Metoda eliminacji Gaussa
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
1 / 52
Zakres zagadnie ´n
1
Carl Friedrich Gauss
2
Metoda eliminacji Gaussa
3
Macierze eliminacji
4
Permutacje
5
Macierz odwrotna
6
Zadania
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
2 / 52
Carl Friedrich Gauss
Ksi ˛
a˙ze matematyków
Carl Friedrich Gauß (Gauss) urodził si ˛e 30 kwietnia 1777 w
Brunszwiku, a zmarł 23 lutego 1855 w Getyndze. Był niemieckim
matematykiem, fizykiem, astronomem i geodet ˛
a. Jako malec nauczył
si ˛e czyta´c, a tak˙ze samodzielnie opanował proste rachunki. Jak sam
twierdził, nauczył si ˛e rachowa´c, zanim jeszcze zacz ˛
ał mówi´c. Jego
podobizna widniała na dziesi ˛eciomarkowym banknocie.
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
3 / 52
Metoda eliminacji Gaussa
Układ równa ´n:
a + 2b + c = 2
3a + 8b + c = 12
4b + c = 2
Zapiszmy jako:
Ax = b
Gdzie:
A - współczynniki znajduj ˛
ace si ˛e przy niewiadomych,
x - nasze niewiadome,
b - rozwi ˛
azanie równa ´n znajduj ˛
ace si ˛e po prawej stronie znaku
równo´sci.
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
4 / 52
Metoda eliminacji Gaussa
Układ równa ´n:
a + 2b + c = 2
3a + 8b + c = 12
4b + c = 2
Zapiszmy jako:
Ax = b
Gdzie:
A - współczynniki znajduj ˛
ace si ˛e przy niewiadomych,
x - nasze niewiadome,
b - rozwi ˛
azanie równa ´n znajduj ˛
ace si ˛e po prawej stronie znaku
równo´sci.
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
4 / 52
Metoda eliminacji Gaussa
Układ równa ´n:
a + 2b + c = 2
3a + 8b + c = 12
4b + c = 2
Zapiszmy jako:
Ax = b
Gdzie:
A - współczynniki znajduj ˛
ace si ˛e przy niewiadomych,
x - nasze niewiadome,
b - rozwi ˛
azanie równa ´n znajduj ˛
ace si ˛e po prawej stronie znaku
równo´sci.
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
4 / 52
Metoda eliminacji Gaussa
Układ równa ´n:
a + 2b + c = 2
3a + 8b + c = 12
4b + c = 2
Zapiszmy jako:
Ax = b
Gdzie:
A - współczynniki znajduj ˛
ace si ˛e przy niewiadomych,
x - nasze niewiadome,
b - rozwi ˛
azanie równa ´n znajduj ˛
ace si ˛e po prawej stronie znaku
równo´sci.
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
4 / 52
Metoda eliminacji Gaussa
Układ równa ´n:
a + 2b + c = 2
3a + 8b + c = 12
4b + c = 2
Zapiszmy jako:
Ax = b
Gdzie:
A - współczynniki znajduj ˛
ace si ˛e przy niewiadomych,
x - nasze niewiadome,
b - rozwi ˛
azanie równa ´n znajduj ˛
ace si ˛e po prawej stronie znaku
równo´sci.
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
4 / 52
Metoda eliminacji Gaussa
Układ równa ´n:
a + 2b + c = 2
3a + 8b + c = 12
4b + c = 2
Zapiszmy jako:
Ax = b
Gdzie:
A - współczynniki znajduj ˛
ace si ˛e przy niewiadomych,
x - nasze niewiadome,
b - rozwi ˛
azanie równa ´n znajduj ˛
ace si ˛e po prawej stronie znaku
równo´sci.
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
|
{z
}
A
·
a
b
c
|
{z
}
x
=
2
12
2
|
{z
}
b
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
5 / 52
Metoda eliminacji Gaussa
Diagonala
W przypadku rozwi ˛
azywania układów równa ´n tworzy si ˛e macierze
kwadratowe, których główna przek ˛
atna zawieraj ˛
aca elementy o
równych wska´znikach wiersza i kolumny nazywana jest diagonal ˛
a,
b ˛
ad´z główn ˛
a przek ˛
atn ˛
a macierzy.
x x
x
x
x x
x
x
x
← diagonala
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
6 / 52
Metoda eliminacji Gaussa
Niech m = wiersz, a n = kolumna,
Elementy macierzy numerujemy nast ˛epuj ˛
aco:
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
Tworzymy macierz współczynników A:
A =
1 2 1
3 8 1
0 4 1
Element osiowy
Pierwszy element w macierzy A w lewym górnym rogu nazywany jest
elementem osiowym (ang. pivot). Elementów osiowych szukamy na
omówionej wcze´sniej
diagonali.
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
7 / 52
Metoda eliminacji Gaussa
A =
1 2 1
3 8 1
0 4 1
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
8 / 52
Metoda eliminacji Gaussa
A =
1
2 1
3 8 1
0 4 1
Dokonujemy eliminacji wszystkich elementów niezerowych pod
elementem osiowym
(A
11
)
.
Mno˙zymy pierwszy wiersz przez −3 i dodajemy do drugiego
wiersza.
