1

Jednowymiarowa zmienna losowa

Przykład

Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek.

• Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ) , gdzie

1* przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = { ω

1

, ω

2

, . . . , ω

6

} , ω

i

jest zdarzeniem elementarnym

polegajacym na wyrzuceniu i oczek;

2* ciało zdarzeń określamy jako rodzinę wszystkich podzbiorów przestrzeni Ω , tj.

S =



∅, {ω

1

} , {ω

2

} , . . . , {ω

1

, ω

2

} , . . . , Ω



(Rodzina S składa się z 2

6

elementów)

3* zakładamy, że zdarzenia elementarne {ω

i

} są jednakowo prawdopodobne, tj. P ( {ω

i

} ) =

1
6

, gdzie i = 1, 2, . . . , 6 . Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A ∈ S określamy

wzorem:

P (A) =

ilość zdarzeń element. składających się na zd. A

ilość wszystkich zdarzeń element. prz. Ω

(klasyczna definicja prawdopodobieństwa)

• Rozważmy funkcję określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω i przyjmującą wartości

rzeczywiste

X : Ω → R

X( ω

i

) = i

i = 1, 2, . . . , 6

Funkcję X nazywamy zmienną losową na przestrzeni Ω .

Ogólnie na przestrzeni Ω możemy określić wiele zmiennych losowych, np.

Y : Ω → R

Y ( ω

1

) = Y ( ω

2

) = Y ( ω

3

) = Y ( ω

4

) = Y ( ω

5

) = −1

Y ( ω

6

) = 10

(Funkcja Y

może być opisem gry:

wyrzucisz 6 -

wygrywasz 10 zł,

nie wyrzucisz 6

-

przegrywasz 1 zł)

2

Uwaga

Jeżeli Ω jest zbiorem przeliczalnym a S jest rodziną wszystkich podzbiorów przestrzeni

Ω , to każdą funkcję X

: Ω → R można nazwać zmienną losową. W ogólności, gdy Ω jest

zbiorem nieprzeliczalnym, tak nie jest.

Definicja

(Zmiennej losowej)

Jednowymiarową zmienną losową w przestrzeni probabilistycznej (Ω, S, P ) nazywamy każdą funkcję

X : Ω → R taką, że dla dowolnie wybranej liczby rzeczywistej x ∈ R zbiór



ω ∈ Ω : X(ω) < x



jest zdarzeniem losowym tzn. jest elementem rodziny S .

Liczby rzeczywiste X(ω

1

) = x

1

, X(ω

2

) = x

2

, . . .

ω

i

∈ Ω , nazywamy realizacjami zmiennej losowej

X .

Fakt

Jeżeli A jest zbiorem borelowskim na R i X : Ω → R jest zmienną losową w p.p.

(Ω, S, P ) , to zbiór



ω ∈ Ω : X(ω) ∈ A



jest zdarzeniem losowym.

Zatem zdarzeniami losowymi są zbiory:



ω ∈ Ω : X(ω) = x





ω ∈ Ω : X(ω) 6= x





ω ∈ Ω : X(ω) < x





ω ∈ Ω : X(ω) > x





ω ∈ Ω : X(ω) 6 x





ω ∈ Ω : X(ω) > x





ω ∈ Ω : X(ω) ∈ (a, b)





ω ∈ Ω : X(ω) ∈ (a, b]





ω ∈ Ω : X(ω) ∈ [a, b)





ω ∈ Ω : X(ω) ∈ [a, b]



Uwaga

Stosować będziemy następujący zapis skrócony:



ω ∈ Ω : X(ω) ∈ (a, b)



ozn.

=

( a < X < b )

P

 

ω ∈ Ω : X(ω) ∈ (a, b)

 

ozn.

