

Przykład:

[ ]

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

=

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

3

6

3

1

1

1

1

2

4

5

4

2

1

6

4

3

1

6

5

3

2

1

1

2

1

2

1

3

1

2

1

3

2

1

1

5

4

2

1

6

4

2

1

6

5

M

i k

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

2

1

1

6

5

4

3

2

1

A

3

1 6

6

1 5

1 2

1 2

1 0

A

−

=

−

−

−

+

+

=

[ ]

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

=

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

−

−

−

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

3

6

3

1

1

1

1

2

4

M

︶

1

︵

M

︶

1

︵

M

︶

1

︵

M

︶

1

︵

M

︶

1

︵

M

︶

1

︵

M

︶

1

︵

M

︶

1

︵

M

︶

1

︵

A

3 3

3

3

3 2

2

3

3 1

1

3

2 3

3

2

2 2

2

2

2 1

1

2

1 3

3

1

1 2

2

1

1 1

1

1

i k

[ ]

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

=

=

3

1

1

6

1

2

3

1

4

A

A

T

D

i k

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

=

1

3

1

3

1

2

3

1

3

2

1

3

1

3

4

A

A

1

A

D

1-