Automatyka i Robotyka

2011/12

Fizyka 1

Materiały do wykładu 7

18 11 2011

x = Acos(ωt+ϕ)

t

fazy
zgodne

fazy
przeciwne

faza drgania

m

k

m

k

x

x

x

⃗

F ( x)

0

0

m a

x

=−

k x

m a

x

=

0

stan równowagi

a

x

=−

k

m

x

ω

2

=

k

m

m

k

x

0

stan równowagi

s

mg

k s

m a

x

=

m g−k s=0

m

k

x

0

s

mg

k (s+x)

x

m a

x

=

m g−k (s+x)

m a

x

=

m g−k s−k x

m a

x

=−

k x

a

x

=−

k

m

x

ω

2

=

k

m

m

k

m

k

m

k

s =

mg

k

s =

mg

k

s = 0

T

1

T

2

T

3

T

1

=

T

2

=

T

3

T = 2 π

√

m

k

g

1

=

const

g

2

=

const

T

1

T

2

T

1

=

T

2

równik

k

m

k

m

⃗p = const

T

1

=

T

2

T

1

T

2

s

s =

mp

k

=

const

k

1

k

2

m

k

1

k

2

m

m

m

k

r

połączenie szeregowe

1

k

s

=

1

k

1

+

1

k

2

połączenie równoległe

k

r

=

k

1

+

k

2

k

sz

m

x

0

x

0

x

ρ

ρ

F

F = − ρ g D x

położenie równowagi

wychylenie z położenia równowagi

D

D

siła wyporu

h

m

mg

F

w

m a

x

=

mg−ρ g D h=0

ρ

D

ρ

ρ

m

k

ρ

m

ρ

m

k

T

1

=

√

k

m

T

2

=

√

ρ

g D

m

D

T

3

=

√

ρ

g D+k

m

T

1

T

2

T

1

=

T

2

≠

T

3

k

k

T

3

k

całkowite zanurzenie

częściowe zanurzenie

x

0

x<R

x≥R

E =

G M

R

3

x

M

natężenie pola
grawitacyjnego

potencjał pola
grawitacyjnego

natężenie i potencjał pola grawitacyjnego jednorodnej kuli

E =

G M

x

2

V =

−

G M

2R

3

(

3R

2

−

x

2

)

V =

−

G M

x

R

x

R

0

M

⃗

F

F = −m E =−

G M m

R

3

x

a

x

=−

G M

R

3

x

ciało w tunelu

m

a

x

=−ω

2

x

ω

2

=

G M

R

3

T =2 π

√

R

3

GM

τ = π

2

√

R

3

GM

czas ruchu do środka Ziemi

okres drgań

start

x

R

0

M

⃗

F

m

x

R

0

M

⃗

F

m

ciało w tunelu - prędkość dla x= 0

drganie harmoniczne

zasada zachowania energii

x =R cosω t

V =−R ωsin ω t =−ω

√

R

2

−

x

2

V (0)=−ω R = −

√

GM

R

3

R

V (0)=−

√

GM

R

−

GMm

R

=

−

GMm
2 R

3

3R

2

+

mV

2

2

V =

√

GM

R

x

1

=

A

1

sin t

1



x

2

=

A

2

sin  t

2



x = A

1

sin t

1



A

2

sin t

2

 =

A sin  t

A =



A

1

2



A

2

2



2 A

1

A

2

cos

1

−

2



tg  =

A

1

sin 

1



A

2

sin 

2

A

1

cos 

1



A

2

cos

2

ruch wypadkowy - drganie harmoniczne

składanie drgań równoległych

równe okresy

ϕ

1

=ϕ

2

A

1

=

A

2

⇒

A=2A

1



1

−

2

=

A

1

=

A

2

⇒

A=0

x

1

=

A

1

sin 

1

t

1



x

2

=

A

2

sin 

2

t

2



składanie drgań równoległych

różne okresy

T

T/3

ruch okresowy nieharmoniczny



1

=

2

=

0



2

=

3 

1

x

x

t

t

x

1

=

A

1

cos  t

x

2

=

A

2

cos t

ruch wypadkowy – dudnienia

składanie drgań równoległych

różne okresy

At  =



A

1

2



A

2

2



2 A

1

A

2

cos  t 

okres dudnień

 