=

P ( a < X < b )

Twierdzenie

Jeżeli X

:

Ω

→ R jest zm. los. w p.p. (Ω, S, P ) a h(x) jest funkcją

przedziałami ciagłą, której dziedzina zawiera zbiór wartości X(ω) , to Y (ω) = h



X(ω)



jest też

zm. los. w p.p. (Ω, S, P ) .

3

Przykład

Jeżeli X : Ω → R jest zm. los. w p.p. (Ω, S, P ) , to

Y = aX + b

Z = X

2

W = cos X

V = e

X

są zmiennymi losowymi w p.p. (Ω, S, P ) .

Zmienna losowa skokowa

Definicja

Zmienna losowa X określona w p.p. (Ω, S, P ) nazywa się zmienną losową skokową

(dyskretną) jeżeli istnieje co najwyżej przeliczalny zbiór W

X

= { x

1

, x

2

, . . . } jej możliwych wartości

taki, że















P ( X = x

i

) = p

i

> 0

dla wszystkich x

i

∈ W

X

P

i : x

i

∈W

X

p

i

= 1.

• x

i

- punkt skokowy zmiennej losowej X

• p

i

- skok zmiennej losowej X w punkcie x

i

Uwaga

Zm. los. skokowa może przyjmować inne wartości poza punktami skokowymi, ale P (X =

x) = 0 , gdy x /

∈ W

X

.

Definicja Funkcją prawdopodobieństwa skokowej zmiennej losowej X nazywamy przyporządkowanie

x

i

→ p

i

,

x

i

∈ W

X

, określone wzorem:

P ( X = x

i

) = p

i

,

x

i

∈ W

X

.

Uwaga

Funkcję p-stwa często określamy tabelą:

X :

x

i

x

1

x

2

. . .

p

i

p

1

p

2

. . .

4

Twierdzenie

Niech X jest skokową zm. los. w p.p. (Ω, S, P ) o funkcji p-stwa P ( X = x

i

) =

p

i

,

x

i

∈ W

X

. Wówczas p-stwo przyjęcia przez zm. los. X wartości ze zbioru borelowskiego A ⊂ R

wyraża się wzorem:

P ( X ∈ A ) =

X

i : x

i

∈A

p

i

.

Przykład

Niech

X :

x

i

−1

1

3

p

i

0, 5

0, 2

0, 3

Oblicz: P (X > 2) ,

P (−1 6 X 6

3
2

) .

Definicja

(Wartości oczekiwanej (przeciętnej))

Wartością oczekiwaną skokowej zm. los. X o zbiorze punktów skokowych W

X

= { x

1

, x

2

, . . . } i

skokach p

i

= P ( X = x

i

) nazywamy liczbę

E X =

X

i : x

i

∈W

X

x

i

· p

i

,

o ile, w przypadku nieskończonej liczby punktów skokowych, szereg jest bezwzględnie zbieżny.

Przykład

Oblicz wartość oczekiwaną dla zmiennej losowej z poprzedniego przykładu.

Przykład

Czy zmienna losowa

X

o funkcji p-stwa

P ( X = x

i

)

=

2 ·



1
3



i

, gdzie

x

i

=

(−3)

i−1

i

,

i = 1, 2, . . . posiada wartość oczekiwaną?

Uwaga

• Nie każda zmienna losowa posiada wartość oczekiwaną.

• Jeżeli skokowa zm. los. ma skończony zbiór punktów skokowych, to posiada wartość oczekiwaną.

Przykład

Dokonujemy niezależnych prób wyprodukowanych przedmiotów dla dużej partii.

Wiadomo, że p-stwo pomyślnego przejścia przez próbę każdego przedmiotu wynosi 0,9. Doświadczenie

kończy się, gdy dojdziemy do pierwszego przedmiotu, który nie wytrzyma próby. Oblicz:

5

a) p-stwo, że liczba prób będzie większa niż 3;

b) wartość oczekiwaną E X , gdzie zm. los. X opisuje liczbę prób.

