Automatyka i Robotyka

2011/12

Fizyka 1

Materiały do wykładu 5

02 11 2011

x

M

m

punktowa masa M

źródło pola

W

1

W

2

x

1

x

2

⃗

F

g

W

1

=

∫

x

1

x

2

−

F dx = (−1)

∫

x

1

x

2

G M m

x

2

dx = (−G M m)

[

(−

1)

x

]

x

1

x

2

=

G M m

[

1

x

2

−

1

x

1

]

praca siły grawitacji

W

2

=

∫

x

2

x

1

−

F dx = (−1)

∫

x

2

x

1

G M m

x

2

dx = (−G M m)

[

(−

1)

x

]

x

2

x

1

=

G M m

[

1

x

1

−

1

x

2

]

W

1

+

W

2

=

0

W =

∫

x

∞

⃗

F⋅⃗

dx = (−1)

∫

x

∞

G M m

x

2

dx =

−

G M m

x

W =

∫

x

∞

−

dE

p

= (−

1)( E

p ∞

−

E

px

) =

E

px

−

E

p ∞

x=∞ F

g

=

0 E

p ∞

=

0

W = E

px

=

−

G M m

x

E

px

=

−

G M m

x

energia potencjalna masy punktowej m w polu punktowej masy M

potencjał pola grawitacyjnego punktowej masy M

V =

E

p

(

x)

m

=

−

G M

x

V (x)

x

M

M

linie sił

π

2

⃗

F

g

powierzchnia ekwipotencjalna V = const.

siła sprężystości

m

k

m

x=0

m

F

F

x

x

x

⃗

F = −k ⃗x

x

F

x

x

W

0, x

=

∫

0

x

⃗

F⋅⃗

dx =

∫

0

x

−

kx dx=−k

[

x

2

2

]

0

x

W

0, x

= −

1
2

k x

2

praca siły sprężystości

W

x ,0

=

∫

x

o

⃗

F⋅⃗

dx =

∫

x

0

−

kx dx=−k

[

x

2

2

]

x

0

W

x ,0

=

1

2

k x

2

m

x

⃗

F

0

m

x

⃗

F

0

W

0,0

=

W

0, x

+

W

x ,0

=−

1
2

k x

2

+

1
2

k x

2

=

0

energia potencjalna siły sprężystości

m

x

⃗

F

0

x

E

p

(

x) = E

p

(

0)−W

0, x

=

0−(

−

k x

2

2

) =

1

2

k x

2

E

p

(

0)+Δ E

p

=

E

p

(

x)

W

0, x

=−Δ

E

p

=

E

p

(

0)−E

p

(

x)

E

p

(

0)=0

E

p

(

x) =

1
2

k x

2

E

p

x

m

x

⃗

F

0

m

x

⃗

F

0

k

1

k

2

k

2

>

k

1

x

F

k

1

k

2

E

p

x

k

1

k

2

⃗

∇ =

∂

∂

x

⃗i+ ∂

∂

y

⃗j+ ∂

∂

z

⃗k

operator nabla

⃗

∇ ⋅

A=

∂

A

∂

x

⃗i+

∂

A

∂

y

⃗j+

∂

A

∂

z

⃗k

gradient funkcji skalarnej A

⃗

F = − ⃗

∇

E

p

= −

grad E

p

siła = - gradient energii potencjalnej

⃗

F = − ⃗

∇

E

p

=− (

∂

E

p

∂

x

⃗i+

∂

E

p

∂

y

⃗j+

∂

E

p

∂

z

⃗k)

x

y

z

E

p1

=

const

E

p2

=

const>E

p1

⃗

F

F

x

= −

∂

E

p

∂

x

F

y

= −

∂

E

p

∂

y

F

z

= −

∂

E

p

∂

z

F

x

= −

∂

E

p

∂

x

=

0

F

y

= −

∂

E

p

∂

y

=

0

F

z

= −

∂

E

p

∂

z

<

0

∂

E

p

∂

z

>

0

x

y

s

α

ds

dy

E

pg

=

mg y

F

s

= −

dE

pg

ds

=−(

d E

pg

dy

dy

ds

) = −

d E

pg

dy

sin α

F

s

=

F

y

sin α = −mg sin α

mg

mg sin α

dy =ds sin α

E

p

x

dx

d E

p

⃗

F

E

p

x

dx

d E

p

⃗

F

E

p

x

⃗

F

⃗

F

⃗

F

⃗

F

⃗

F = 0

x

A

x

B

x

C

x

D

∂

E

p

∂

x

=

0

równowaga

x

A

−

równowaga trwała

x

D

−

równowaga nietrwała

x∈x

B

, x

C

−

równowaga obojętna

E

p

x

∣

F∣

∣

F∣

∣

F∣

∣

F∣

∣

F∣= const

y

m

k

x

E

c

=

E

pg

+

E

ps

=

m g y +

k x

2

2

y =0 E

pg

=

0

h

y =h−x

E

c

=

m g (h− x) +

k x

2

2

d E

c

d x

=−

mg +k x = 0

x =

mg

k

stan równowagi masy m

0

x =0 E

ps

=

0

x[m]

E [ J ]

1

2

3

4

2

4

6

0

5

6

7

8

8

t=0

E

c

=

5J

obszar
niedostępny

obszar
niedostępny

możliwe położenia dla t>0:

2

3
8

m≤x≤7m

x[m]

E [ J ]

1

2

3

4

2

4

6

0

5

6

7

8

8

E

c

=

5J

obszar
niedostępny

obszar
niedostępny

E

p

E

k

=

E

c

−

E

p

E

k

E

k

→

E

k max

⇒

E

p

→

E

p min

x=3m E

p

=

E

p min

=

0 E

k

=

E

k max

=

5J−0 J =5 J

Pyt.1

x=3m

V

max

=

√

2 E

k max

2

=

√

5

m

s

x[m]

E [ J ]

1

2

3

4

2

4

6

0

5

6

7

8

8

E

c

=

5J

obszar
niedostępny

⃗

F

1

Pyt.2.

⃗

F

2

⃗

F

3

⃗

F

4

⃗

F

5

2m≤x≤3m F

1

=−

0J−8J

3m−2m

=

8N

3m≤x≤4m F

2

=−

4J−0J

4m−3m

=−

4N

4m≤ x≤5m F

3

=−

4J−4J

5m−4m

=

0N

obszar
niedostępny

5m≤ x≤6m F

4

=−

2J−4J

6m−5m

=

2N

6m≤ x≤7m F

5

=−

5J−2J

7m−6m

=−

3N

2

3

8

m≤x≤3m F

1

=

F

max

=

8N

zwrot siły zgodny z osią x