(
A
11
· −3) + A
21
=
0
(
A
12
· −3) + A
22
=
2
(
A
13
· −3) + A
23
= −
2
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
9 / 52
Metoda eliminacji Gaussa
A =
1
2 1
3 8 1
0 4 1
Dokonujemy eliminacji wszystkich elementów niezerowych pod
elementem osiowym
(A
11
)
.
Mno˙zymy pierwszy wiersz przez −3 i dodajemy do drugiego
wiersza.
(
A
11
· −3) + A
21
=
0
(
A
12
· −3) + A
22
=
2
(
A
13
· −3) + A
23
= −
2
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
9 / 52
Metoda eliminacji Gaussa
A =
1
2 1
3 8 1
0 4 1
Dokonujemy eliminacji wszystkich elementów niezerowych pod
elementem osiowym
(A
11
)
.
Mno˙zymy pierwszy wiersz przez −3 i dodajemy do drugiego
wiersza.
(
A
11
· −3) + A
21
=
0
(
A
12
· −3) + A
22
=
2
(
A
13
· −3) + A
23
= −
2
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
9 / 52
Metoda eliminacji Gaussa
A =
1
2 1
3 8 1
0 4 1
Dokonujemy eliminacji wszystkich elementów niezerowych pod
elementem osiowym
(A
11
)
.
Mno˙zymy pierwszy wiersz przez −3 i dodajemy do drugiego
wiersza.
(
A
11
· −3) + A
21
=
0
(
A
12
· −3) + A
22
=
2
(
A
13
· −3) + A
23
= −
2
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
9 / 52
Metoda eliminacji Gaussa
A =
1
2 1
3 8 1
0 4 1
Dokonujemy eliminacji wszystkich elementów niezerowych pod
elementem osiowym
(A
11
)
.
Mno˙zymy pierwszy wiersz przez −3 i dodajemy do drugiego
wiersza.
(
A
11
· −3) + A
21
=
0
(
A
12
· −3) + A
22
=
2
(
A
13
· −3) + A
23
= −
2
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
9 / 52
Metoda eliminacji Gaussa
Utworzyli´smy nowy drugi wiersz macierzy z wyzerowanymi
warto´sciami pod elementem osiowym:
A =
1 2 1
3 8 1
0 4 1
→
1 2
1
0 2 −2
0 4
1
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
10 / 52
Metoda eliminacji Gaussa
A =
1 2 1
3 8 1
0 4 1
→
1 2
1
0
2
−2
0 4
1
Kolejny element osiowy na diagonali:
2
Musimy pozby´c si ˛e 4 pod elementem osiowym.
Mno˙zymy drugi wiersz przez −2 i dodajemy do trzeciego wiersza.
(
A
21
· −2) + A
31
=
0
(
A
22
· −2) + A
32
=
0
(
A
23
· −2) + A
33
=
5
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
11 / 52
Metoda eliminacji Gaussa
A =
1 2 1
3 8 1
0 4 1
→
1 2
1
0
2
−2
0 4
1
Kolejny element osiowy na diagonali:
2
Musimy pozby´c si ˛e 4 pod elementem osiowym.
Mno˙zymy drugi wiersz przez −2 i dodajemy do trzeciego wiersza.
(
A
21
· −2) + A
31
=
0
(
A
22
· −2) + A
32
=
0
(
A
23
· −2) + A
33
=
5
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
11 / 52
Metoda eliminacji Gaussa
A =
1 2 1
3 8 1
0 4 1
→
1 2
1
0
2
−2
0 4
1
Kolejny element osiowy na diagonali:
2
Musimy pozby´c si ˛e 4 pod elementem osiowym.
Mno˙zymy drugi wiersz przez −2 i dodajemy do trzeciego wiersza.
(
A
21
· −2) + A
31
=
0
(
A
22
· −2) + A
32
=
0
(
A
23
· −2) + A
33
=
5
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
11 / 52
Metoda eliminacji Gaussa
A =
1 2 1
3 8 1
0 4 1
→
1 2
1
0
2
−2
0 4
1
Kolejny element osiowy na diagonali:
2
Musimy pozby´c si ˛e 4 pod elementem osiowym.
Mno˙zymy drugi wiersz przez −2 i dodajemy do trzeciego wiersza.
(
A
21
· −2) + A
31
=
0
(
A
22
· −2) + A
32
=
0
(
A
23
· −2) + A
33
=
5
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
11 / 52
Metoda eliminacji Gaussa
A =
1 2 1
3 8 1
0 4 1
→
1 2
1
0
2
−2
0 4
1
Kolejny element osiowy na diagonali:
2
Musimy pozby´c si ˛e 4 pod elementem osiowym.
Mno˙zymy drugi wiersz przez −2 i dodajemy do trzeciego wiersza.
(
A
21
· −2) + A
31
=
0
(
A
22
· −2) + A
32
=
0
(
A
23
· −2) + A
33
=
5
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
11 / 52
Metoda eliminacji Gaussa
A =
1 2 1
3 8 1
0 4 1
→
1 2
1
0
2
−2
0 4
1
Kolejny element osiowy na diagonali:
2
Musimy pozby´c si ˛e 4 pod elementem osiowym.