Definicja

(Wartości oczekiwanej funkcji zmiennej losowej)

Jeżeli dana jest funkcja p-stwa skokowej zm. los. X : P ( X = x

i

) = p

i

> 0, x

i

∈ W

X

oraz

określona jest zm. los. Y = h(X) , to wartość oczekiwaną zm. los. Y określamy wzorem:

E Y =

X

i : x

i

∈W

X

h(x

i

) · p

i

,

o ile, w przypadku nieskończonej liczby punktów skokowych, szereg jest bezwzględnie zbieżny.

Przykład

a) Niech

X :

x

i

1

4

p

i

0, 3

0, 7

oraz niech Y = 2X − 1 i Z = X

2

. Oblicz E Y + E Z .

b) Niech

X :

x

i

0

1

2

p

i

0, 3

0, 4

0, 3

oraz niech Y = −2X + 1 . Oblicz E Y .

6

Dystrybuanta zmienna losowej

Definicja

Dystrybuantą jednowymiarowej zm. los. X

w p.p. (Ω, S, P ) nazywamy funkcję

F : R → [0, 1] określoną wzorem:

F (x) = P



{ω ∈ Ω : X(ω) < x}



= P



X < x



.

Fakt

Dystrybuanta skokowej zm. los. X

o funkcji p-stwa P ( X = x

i

) = p

i

wyraża się

wzorem:

F (x) = P



X < x



=

X

x

i

<x

P (X = x

i

) =

X

x

i

<x

p

i

.

Przykład

a) Niech

X :

x

i

−1

2

p

i

0, 4

0, 6

Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej X .

b) Niech

X :

x

i

−1

2

3

p

i

1
3

1
3

1
3

Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej X .

Uwaga Dystrybuanta skokowej zm. los. jest funkcją przedziałami stałą i w punktach nieciągłości

x

i

ma skoki p

i

= P ( X = x

i

) , których suma wynosi 1 .

Twierdzenie

(Podstawowe własności dystrybuanty zm. los. dowolnego typu)

Funkcja F : R → [0, 1] jest dystrybuantą pewnej zm. los. wtedy i tylko wtedy, gdy

• F jest funkcją niemalejącą:

∀

x

1

,x

2

∈R

x

1

< x

2

⇒ F (x

1

)

6 F (x

2

)

7

• F jest funkcją ciągłą lub co najmniej lewostronnie ciągłą:

∀

x

0

∈R

lim

x→x

−
0

F (x) = F (x

0

)

•

lim

x→+∞

F (x)

ozn.

= F (+∞) = 1

lim

x→−∞

F (x)

ozn.

= F (−∞) = 0 .

Przykład

a) Funkcja F (x) = sin x, x ∈ R nie jest dystrybuantą żadnej zmiennej losowej, bo nie spełnia

warunków 1 i 3 twierdzenia.

b) Niech

F (x) =



























0

x 6 0

sin x

0 < x

6

π

2

1

x >

π

2

Powyższa funkcja jest dystrybuantą pewnej zm. los., gdyż spełnia wszystkie założenia twierdzenia,

ale nie jest to dystrybuanta zm. los. skokowej.

c) Rozważmy funkcję F

o danym wykresie. Czy F

jest dystrybuantą pewnej zm. los., czy jest

dystrybuantą zm. los. skokowej?

Twierdzenie

(Obliczanie p-stwa, gdy dana jest dystrybuanta)

Jeżeli F jest dystrybuantą zm. los. X dowolnego typu w p.p. (Ω, S, P ) , to

P (a 6 X < b) = F (b) − F (a)

oraz

P (X = a) = F (a

+

) − F (a), gdzie F (a

+

) = lim

x→a

+

F (x).

8

Wniosek

Jeżeli dystrybuanta jest funkcją ciągłą w punkcie x = a , to P (X = a) = F (a

+

) −

F (a) = 0 .