T

d

=

2

T

d

=

2

 

x = A sin  t 

y = B sin t 

y =

B

A

x

x

y

A

B

x

−

A

−

B

parametryczne równania toru

równanie toru

składanie drgań prostopadłych

x = A sin  t 

y = B sin t

y =−

B

A

x

x

y

A

B

x

−

A

−

B

parametryczne równania toru

równanie toru

składanie drgań prostopadłych

x = A sin  t 

y = B sin t



2



x

2

A

2



y

2

B

2

=

1

x

y

A

B

x

−

A

−

B

parametryczne równania toru

równanie toru

składanie drgań prostopadłych

x = A sin  t 

y = A sin2  t 

y =

2 x

A



A

2

−

x

2

x

y

A

B

−

A

−

B

parametryczne równania toru

równanie toru

składanie drgań prostopadłych

złożenie drgań harmonicznych prostopadłych

równe pulsacje

parametryczne równania toru

x = Acos t 

y = B cos t−

równanie toru

x

2

A

2



y

2

B

2

−

2 x y

A B

cos  = sin

2



x

y

A

B

x

−

A

−

B

złożenie drgań harmonicznych prostopadłych

równe pulsacje

x

2

A

2



y

2

B

2

−

2 x y

A B

cos  = sin

2



y

A

B

x

−

A

−

B

y

A

B

x

−

A

−

B

y

A

B

x

−

A

−

B

y

A

B

x

−

A

−

B

y

A

B

x

−

A

−

B

y

A

B

x

−

A

−

B

y

A

B

x

−

A

−

B

y

A

B

x

−

A

−

B

y

A

B

x

−

A

−

B

=

0

=



4

=



2

=

3 

4

=

=

5

4

=

3

2

=

7

4

=

2

⃗

F

s

⃗

F

op



V

m

d

2

x

dt

2

= −

k x −r V

m

d

2

x

dt

2



r

dx

dt



k x = 0

dynamiczne równanie oscylatora harmonicznego z tłumieniem

x

d

2

x

dt

2



r

m

dx

dt



k

m

x = 0

k

m

= 

0

2

r

m

=

2 

r - współczynnik oporu

β

–

współczynnik tłumienia

k

x t  = A

0

e

−

t

sin  t



2

= 

0

2

− 

2



0

kinematyczne równanie oscylatora harmonicznego tłumionego

małe tłumienie

At  = A

0

e

−

t

amplituda

prędkość kątowa

T

T

A

0

x

t

(małe tłumienie)



0

2

− 

2

=

0

tłumienie krytyczne

tłumienie nadkrytyczne



0

2

− 

2



0

nadkrytyczne

krytyczne

x

dynamiczne równanie drgań harmonicznych wymuszonych

z tłumieniem



F

s



F

op

siła wymuszająca

F = F

0

cos  t



F

m

d

2

x

dt

2

= −

k x −r V F

0

cos  t

d

2

x

dt

2



r

m

dx

dt



k

m

x =

F

0

m

cos  t

r

m

=

2 

k

m

= 

0

2

m

k

kinematyczne równanie ruchu drgań harmonicznych wymuszonych

z tłumieniem

x t  = A cos t−

stan ustalony

!

stan ustalony

x

t

ω

0

 =

0



1



0



2

 

1



r

=





0

2

−

2 

2

częstość rezonansowa



A

A

st

amplituda drgań harmonicznych wymuszonych tłumionych

=

0⇒ 

r

=

0

A =

F

0

m





0

2

−

2



2



4 

2



2

A

r

=

A

r

 =

F

0

r 

amplituda w rezonansie

opóźnienie fazowe

siła - wychylenie

tg ϕ =

2βΩ

ω

0

2

−Ω

2

Ω

ϕ

π

2

π

ω

0

ω

0

 =

0



1



0



2

 

1



A

A

st