Mno˙zymy drugi wiersz przez −2 i dodajemy do trzeciego wiersza.
(
A
21
· −2) + A
31
=
0
(
A
22
· −2) + A
32
=
0
(
A
23
· −2) + A
33
=
5
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
11 / 52
Metoda eliminacji Gaussa
Utworzyli´smy nowy trzeci wiersz macierzy:
A =
1 2 1
3 8 1
0 4 1
→
1 2
1
0
2 −2
0 4
1
→
1 2
1
0
2 −2
0 0
5
Otrzyman ˛
a macierz U nazywamy macierz ˛
a górnotrójk ˛
atn ˛
a, która
zawiera same 0 pod główn ˛
a diagonal ˛
a macierzy.
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
12 / 52
Metoda eliminacji Gaussa
Utworzyli´smy nowy trzeci wiersz macierzy:
A =
1 2 1
3 8 1
0 4 1
→
1 2
1
0
2 −2
0 4
1
→
1 2
1
0
2 −2
0 0
5
Otrzyman ˛
a macierz U nazywamy macierz ˛
a górnotrójk ˛
atn ˛
a, która
zawiera same 0 pod główn ˛
a diagonal ˛
a macierzy.
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
12 / 52
Metoda eliminacji Gaussa
Utworzyli´smy nowy trzeci wiersz macierzy:
A =
1 2 1
3 8 1
0 4 1
→
1 2
1
0
2 −2
0 4
1
→
1 2
1
0
2 −2
0 0
5
=
U
Otrzyman ˛
a macierz U nazywamy macierz ˛
a górnotrójk ˛
atn ˛
a, która
zawiera same 0 pod główn ˛
a diagonal ˛
a macierzy.
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
13 / 52
Metoda eliminacji Gaussa
Utworzyli´smy nowy trzeci wiersz macierzy:
A =
1 2 1
3 8 1
0 4 1
→
1 2
1
0
2 −2
0 4
1
→
1 2
1
0
2 −2
0 0
5
=
U
Otrzyman ˛
a macierz U nazywamy macierz ˛
a górnotrójk ˛
atn ˛
a, która
zawiera same 0 pod główn ˛
a diagonal ˛
a macierzy.
Uwaga!
W przypadku, gdy element osiowy drog ˛
a eliminacji stanie si ˛e zerem,
musimy zamieni´c wiersz z wierszem znajduj ˛
acym si ˛e poni˙zej i
kontynuowa´c proces eliminacji.
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
14 / 52
Metoda eliminacji Gaussa
Macierz rozszerzona
Macierz A mo˙zna rozszerzy´c o wektor b b ˛ed ˛
acy rozwi ˛
azaniami układu
równa ´n. Powstaje wówczas
macierz rozszerzona.
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
15 / 52
Metoda eliminacji Gaussa
Macierz rozszerzona
Macierz A mo˙zna rozszerzy´c o wektor b b ˛ed ˛
acy rozwi ˛
azaniami układu
równa ´n. Powstaje wówczas
macierz rozszerzona
A =
1 2 1 |
2
3 8 1 | 12
0 4 1 |
2
W momencie stosowania eliminacji Gaussa mo˙zemy
jednocze´snie operowa´c na ostatniej kolumnie znajduj ˛
ac tym
samym warto´sci wektora b.
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
16 / 52
Metoda eliminacji Gaussa
Macierz rozszerzona
Macierz A mo˙zna rozszerzy´c o wektor b b ˛ed ˛
acy rozwi ˛
azaniami układu
równa ´n. Powstaje wówczas
macierz rozszerzona
A =
1 2 1 |
2
3 8 1 | 12
0 4 1 |
2
W momencie stosowania eliminacji Gaussa mo˙zemy
jednocze´snie operowa´c na ostatniej kolumnie znajduj ˛
ac tym
samym warto´sci wektora b.