Przykład

a) Dana jest dystrybuanta zm. los. X typu skokowego:

F (x) =







































0

x 6 −1

0, 2

−1 < x 6 1

0, 3

1 < x

6 3

1

x > 3

Wyznaczyć funkcję p-stwa zm. los. X oraz obliczyć P (X

> 2) . b) Dana jest dystrybuanta zm.

los. X typu skokowego:

F (x) =



























0

x 6 −2

0, 5

−2 < x 6 1

1

x > 1

O bliczyć P (X = 1) , P (X = 0, 5) , P (−3

6 X < 0, 5) .

Przykład

Za pomocą dystrybuanty F zm. los. X wyrazić p-stwa:

a)

P (a 6 X 6 b)

b)

P (a < X < b)

oraz P (X

> a) , P (X 6 a) , P (a < X 6 b) .

Zmienne losowe typu ciągłego

Wstęp

Zmiennej losowej typu skokowego odpowieda w mechanice rozkład masy jednostkowej na odosobnione,

poszczególne punkty zbioru przeliczalnego W

X

.

X

p

i

= 1

9

Zmiennej losowej typu ciągłego odpowieda w mechanice rozkład ciągłej masy jednostkowej w

przedziale.

|P | = 1

m =

b

Z

a

f (x) dx = 1

f (x) − gęstość masy

Definicja

Zmienną losową X

o dystrybuancie F

nazywamy zm. los. typu ciągłego, jeżeli

istnieje taka funkcja f (x) nieujemna ( f (x)

> 0 ) i całkowalna na R (tzn. dla dowolnego x ∈ R

zbieżna jest całka

x

R

−∞

f (t) dt ), że dystrybuantę F można dla dowolnego x ∈ R przedstawić w

postaci:

F (x) =

x

Z

−∞

f (t) dt.

Funkcję podcałkową f nazywamy wówczas gęstością rozkładu p-stwa zm. los. X .

Uwaga

Wzór powyższy pozwala wyznaczyć dystrybuantę, gdy dana jest gęstość rozkładu p-stwa.

Przykład

a) Wyznaczyć dystrybuantę zm. los. X o gęstości:

f (x) =











1

x

2

x > 1

0

x < 1

b) Wyznaczyć dystrybuantę zm. los. X o gęstości:

f (x) =











1
2

0

6 x 6 2

0

dla pozostałych x

10

Twierdzenie Jeżeli X jest zmienną losową typu ciągłego, to jej dystrybuanta jest funkcją ciągłą

na całym zbiorze R .

Twierdzenie

(O rozpoznawaniu gęstości p-stwa)

Jeżeli funkcja f : R → R spełnia warunki:

•

∀

x∈R

f (x) > 0

•

∀

x∈R

całka

x

R

−∞

f (t) dt

jest zbieżna

•

+∞

R

−∞

f (x) dx = 1 ,

to f jest gęstością pewnej zm. los. X typu ciągłego.

Przykład

Czy funkcję o wykresie

można interpretować jako gęstość rozkładu p-stwa?

Przykład

a) Dobrać stałe a i b > 0 tak, aby funkcja

f (x) =











a cos x

x ∈ [0, b]

0

x /

∈ [0, b]

była gęstością pewnej zm. los..

b) Dobrać stałą c tak, aby funkcja

f (x) =











c sin x

x ∈ [0,

π

3

]

0

x /

∈ [0,

π

3

]

była gęstością pewnej zm. los..

11

Twierdzenie

(O wyznaczaniu gęstości p-stwa, gdy dana jest dystrybuanta)

Jeżeli F jest dystrybuantą zm. los. typu ciągłego, to jej gęstością jest funkcja

f (x) =











F

0

(x)

w punktach różniczkowalności F

0

dla pozostałych x.

