Praca domowa nr 1

Zadanie 1

Wyznaczy¢ przedziaª, w którym f(x) = (x

2

− 3)e

x

jest jednocze±nie malej¡ca i wkl¦sªa.

Zadanie 2

Wyznaczy¢ wszystkie asymptoty wykresu funkcji f(x) = 3x + arctg

1

x

.

Zadanie 3

Wyznaczy¢ przedziaªy monotoniczno±ci oraz ekstrema funkcji f(x) = ln

3

x + 6 ln

2

x

.

Zadanie 4

Wykaza¢, »e funkcja f(x) =

3

√

x

nie ma pochodnej w punkcie x

0

= 0

.

Zadanie 5

Znale¹¢ najmniejsz¡ warto±¢ funkcji f(x) =

1

n

√

1+x

+

1

n

√

1−x

w przedziale [0, 1).

Zadanie 6

Wyznaczy¢ k¡t, pod jakim przecinaj¡ sie prosta y =

1
3

x

i parabola y = (x − 2)

2

w punkcie

(3, 1)

.

Zadanie 7

Wyznaczy¢ warto±ci parametrów a i b, dla których funkcja

f (x) =

(

x

2

,

dla x ≤ 1;

ax + b,

dla x > 1.

jest ró»niczkowalna w x

0

= 1

.

Zadanie 8

Niech f : R → R b¦dzie funkcj¡ parzyst¡ i ró»niczkowaln¡. Pokaza¢, »e f

0

(x)

jest funkcja

nieparzyst¡.

1

Zadanie 9

Sprawd¹ czy funkcja y = xe

−1/x

speªnia równanie ró»niczkowe:

x

3

y

00

− xy

0

+ y = 0

Zadanie 10

Na wykresie funkcji y = e

x

znajdz punkt, w którym styczna jest równolegªa do prostej

x − y + 7 = 0

. Napisz równanie tej stycznej.

Zadanie 11

Dla jakich warto±ci a i b punkt A(1; 3) jest punktem przegi¦cia krzywej y = ax

3

+ bx

2

?

Zadanie 12

Korzystaj¡c z ró»niczki zupeªnej obliczy¢ przybli»on¡ warto±¢ wyra»enia 0.99

0.99

.

Zadanie 13

Napisac wzór Taylora rzedu n dla funkcji f w otoczeniu x

0

, jesli

a)

f (x) = arcsin x

, n = 2, x

0

= 0

b)

f (x) = x cos x

, n = 4, x

0

= 0

c)

f (x) = x

3

ln x

, n = 4, x

0

= 1

Zadanie 14

Korzystaj¡c z rozwini¦cia Taylora obliczy¢:

1.

sin 0, 02

z dokªadno±ci¡ 10

−6

2.

ln 2

z dokªadno±ci¡ 10

−1

Zadanie 15

Wielomian f(x) = x

4

− 5x

3

+ x

2

− 3x + 4

przedstaw jako sum¦ pot¦g dwumianu x − 4.

Zadanie 16

Sprawdzic, czy podane funkcje speªniaja zaªozenia twierdzenia Rolle'a w podanych przedzi-
aªach:

a)

f (x) = x

3

+ 4x

2

− 7x − 10

, −1 ≤ x ≤ 2.

2

b)

f (x) =

π

4

− tg|x|

, −1 ≤ x ≤ 1.

Zadanie 17

Nie znajduj¡c pochodnej funkcji f(x) = (x+1)(x−2)(x−4)(x−5) oblicz ilo±¢ pierwiastków
równania f

0

(x) = 0

i podaj przedziaªy, w których one le»¡.

Zadanie 18

Sprawdzic, czy podane funkcje speªniaja zaªozenia twierdzenia Lagrange'a w podanych
przedziaªach:

a)

f (x) = x − x

2

, −2 ≤ x ≤ 1

b)

f (x) = arctgx

, 0 ≤ x ≤ 1

3