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
16 / 52
Metoda eliminacji Gaussa
Zatem:
A =
1 2 1 |
2
3 8 1 | 12
0 4 1 |
2
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
17 / 52
Metoda eliminacji Gaussa
Zatem:
A =
1 2 1 |
2
3 8 1 | 12
0 4 1 |
2
→
1 2
1
| 2
0
2 −2 | 6
0 4
1
| 2
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
18 / 52
Metoda eliminacji Gaussa
Zatem:
A =
1 2 1 |
2
3 8 1 | 12
0 4 1 |
2
→
1 2
1
| 2
0
2 −2 | 6
0 4
1
| 2
→
1 2
1
|
2
0
2 −2 |
6
0 0
5
| −10
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
19 / 52
Metoda eliminacji Gaussa
Ostatecznie znaj ˛
ac posta´c macierzy U, oraz wektora b mo˙zemy
zapisa´c uproszczony układ równa ´n:
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
20 / 52
Metoda eliminacji Gaussa
Ostatecznie znaj ˛
ac posta´c macierzy U, oraz wektora b mo˙zemy
zapisa´c uproszczony układ równa ´n:
a + 2b + c = 2
2b − 2c = 6
5c = −10
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
21 / 52
Metoda eliminacji Gaussa
Ostatecznie znaj ˛
ac posta´c macierzy U, oraz wektora b mo˙zemy
zapisa´c uproszczony układ równa ´n:
a + 2b + c = 2
2b − 2c = 6
5c = −10
Rozwi ˛
azaniem układu równa ´n s ˛
a liczby a = 6, b = −1, c = −2
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
22 / 52
Metoda eliminacji Gaussa - ´cwiczenie
Rozwi ˛
a˙z metod ˛
a Gaussa równanie:
2a + 4b + −2c = 2
4a + 9b − 3c = 8
−2a − 3b + 7c = 10
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
23 / 52
Metoda eliminacji Gaussa - ´cwiczenie
Tworz ˛e rozszerzon ˛
a macierz A współczynników i wektora b:
A =
2
4
−2 |
2
4
9
−3 |
8
−2 −3
7
| 10
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
24 / 52
Metoda eliminacji Gaussa - ´cwiczenie
Tworz ˛e rozszerzon ˛
a macierz A współczynników i wektora b:
A =
2
4
−2 |
2
4
9
−3 |
8
−2 −3
7
| 10
Pierwszy element osiowy:
2
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
25 / 52
Metoda eliminacji Gaussa - ´cwiczenie
Tworz ˛e rozszerzon ˛
a macierz A współczynników i wektora b:
A =
2
4
−2 |
2
4
9
−3 |
8
−2 −3
7
| 10
Pierwszy element osiowy:
2
Chc ˛
ac pozby´c si ˛e najpierw 4 mno˙zymy pierwszy wiersz przez −2 i
dodajemy do drugiego:
(
A
11
· −2) + A
21
=
0
(
A
12
· −2) + A
22
=
1
(
A
13
· −2) + A
23
=
1
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
26 / 52
Metoda eliminacji Gaussa - ´cwiczenie
Tworz ˛e rozszerzon ˛
a macierz A współczynników i wektora b:
A =
2
4
−2 |
2
4
9
−3 |
8
−2 −3
7
| 10
Pierwszy element osiowy:
2
Chc ˛
ac pozby´c si ˛e najpierw 4 mno˙zymy pierwszy wiersz przez −2 i
dodajemy do drugiego:
(
A
11
· −2) + A
21
=
0
(
A
12
· −2) + A
22
=
1
(
A
13
· −2) + A
23
=
1
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
26 / 52
Metoda eliminacji Gaussa - ´cwiczenie
Tworz ˛e rozszerzon ˛
a macierz A współczynników i wektora b:
A =
2
4
−2 |
2
4
9
−3 |
8
−2 −3
7
| 10
Pierwszy element osiowy:
2
Chc ˛
ac pozby´c si ˛e najpierw 4 mno˙zymy pierwszy wiersz przez −2 i
dodajemy do drugiego:
(
A
11
· −2) + A
21
=
0
(
A
12
· −2) + A
22
=
1
(
A
13
· −2) + A
23
=
1
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
26 / 52
Metoda eliminacji Gaussa - ´cwiczenie
Tworz ˛e rozszerzon ˛
a macierz A współczynników i wektora b:
A =
2
4
−2 |
2
4
9
−3 |
8
−2 −3
7
| 10
Pierwszy element osiowy:
2
Chc ˛
ac pozby´c si ˛e najpierw 4 mno˙zymy pierwszy wiersz przez −2 i
dodajemy do drugiego:
(
A
11
· −2) + A
21
=
0
(
A
12
· −2) + A
22
=
1
(
A
13
· −2) + A
23
=
1
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
26 / 52
Metoda eliminacji Gaussa - ´cwiczenie
A =
2
4
−2 |
2
4
9
−3 |
8
−2
−3
7
| 10
→
2
4
−2 |
2
0
1
1
|
4
−2
−3
7
| 10
Pozbywamy si ˛e −2 pod pierwszym elementem osiowym.
Mno˙zymy pierwszy wiersz przez 1 i dodajemy do drugiego:
(
A
11
· 1) + A
31
=
0
(
A
12
· 1) + A
32
=
1
(
A
13
· 1) + A
33
=
5
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
27 / 52
Metoda eliminacji Gaussa - ´cwiczenie
A =
2
4
−2 |
2
4
9
−3 |
8
−2
−3
7
| 10
→
2
4
−2 |
2
0
1
1
|
4
−2
−3
7
| 10
Pozbywamy si ˛e −2 pod pierwszym elementem osiowym.
Mno˙zymy pierwszy wiersz przez 1 i dodajemy do drugiego:
(
A
11
· 1) + A
31
=
0
(
A
12
· 1) + A
32
=
1
(
A
13
· 1) + A
33
=
5
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
27 / 52
Metoda eliminacji Gaussa - ´cwiczenie
A =
2
4
−2 |
2
4
9
−3 |
8
−2
−3
7
| 10
→
2
4
−2 |
2
0
1
1
|
4
−2
−3
7
| 10
Pozbywamy si ˛e −2 pod pierwszym elementem osiowym.
Mno˙zymy pierwszy wiersz przez 1 i dodajemy do drugiego:
(
A
11
· 1) + A
31
=
0
(
A
12
· 1) + A
32
=
1
(
A
13
· 1) + A
33
=
5
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
27 / 52
Metoda eliminacji Gaussa - ´cwiczenie
A =
2
4
−2 |
2
4
9
−3 |
8
−2
−3
7
| 10
→
2
4
−2 |
2
0
1
1
|
4
−2
−3
7
| 10
Pozbywamy si ˛e −2 pod pierwszym elementem osiowym.