Przykład

a) Dana jest dystrybuanta zm. los. X typu ciągłego:

F (x) =











0

x 6 0

1 − e

−x

x > 0

Podać wzór na gęstość zm. los. X .

b) Dana jest dystrybuanta zm. los. X typu ciągłego:

F (x) =

1

√

2π

x

Z

−∞

e

−

t2

2

dt,

x ∈ R.

Podać wzór na gęstość zm. los. X .

Twierdzenie

(O wyznaczaniu p-stwa, gdy dana jest gęstość)

Jeżeli X jest zm. los. typu ciągłego o danej gęstości f , to

P (X ∈ [a, b]) = P (X ∈ (a, b]) = P (X ∈ [a, b)) =

= P (X ∈ (a, b)) =

b

Z

a

f (x) dx.

Uwaga

Ogólnie, jeżeli I oznacza dowolny przedział (ograniczony lub nieograniczony), to

P (X ∈ I) =

Z

I

f (x) dx.

Przykład

a) Dana jest gęstość zm. los. X :

f (x) =











3
4

(2x − x

2

)

x ∈ [0, 2]

0

x /

∈ [0, 2]

12

1*

Obliczyć P (0

6 X 6

1
2

) .

2*

Odczytać z wykresu gęstości P (0

6 X 6 1) i obliczyć P (1 − X

2

> 0) .

b) Dana jest gęstość zm. los. X :

f (x) =











2

x

3

x > 1

0

x < 1

1*

Obliczyć P (4 − X

2

> 0) .

2*

Obliczyć P (X

2

> 4X) .

Wartość oczekiwana

zmiennej losowej typu ciągłego

Definicja

Wartością oczekiwaną zmiennej losowej typu ciągłego o gęstości f nazywamy liczbę

E X

def

=

+∞

Z

−∞

x · f (x) dx,

przy założeniu, że zbieżna jest całka

+∞

Z

−∞

|x| · f (x) dx.

W przeciwnym razie wartość oczekiwana nie istnieje.

Przykład

Rozważmy zm. los. o dystrybuancie F (x) =

1

π

arctg x +

1
2

, x ∈ R . Sprawdzić, czy zmienna losowa

X posiada wartość oczekiwaną.

Definicja

(Wartości oczekiwanej funkcji zm. los.)

Jeżeli X jest zm. los. typu ciagłego o gęstości f oraz Y = g(X) , gdzie g jest funkcją przedziałami

ciągłą, to

E Y = E (g(X))

def

=

+∞

Z

−∞

g(x) · f (x) dx,

przy założeniu, że zbieżna jest całka

+∞

Z

−∞

|g(x)| · f (x) dx.

13

Przykład

a) Dana jest zm. los. X o gęstości:

f (x) =











1
2

e

x

x ∈ [0, ln 3]

0

x /

∈ [0, ln 3]

Obliczyć E(X

2

) = m

2

(moment zwykły rzędu drgiego).

b) Dana jest zm. los. X o gęstości:

f (x) =











3

x

4

x > 1

0

x < 1

Obliczyć E(ln X) .

Uwaga

• Jeżeli zm. los. X ma gęstość f , która jest równa 0 poza pewnym zbiorem ograniczonym na

prostej oraz jesli funkcja g jest ograniczona, to istnieje E(g(X)) .

• Jeżeli zm. los. X jest typu skokowego i przyjmuje tylko skończoną liczbę wartości, to wartość

oczekiwana E(g(X)) istnieje.

Definicja

Zmienne losowe X i Y (dowolnego typu) nazywamy niezależnymi w p.p. (Ω, S, P ) ,

jeśli dla dowolnych liczb x, y ∈ R zdarzenia { ω ∈ Ω : X(ω) < x } i { ω ∈ Ω : Y (ω) < y } są

niezależne, tj.

∀

x,y∈R

P ( X < x , Y < y ) = P (X < x) · P (Y < y).

Włsności wartości oczekiwanej

E1. Jeżeli P (X = c) = 1 , to EX = c .

