Związki między funkcjami trygonometrycznymi danego kąta

tg α =

sin α

cos α

,

ctg α =

cos α

sin α

=

1

tg α

,

sec α =

1

cos α

,

csc α =

1

sin α

.

Wzory pitagorejskie:

Oznaczamy: ε – znak sin α, η – znak cos α

cos

2

α + sin

2

α = 1

sin α = ε

√

1 − cos

2

α = η

tg α

p

1 + tg

2

α

1 + tg

2

α = sec α

cos α = η

p

1 − sin

2

α = η

1

p

1 + tg

2

α

ctg

2

α + 1 = csc

2

α

tg α = ε

√

1 − cos

2

α

cos α

= η

sin α

p

1 − sin

2

α

Wartości funkcji trygonometrycznych dla niektórych kątów

α

sin α

cos α

tg α

ctg α

0

◦

,

0

0

1

0

nieokreśl.

90

◦

,

π

2

15

◦

,

π

12

√

6 −

√

2

4

√

6 +

√

2

4

2 −

√

3

2 +

√

3

75

◦

,

5π

12

18

◦

,

π

10

√

5 − 1

4

p

10 + 2

√

5

4

p

25 − 10

√

5

5

p

5 + 2

√

5

72

◦

,

2π

5

22

◦

30

0

,

π

8

2 −

√

2

2

2 +

√

2

2

√

2 − 1

√

2 + 1

67

◦

30

0

,

3π

8

30

◦

,

π

6

1

2

√

3

2

√

3

3

√

3

60

◦

,

π

3

36

◦

,

π

5

p

10 − 2

√

5

4

√

5 + 1

4

p

5 − 2

√

5

p

25 + 10

√

5

5

54

◦

,

3π

10

45

◦

,

π

4

√

2

2

√

2

2

1

1

45

◦

,

π

4

cos β

sin β

ctg β

tg β

β

Funkcje sumy i różnicy kątów

sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
sin(α + β + γ) = sin α cos β cos γ + sin β cos γ cos α + sin γ cos α cos β − sin α sin β sin γ
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
cos(α + β + γ) = cos α cos β cos γ − cos α sin β sin γ − cos β sin γ sin α − cos γ sin α sin β

tg(α ± β) =

tg α ± tg β

1 ∓ tg α tg β

tg(α + β + γ) =

tg α + tg β + tg γ − tg α tg β tg γ

1 − tg α tg β − tg β tg γ − tg γ tg α

ctg(α + β) =

ctg α ctg β − 1

ctg α + ctg β

ctg(α + β + γ) =

ctg α + ctg β + ctg γ − ctg α ctg β ctg γ

1 − ctg α ctg β − ctg β ctg γ − ctg γ ctg α

ctg(α − β) =

ctg α ctg β + 1

ctg β − ctg α

Tożsamości (między innymi wyrażenie iloczynu przez sumę lub różnicę)

sin(α + β) + sin(α − β) = 2 sin α cos β

sin(α + β) sin(α − β) = sin

2

α − sin

2

β = cos

2

β − cos

2

α

sin(α + β) − sin(α − β) = 2 cos α sin β

cos(α + β) cos(α − β) = cos

2

α − sin

2

β = cos

2

β − sin

2

α

cos(α + β) + cos(α − β) = 2 cos α cos β

sin(α + β) cos(α − β) = sin α cos α + sin β cos β

cos(α − β) − cos(α + β) = 2 sin α sin β

cos(α + β) sin(α − β) = sin α cos α − sin β cos β

W szczególności

cos

2

α =

1

2

+

1

2

cos 2α

sin

2

α =

1

2

−

1

2

cos 2α

sin (π/4 + α) = cos (π/4 − α)

sin(α + β)

sin(α − β)

=

tg α + tg β

tg α − tg β

cos (π/4 + α) = sin (π/4 − α)
tg (π/4 + α) = ctg (π/4 − α)

cos(α + β)

cos (α − β)

=

1 − tg α tg β

1 + tg α tg β

ctg (π/4 + α) = tg (π/4 − α)

Podwojenie kąta

Potrojenie kąta

sin 2α = 2 sin α cos α

sin 3α = sin α(3 cos

2

α − sin

2

α) = sin α(3 − 4 sin

2

α)

cos 2α = 2 cos

2

α − 1 = cos

2

α − sin

2

α = 1 − 2 sin

2

α

cos 3α = cos α(cos

2

α − 3 sin

2

α) = cos α(4 cos

2

α − 3)

sin 2α =

2 tg α

1 + tg

2

α

sin 3α = sin α

3 − tg

2

α

1 + tg

2

α

cos 2α =

1 − tg

2

α

1 + tg

2

α

cos 3α = cos α

1 − 3 tg

2

α

1 + tg

2

α

tg 2α =

2 tg α

1 − tg

2

α

tg 3α = tg α

3 − tg

2

α

1 − 3 tg

2

α

ctg 2α =

ctg

2

α − 1

2 ctg

2

α

ctg 3α = ctg α

ctg

2

α − 3

3 ctg

2

α − 1

Kąty połówkowe

Wyrażenie funkcji kąta α przez tg

α

2

| cos

α

2

| =

r 1 + cos α

2

sin α =

2 tg

α

2

1 + tg

2 α

2

| sin

α

2

| =

r 1 − cos α

2

cos α =

1 − tg

2 α

2

1 + tg

2 α

2

| tg

α

2

| =

r 1 − cos α

1 + cos α

tg α =

2 tg

α

2

1 − tg

2 α

2

tg

α

2

=

sin α

1 + cos α

=

1 − cos α

sin α

ctg α =

1 − tg

2 α

2

2 tg

α

2

Sprowadzanie wyrażeń do postaci logarytmicznej

sin α + sin β = 2 sin

α + β

2

cos

α − β

2

tg α + tg β =

sin(α + β)

cos α cos β

sin α − sin β = 2 cos

α + β

2

sin

α − β

2

tg α − tg β =

sin(α − β)

cos α cos β

cos α + cos β = 2 cos

α + β

2

cos

α − β

2

ctg α + ctg β =

sin(α + β)

sin α sin β

cos α − cos β = 2 sin

α + β

2

sin

β − α

2

ctg α − ctg β =

sin(β − α)

sin α sin β

Wzory redukcyjne Np. sin(π/2 + α) = + cos α, sin(π + α) = − sin α

Zasada: jeżeli występuje parzysta wielokrotność kąta prostego tzn. π/2, to zostaje ta sama funkcja;

jeżeli nieparzysta, to funkcja zmienia się na kofunkcję (sinus na kosinus i vice versa; tangens na

kotangens i vice versa); znak (plus czy minus) znajdujemy ustalając jaki znak ma obliczana

(przekształcana) funkcja gdy kąt α jest w pierwszej ćwiartce

i posługując się mnemotechnicznym wierszykiem:

W pierwszej wszystkie są dodatnie,

W drugiej tylko sinus,

W trzeciej tangens i cotangens.

A w czwartej cosinus.

Tak więc np. tg(

3
2

π + α) = − ctg α (nieparzysta wielokrotność kąta prostego, a więc funkcja zmienia

się na kofunkcję; dla α w pierwszej ćwiartce kąt

3
2

π + α znajduje się w czwartej ćwiartce, a posługując

się wierszykiem ustalamy, że w czwartej ćwiartce tangens jest ujemny. Stąd znak „minus” przed

kotangensem po prawej stronie.)