Mno˙zymy pierwszy wiersz przez 1 i dodajemy do drugiego:
(
A
11
· 1) + A
31
=
0
(
A
12
· 1) + A
32
=
1
(
A
13
· 1) + A
33
=
5
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
27 / 52
Metoda eliminacji Gaussa - ´cwiczenie
A =
2
4
−2 |
2
4
9
−3 |
8
−2
−3
7
| 10
→
2
4
−2 |
2
0
1
1
|
4
−2
−3
7
| 10
Pozbywamy si ˛e −2 pod pierwszym elementem osiowym.
Mno˙zymy pierwszy wiersz przez 1 i dodajemy do drugiego:
(
A
11
· 1) + A
31
=
0
(
A
12
· 1) + A
32
=
1
(
A
13
· 1) + A
33
=
5
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
27 / 52
Metoda eliminacji Gaussa - ´cwiczenie
A =
2
4
−2 |
2
4
9
−3 |
8
−2
−3
7
| 10
→
2
4
−2 |
2
0
1
1
|
4
−2
−3
7
| 10
Pozbywamy si ˛e −2 pod pierwszym elementem osiowym.
Mno˙zymy pierwszy wiersz przez 1 i dodajemy do drugiego:
(
A
11
· 1) + A
31
=
0
(
A
12
· 1) + A
32
=
1
(
A
13
· 1) + A
33
=
5
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
27 / 52
Metoda eliminacji Gaussa - ´cwiczenie
A =
2
4
−2 |
2
4
9
−3 |
8
−2 −3
7
| 10
→
2
4
−2 |
2
0
1
1
|
4
−2 −3
7
| 10
→
2 4 −2 |
2
0 1
1
|
4
0 1
5
| 12
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
28 / 52
Metoda eliminacji Gaussa - ´cwiczenie
A =
2
4
−2 |
2
4
9
−3 |
8
−2 −3
7
| 10
→
2
4
−2 |
2
0
1
1
|
4
−2 −3
7
| 10
→
2 4 −2 |
2
0
1
1
|
4
0 1
5
| 12
Drugi element osiowy:
1
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
29 / 52
Metoda eliminacji Gaussa - ´cwiczenie
A =
2
4
−2 |
2
4
9
−3 |
8
−2 −3
7
| 10
→
2
4
−2 |
2
0
1
1
|
4
−2 −3
7
| 10
→
2 4 −2 |
2
0
1
1
|
4
0
1
5
| 12
Drugi element osiowy:
1
Mno˙zymy drugi wiersz przez −1 i dodajemy do trzeciego:
(
A
21
· −1) + A
31
=
0
(
A
22
· −1) + A
32
=
0
(
A
23
· −1) + A
33
=
4
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
30 / 52
Metoda eliminacji Gaussa - ´cwiczenie
A =
2
4
−2 |
2
4
9
−3 |
8
−2 −3
7
| 10
→
2
4
−2 |
2
0
1
1
|
4
−2 −3
7
| 10
→
2 4 −2 |
2
0
1
1
|
4
0
1
5
| 12
Drugi element osiowy:
1
Mno˙zymy drugi wiersz przez −1 i dodajemy do trzeciego:
(
A
21
· −1) + A
31
=
0
(
A
22
· −1) + A
32
=
0
(
A
23
· −1) + A
33
=
4
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
30 / 52
Metoda eliminacji Gaussa - ´cwiczenie
A =
2
4
−2 |
2
4
9
−3 |
8
−2 −3
7
| 10
→
2
4
−2 |
2
0
1
1
|
4
−2 −3
7
| 10
→
2 4 −2 |
2
0
1
1
|
4
0
1
5
| 12
Drugi element osiowy:
1
Mno˙zymy drugi wiersz przez −1 i dodajemy do trzeciego:
(
A
21
· −1) + A
31
=
0
(
A
22
· −1) + A
32
=
0
(
A
23
· −1) + A
33
=
4
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
30 / 52
Metoda eliminacji Gaussa - ´cwiczenie
A =
2
4
−2 |
2
4
9
−3 |
8
−2 −3
7
| 10
→
2
4
−2 |
2
0
1
1
|
4
−2 −3
7
| 10
→
2 4 −2 |
2
0
1
1
|
4
0
1
5
| 12
Drugi element osiowy:
1
Mno˙zymy drugi wiersz przez −1 i dodajemy do trzeciego:
(
A
21
· −1) + A
31
=
0
(
A
22
· −1) + A
32
=
0
(
A
23
· −1) + A
33
=
4
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
30 / 52
Metoda eliminacji Gaussa - ´cwiczenie
A =
2
4
−2 |
2
4
9
−3 |
8
−2 −3
7
| 10
→
2
4
−2 |
2
0
1
1
|
4
−2 −3
7
| 10
→
2 4 −2 |
2
0
1
1
|
4
0 1
5
| 12
→
2 4 −2 | 2
0
1
1
| 4
0 0
4
| 8
=
U
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
31 / 52
Metoda eliminacji Gaussa - ´cwiczenie
Podstawiaj ˛
ac pod układ równa ´n otrzymujemy:
2a + 4b + −2c = 2
b + c = 4
4c = 8
Zatem: a = −1, b = 2, c = 2
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
32 / 52
Metoda eliminacji Gaussa - ´cwiczenie
Podstawiaj ˛
ac pod układ równa ´n otrzymujemy:
2a + 4b + −2c = 2
b + c = 4
4c = 8
Zatem: a = −1, b = 2, c = 2
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
32 / 52
Macierze eliminacji
Pierwszy przykład:
A =
1 2 1
3 8 1
0 4 1
Eliminacja elementu (2, 1) macierzy polegała na przekształceniu
macierzy poprzez pomno˙zenie pierwszego wiersza przez −3 i
dodanie go do drugiego wiersza.