E2. Jeżeli istnieje EX , to dla dowolnych liczb a, b ∈ R

E(aX + b) = a EX + b.

14

E3. Jeżeli istnieją EX

1

, . . . , EX

n

, dla dowolnych stałych c

1

, . . . , c

n

E(c

1

X

1

+ . . . + c

n

X

n

) = c

1

EX

1

+ . . . + c

n

EX

n

.

W szczególności jeśli istnieją EX i EY , to E(X ± Y ) = EX ± EY

E4. Jeżeli zm. los. X i Y są niezależne i istnieją EX i EY , to istnieje E(X · Y ) oraz

E(X · Y ) = EX · EY.

E5. (Interpretacja probabilistycznej wartości oczekiwanej)

Jeżeli istnieje

EX

oraz krzywa gęstości zm. los. typu ciągłego lub wykres funkcji p-stwa

skokowej zm. los. są symetryczne względem prostej x = x

0

, to EX = x

0

.

Wariancja zmiennej losowej

Przykład

Rozważmy dwie zm. los. o rozkładach:

X :

x

i

−2

2

p

i

0, 25

0, 75

i

Y :

y

i

−20

15

p

i

0, 4

0, 6

Zauważmy, że EX = EY . Zatem wartości oczekiwane zm. los. X i Y

są równe, ale same zm.

los. różnią się rozrzutem swych wartości względem punktu x = 1 . Wprowadzimy pewną miarę tego

rozrzutu.

Definicja

Wariancją zm. los. X

dowolnego typu nazywamy wartość oczekiwaną kwadratu

odchylenia X − EX od wartości oczekiwanej EX tj.

E(X − EX)

2

ozn.

= E(X − m)

2

= D

2

X,

gdzie m = EX .

• Dla rozkładu skokowego: P (X = x

i

) = p

i

, x

i

∈ W

X

:

D

2

X =

X

i

(x

i

− m)

2

· p

i

,

o ile szereg jest zbieżny.

• Dla rozkładu ciągłego o gestości f :

D

2

X =

+∞

Z

−∞

(x − m)

2

· f (x) dx,

o ile całka jest zbieżna.

15

Definicja

Odchyleniem standardowym (lub dyspersją) zm. los. X nazywamy liczbę

DX

ozn.

=

σ

def

=

√

D

2

X.

Włsności wariancji zmiennej losowej

D1.

D

2

X > 0 , co więcej D

2

X = 0

wtedy i tylko wtedy, gdy zm. los.

X

ma rozkład

jednopunktowy.

D2.

Jeżeli istnieje D

2

X , to dla dowolnych liczby a ∈ R

D

2

(aX) = a

2

D

2

X,

i

D

2

(X + a) = D

2

X.

D3.

Jeżeli zm. los. X i Y są niezależne i posiadają warinję, to

D

2

(X ± Y ) = D

2

X + D

2

Y.

D4.

D

2

X = E(X

2

) − (EX)

2

,

o ile istnieje E(X

2

) .

Wzór powyższy jest wygodny do obliczania wariancji.

Przykład

Niech zm. los. X i Y

są niezależne oraz niech EX = 2 , D

2

X = 1 , EY = 1 ,

D

2

Y = 4 . Obliczyć EZ , D

2

Z oraz σ

Z

, jeśli Z = X − 2Y .

Przykład

Dana jest zm. los. X o gęstości:

f (x) =











3
2

(x − 1)

2

0

6 x 6 2

0

dla pozostałych x

Obliczyć D

2

X .

16

Standaryzowanie zmiennej losowej

Definicja

Zmienną losową X (dowolnego typu) nazywamy zmienną losową standaryzowaną,

jeżeli EX = 0 i D

2

X = 1 .

Fakt

Jeżeli EX = m i D

2

X = σ

2

> 0 , to funkcja zmiennej losowej

f

X

S

def

=

X − m

σ

jest standaryzowaną zmienną losową.

Przykład

Dokonać standaryzacji zm. los. Y , jeżeli:

a)

Y :

y

i

−1

0

3

p

i

1
6

2
3

1
6

b)

Y

= X

1

+ X

2

+ . . . + X

180

, gdzie zm. los. X

k

,

(k = 1, 2, . . . , 180) są niezależne i mają

jednakowe gęstości p-stwa

X

k

:

f (x) =











2x

0

6 x 6 1

0

dla pozostałych x

Rozkład dwumianowy (Bernoulliego)

Niech p oznacza daną liczbę z przedziału (0, 1) , n ustaloną liczbe naturalną. Mówimy, że

zmienna losowa skokowa X : Ω → R ma rozkład (B) z parametrami (n, p) , jeżeli jej punkty

skokowe (realizacji) tworzą zbiór postaci W = {0, 1, 2, . . . , n} i skoki określone są wzorem:

P (X = k) =



n

k



p

k

· q

n−k

,

k ∈ W,

q = 1 − p

Uwaga

P-stwo



n

k



p

k

· q

n−k

można interpretować jako p-stwo uzyskania k - sukcesów w

serii n - powtórzeń tego samego doświadczenia, jeżeli p-stwo sukcesu w jednej próbie wynosi p .

17

Ilustracja

Wykonujemy n = 10 prób Bernoulliego. Wiadomo, że w każdej z nich odnosimy

sukces z p-stwem p = 0, 9 . Jakie jest p-stwo, że w 10% wszystkich prób odniesiemy sukces.

Fakt

Dla rozkładu dwumianowego z parametrami (n, p) mamy:

• EX = n · p

• D

2

X = n · p · q

Przykład

Wadliwość pewnej masowej produkcji wynosi 0, 3 . Z bieżącej produkcji wylosowano

7 sztuk towaru. Niech X(ω) oznacza liczbę sztuk wadliwych wśród wylosowanych.

a) Znaleźć funkcję p-stwa zm. los. X .

b) Podać EX i D

2

X .

c) Napisać wzór na p-stwo, że liczba sztuk wadliwych będzie nie większa niż 2.

d) Podać wzór na dystrybuantę F (x) zm. los. X .

e) Obliczyć F (0) i F (1) .

Rozkład Poissona

Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład Poissona (P ) z parametrem λ,

(λ > 0) , jeżeli

X : Ω → W , gdzie W = {0} ∪ N = {0, 1, 2, . . .} jest nieskończonym zbiorem punktów skoku i

P (X = k) = e

−λ

·

λ

k

k!

,

k ∈ W.

Uwaga

Definicja powyższa jest poprawna, ponieważ P (X = k) > 0 oraz

∞

X

k=0

P (X = k) =

∞

X

k=0

e

−λ

·

λ

k

k!

= 1.

Fakt

Wartość oczekiwana i wariancja zm. los. X o rozkładzie Poissona wyrażają się wzorami:

18

• EX = λ

• D

2

X = λ

Twierdzenie graniczne

(lokalne Poissona)

Niech p zmienia się wraz z n , tzn. niech p = p

n

.

Jeżeli { X

n

} jest ciągiem zmiennych losowych mających rozkłady Bernoulliego:

P (X

n

= k) =



n

k



p

k
n

· q

n−k

n

,

k = 0, 1, 2, . . . , n,

0 < p

n

< 1,

q

n

= 1 − p

n

oraz

lim

n→∞

n · p

n

= λ > 0,

to

lim

n→∞

P (X

n

= k) = e

−λ

·

λ

k

k!

,

k = 0, 1, 2, . . . .

Z powyższego twierdzenia wynika następujące przybliżenie Poissona rozkładu Bernoulliego:



n

k



p

k

· q

n−k

≈ e

−λ

·

λ

k

k!

dla

λ = n · p

k = 0, 1, 2, . . . , n.