Mo˙zemy to krótko zapisa´c w postaci mno˙zenia macierzy A przez
macierz elementarn ˛
a E
21
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
33 / 52
Macierze eliminacji
Pierwszy przykład:
A =
1 2 1
3 8 1
0 4 1
Eliminacja elementu (2, 1) macierzy polegała na przekształceniu
macierzy poprzez pomno˙zenie pierwszego wiersza przez −3 i
dodanie go do drugiego wiersza.
Mo˙zemy to krótko zapisa´c w postaci mno˙zenia macierzy A przez
macierz elementarn ˛
a E
21
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
33 / 52
Macierze eliminacji
Pierwszy przykład:
A =
1 2 1
3 8 1
0 4 1
Eliminacja elementu (2, 1) macierzy polegała na przekształceniu
macierzy poprzez pomno˙zenie pierwszego wiersza przez −3 i
dodanie go do drugiego wiersza.
Mo˙zemy to krótko zapisa´c w postaci mno˙zenia macierzy A przez
macierz elementarn ˛
a E
21
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
33 / 52
Macierze eliminacji
Pierwszy przykład:
A =
1 2 1
3 8 1
0 4 1
Eliminacja elementu (2, 1) macierzy polegała na przekształceniu
macierzy poprzez pomno˙zenie pierwszego wiersza przez −3 i
dodanie go do drugiego wiersza.
Mo˙zemy to krótko zapisa´c w postaci mno˙zenia macierzy A przez
macierz elementarn ˛
a E
21
E
21
A =
1
0 0
−3
1 0
0
0 1
|
{z
}
E
21
·
1 2 1
3 8 1
0 4 1
|
{z
}
A
=
1 2
1
0
2 −2
0 4
1
|
{z
}
E
21
A
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
34 / 52
Macierze eliminacji
E
21
A =
1 2
1
0 2 −2
0 4
1
Eliminacja elementu (3, 2) macierzy polegała na przekształceniu
macierzy poprzez pomno˙zenie drugiego wiersza przez −2 i
dodanie go do trzeciego wiersza.
Mo˙zemy to krótko zapisa´c w postaci mno˙zenia macierzyE
21
A
przez macierz elementarn ˛
a E
32
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
35 / 52
Macierze eliminacji
E
21
A =
1 2
1
0 2 −2
0 4
1
Eliminacja elementu (3, 2) macierzy polegała na przekształceniu
macierzy poprzez pomno˙zenie drugiego wiersza przez −2 i
dodanie go do trzeciego wiersza.
Mo˙zemy to krótko zapisa´c w postaci mno˙zenia macierzyE
21
A
przez macierz elementarn ˛
a E
32
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
35 / 52
Macierze eliminacji
E
21
A =
1 2
1
0 2 −2
0 4
1
Eliminacja elementu (3, 2) macierzy polegała na przekształceniu
macierzy poprzez pomno˙zenie drugiego wiersza przez −2 i
dodanie go do trzeciego wiersza.
Mo˙zemy to krótko zapisa´c w postaci mno˙zenia macierzyE
21
A
przez macierz elementarn ˛
a E
32
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
35 / 52
Macierze eliminacji
E
21
A =
1 2
1
0 2 −2
0 4
1
Eliminacja elementu (3, 2) macierzy polegała na przekształceniu
macierzy poprzez pomno˙zenie drugiego wiersza przez −2 i
dodanie go do trzeciego wiersza.
Mo˙zemy to krótko zapisa´c w postaci mno˙zenia macierzyE
21
A
przez macierz elementarn ˛
a E
32
E
32
(
E
21
A) =
1
0
0
0
1
0
0
−2
1
|
{z
}
E
32
·
1 2
1
0 2 −2
0 4
1
|
{z
}
(
E
21
A)
=
1 2
1
0 2 −2
0
0
5
|
{z
}
E
32
(
E
21
A)
=
U
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
36 / 52
Macierze eliminacji
Pami ˛etaj ˛
ac o tym, ˙ze mno˙zenie macierzy jest ł ˛
aczne mo˙zemy
wywnioskowa´c:
E
32
· E
21
· A = U
Uwaga!
Macierze eliminacji zawsze zapisujemy od ostatniej znalezionej ku
pierwszej co wynika z tego, ˙ze
mno˙zenie macierzy nie jest
przemienne.
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
37 / 52
Permutacje
Działanie permutacji
Macierze permutacji przekształcaj ˛
a macierze wzgl ˛edem kolumn lub
wierszy w zale˙zno´sci po której stronie równania wyst ˛epuj ˛
a.
Uwaga!
Nale˙zy pami ˛eta´c, ˙ze
macierz permutacji musi mie ´c ten sam wymiar
co macierz, na której działamy.
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
38 / 52
Permutacje
Macierz permutacji z prawej strony:
a
b
c
d
·
0 1
1 0
=
b
c
d
a
Mno˙z ˛
ac macierz przez macierz permutacji
z prawej strony
dokonujemy przekształce ´n kolumnowych. W efekcie w
powy˙zszym przypadku pierwsz ˛
a kolumn ˛e zapisujemy w miejsce
drugiej kolumny, a drug ˛
a kolumn ˛e w miejsce pierwszej kolumny.
Macierz permutacji z lewej strony:
0 1
1 0
·
a
b
c
d
=
c
d
a
b
Mno˙z ˛
ac macierz przez macierz permutacji
z lewej strony
dokonujemy przekształce ´n wierszowych.
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
39 / 52
Permutacje
Macierz permutacji z prawej strony:
a
b
c
d
·
0 1
1 0
=
b
c
d
a
Mno˙z ˛
ac macierz przez macierz permutacji
z prawej strony
dokonujemy przekształce ´n kolumnowych. W efekcie w
powy˙zszym przypadku pierwsz ˛
a kolumn ˛e zapisujemy w miejsce
drugiej kolumny, a drug ˛
a kolumn ˛e w miejsce pierwszej kolumny.
Macierz permutacji z lewej strony:
0 1
1 0
·
a
b
c
d
=
c
d
a
b
Mno˙z ˛
ac macierz przez macierz permutacji
z lewej strony
dokonujemy przekształce ´n wierszowych.
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
39 / 52
Permutacje
Macierz permutacji z prawej strony:
a
b
c
d
·
0 1
1 0
=
b
c
d
a
Mno˙z ˛
ac macierz przez macierz permutacji
z prawej strony
dokonujemy przekształce ´n kolumnowych. W efekcie w
powy˙zszym przypadku pierwsz ˛
a kolumn ˛e zapisujemy w miejsce
drugiej kolumny, a drug ˛
a kolumn ˛e w miejsce pierwszej kolumny.
Macierz permutacji z lewej strony:
0 1
1 0
·
a
b
c
d
=
c
d
a
b
Mno˙z ˛
ac macierz przez macierz permutacji
z lewej strony
dokonujemy przekształce ´n wierszowych.
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
39 / 52
Permutacje
Macierz permutacji z prawej strony:
a
b
c
d
·
0 1
1 0
=
b
c
d
a
Mno˙z ˛
ac macierz przez macierz permutacji
z prawej strony
dokonujemy przekształce ´n kolumnowych. W efekcie w
powy˙zszym przypadku pierwsz ˛
a kolumn ˛e zapisujemy w miejsce
drugiej kolumny, a drug ˛
a kolumn ˛e w miejsce pierwszej kolumny.
Macierz permutacji z lewej strony:
0 1
1 0
·
a
b
c
d
=
c
d
a
b
Mno˙z ˛
ac macierz przez macierz permutacji
z lewej strony
dokonujemy przekształce ´n wierszowych.
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
39 / 52
Permutacje - ´cwiczenie
Jaka macierz przekształca macierz A w macierz B ?
A =
4 8 9
5 2 3
4 9 1
B =
4 9 8
5 3 2
4 1 9
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
40 / 52
Permutacje - ´cwiczenie
Jaka macierz przekształca macierz A w macierz B ?
A =
4 8 9
5 2 3
4 9 1
B =
4 9 8
5 3 2
4 1 9
P =
1 0 0
0 0 1
0 1 0
Jest to macierz permutacji, która wyst ˛epuje
z prawej strony macierzy
A, gdy˙z dochodzi do przekształce ´n kolumnowych. Druga kolumna
została zamieniona z trzeci ˛
a.
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
41 / 52
Macierz odwrotna
Powró´cmy do jednej z macierzy eliminacji:
E
21
=
1
0 0
−3 1 0
0
0 1
Była to macierz mno˙z ˛
aca pierwszy wiersz przez −3 i dodaj ˛
aca
wynik do drugiego wiersza.
Szukaj ˛
ac macierzy do niej odwrotnej szukamy macierzy, która
cofa t ˛e operacj ˛e.
B ˛edzie to macierz, która
pomno˙zy pierwszy wiersz przez 3 i
doda do drugiego:
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
42 / 52
Macierz odwrotna
Powró´cmy do jednej z macierzy eliminacji:
E
21
=
1
0 0
−3 1 0
0
0 1
Była to macierz mno˙z ˛
aca pierwszy wiersz przez −3 i dodaj ˛
aca
wynik do drugiego wiersza.
Szukaj ˛
ac macierzy do niej odwrotnej szukamy macierzy, która
cofa t ˛e operacj ˛e.