Przybliżenie to jest wystarczająco dokładne, gdy p

6 0, 1 , n > 50 , n · p = λ 6 10 .

Przykład

Obliczyć p-stwo, że wśród 200 nadesłanych szyb będą conajmniej 4 szyby uszkodzone,

jeżeli wiadomo, że co setna nadesłana szyba jest uszkodzona.

Przykład

Robotnik obsługuje 800 wrzecion. P-stwo zerwania się przędzy na każdym z nich w

czasie T wynosi 0,005. Obliczyć najbardziej prawdopodobną liczbę zerwań w tym czasie i jej p-stwo.

19

Rozkład normalny Gaussa

Mówimy, że zmienna losowa X typu ciągłego ma rozkład normalny z parametrami m ∈ R i

σ > 0 , co zapisujemy X : N (m, σ) , gdy jej gęstość jest postaci:

f (x) =

1

σ

√

2π

e

−

(x−m)2

2σ2

,

x ∈ R.

Własności rozkładu normalnego

1*

EX = m i

D

2

X = σ

2

,

2*

krzywa gęstości, zwana też krzywą Gaussa, jest symetryczna względem prostej x = m ,

3*

wpływ parametrów m ∈ R i σ > 0 na kształt i położenie krzywej Gaussa ilustrują rysunki:

4*

max

x∈R

f (x) = f (m) =

1

σ

√

2π

≈

0,4

σ

,

5*

odcięte punktów przegięcia wynoszą x

1

= m − σ > 0 i x

2

= m + σ > 0

6*

oś 0X jest asymptotą poziomą krzywej gęstości dla x → ±∞ .

Twierdzenie

Jeżeli X i

Y

są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych,

to zmienne losowe:

• Z = aX + b , gdzie a 6= 0, b - stałe

• Z = X + Y

• Z = aX + bY , gdzie |a| + |b| > 0

też mają rozkłady normalne.

Twierdzenie Jeżeli X

1

, X

2

, . . . , X

n

są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych

N (m

k

, σ

k

) , k = 1, 2, . . . , n , to także zmienna losowa X = X

1

+ X

2

+ . . . + X

n

ma rozkład normalny

N (m, σ) , gdzie

m = m

1

+ m

2

+ . . . + m

n

oraz

σ =

q

σ

2

1

+ σ

2

2

+ . . . + σ

2

n

.

20

Rozkład normalny N(0,1)

Zmienną losową o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną m = 0 i odchyleniem standartowym

σ = 1 nazywamy zmienną losową o standaryzowanym rozkładzie normalnym N (0, 1) .

Jej gęstość dana jest wzorem:

f (x) =

1

√

2π

e

−

x2

2

,

x ∈ R.

Dystrybuanta rozkładu normalnego N (0, 1) :

Φ(x) =

1

√

2π

x

Z

−∞

e

−

t2

2

dt,

x ∈ R

nie jest funkcją elementarną. Jej przybliżone wartości odczytujemy z tablic. Tablice wartości dystrybuanty

rozkładu normalnego N (0, 1) są sporządzone dla x

> 0 . Zauważmy jednak, że

Φ(−x) = 1 − Φ(x)

Przykład

Zmienna losowa X ma rozkład N (0, 1) . Obliczyć P (X < −0, 2)

P (X > 1, 2) ,

P (−0, 1 < X 6 2) , P (|X − 1| < 0, 5) .

Przykład W populacji studentów PG dokonano pomiaru wzrostu mężczyzn. Obserwacje potwierdziły,

że zmienna losowa X , wyrażająca wzrost studenta, ma rozkład N (170, 10) . Obliczyć p-stwo, że

a) wzrost studenta jest mniejszy niż 180 cm,

b) wzrost studenta jest mniejszy niż 160 cm,

c) wzrost studenta jest większy niż 165 cm,

d) wzrost studenta jest większy niż 200 cm,

e) wzrost studenta należy do przedziału (160,180).