B ˛edzie to macierz, która
pomno˙zy pierwszy wiersz przez 3 i
doda do drugiego:
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
42 / 52
Macierz odwrotna
Powró´cmy do jednej z macierzy eliminacji:
E
21
=
1
0 0
−3 1 0
0
0 1
Była to macierz mno˙z ˛
aca pierwszy wiersz przez −3 i dodaj ˛
aca
wynik do drugiego wiersza.
Szukaj ˛
ac macierzy do niej odwrotnej szukamy macierzy, która
cofa t ˛e operacj ˛e.
B ˛edzie to macierz, która
pomno˙zy pierwszy wiersz przez 3 i
doda do drugiego:
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
42 / 52
Macierz odwrotna
Powró´cmy do jednej z macierzy eliminacji:
E
21
=
1
0 0
−3 1 0
0
0 1
Była to macierz mno˙z ˛
aca pierwszy wiersz przez −3 i dodaj ˛
aca
wynik do drugiego wiersza.
Szukaj ˛
ac macierzy do niej odwrotnej szukamy macierzy, która
cofa t ˛e operacj ˛e.
B ˛edzie to macierz, która
pomno˙zy pierwszy wiersz przez 3 i
doda do drugiego:
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
42 / 52
Macierz odwrotna
Powró´cmy do jednej z macierzy eliminacji:
E
21
=
1
0 0
−3 1 0
0
0 1
Była to macierz mno˙z ˛
aca pierwszy wiersz przez −3 i dodaj ˛
aca
wynik do drugiego wiersza.
Szukaj ˛
ac macierzy do niej odwrotnej szukamy macierzy, która
cofa t ˛e operacj ˛e.
B ˛edzie to macierz, która
pomno˙zy pierwszy wiersz przez 3 i
doda do drugiego:
E
−1
21
=
1 0 0
3 1 0
0 0 1
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
43 / 52
Macierz odwrotna
Macierz identyczno´sciowa
Iloczyn macierzy i macierzy do niej odwrotnej daje
macierz
identyczno ´sciow ˛
a.
Zawiera ona jedynki na swojej
diagonali, oraz same zera.
1
0 0
−3 1 0
0
0 1
|
{z
}
E
21
·
1 0 0
3 1 0
0 0 1
|
{z
}
E
−1
21
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
=
I
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
44 / 52
Zadanie 1
Rozwi ˛
a˙z układ równa ´n metod ˛
a eliminacji Gaussa i znajd´z macierze
eliminacji:
a + b + c = 4
a + 2b + 4c = 8
a + 3b + 9c = 14
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
45 / 52
Zadanie 2
Znajd´z macierz permutacji, która przekształca macierz A do macierzy
B:
A =
7 17
2
1
2
5
7 14 32
B =
7 14 32
7 17
2
1
2
5
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
46 / 52
Zadanie 1 - rozwi ˛
azanie
A =
1 1 1 |
4
1 2 4 |
8
1 3 9 | 14
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
47 / 52
Zadanie 1 - rozwi ˛
azanie
A =
1 1 1 |
4
1 2 4 |
8
1 3 9 | 14
1Row ·−1
−−−−−→
1 1 1 |
4
0 1 3 |
4
0 2 8 | 10
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
48 / 52
Zadanie 1 - rozwi ˛
azanie
A =
1 1 1 |
4
1 2 4 |
8
1 3 9 | 14
1Row ·−1
−−−−−→
1 1 1 |
4
0 1 3 |
4
0 2 8 | 10
2Row ·−2
−−−−−→
1 1 1 | 4
0 1 3 | 4
0 0 2 | 2
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
49 / 52
Zadanie 1 - rozwi ˛
azanie
A =
1 1 1 |
4
1 2 4 |
8
1 3 9 | 14
1Row ·−1
−−−−−→
1 1 1 |
4
0 1 3 |
4
0 2 8 | 10
2Row ·−2
−−−−−→
1 1 1 | 4
0 1 3 | 4
0 0 2 | 2
a + b + c = 4
b + 3c = 4
2c = 2
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
50 / 52
Zadanie 1 - rozwi ˛
azanie
A =
1 1 1 |
4
1 2 4 |
8
1 3 9 | 14
1Row ·−1
−−−−−→
1 1 1 |
4
0 1 3 |
4
0 2 8 | 10
2Row ·−2
−−−−−→
1 1 1 | 4
0 1 3 | 4
0 0 2 | 2
a + b + c = 4
b + 3c = 4
2c = 2
a = 2, b = 1, c = 1
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
51 / 52
Zadanie 2 - rozwi ˛
azanie
0 1 0
0 0 1
1 0 0
·
7 17
2
1
2
5
7 14 32
=
7 14 32
7 17
2
1
2
5
Mikołaj Buda i Filip Wi´sniewski
15 grudnia 2012
52 / 52
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
02 oprac Gauss
Prez 02 11 30
Adonis prez 22 02 10
Prez 02 09 45
prez konf01 02
Wyk 02 Pneumatyczne elementy
Prez etyka materiały1
02 OperowanieDanymiid 3913 ppt
Prez etyka materialy7
02 Boża radość Ne MSZA ŚWIĘTAid 3583 ppt
OC 02
PD W1 Wprowadzenie do PD(2010 10 02) 1 1
02 Pojęcie i podziały prawaid 3482 ppt
WYKŁAD 02 SterowCyfrowe
więcej podobnych podstron