Matematyka – wybrane zagadnienia

Wybrane elementy analizy funkcjonalnej.

Lista nr 6

Zadanie 1
Niech X =

[ ]

( )

1

,

0

W

 oznacza przestrzeń wielomianów na odcinku 

[

0,1

]

.

a.) Udowodnić, że funkcja 

[

]

(

)

[ ]

)

(

)

(

max

,

,

,

0

X

X

:

2

1

1

,

0

2

1

t

w

t

w

w

w

t

−

=

+∞

→

×

∈

ρ

ρ

 jest 

metryką w X.

b.) Wykazać, że ciąg 

∑

=

=

n

i

i

i

n

t

t

w

1

2

)

(

 jest ciągiem Cauchy’ego w przestrzeni (X, 

ρ

), ale 

nie jest ciągiem zbieżnym w (X, 

ρ

).

Zadanie 2
Korzystając z twierdzenia Bolzano­Weierstrassa (sformułowane na wykładzie) 
udowodnić, że przestrzeń 

R z normą euklidesową jest przestrzenią Banacha.

Zadanie 3
Niech X = c oznacza przestrzeń unormowaną ciągów rzeczywistych, które są zbieżne z 
normą  , ∥t

k

∥=

sup

k

∣

t

k

∣  (por. zadanie 2 z listy nr 5). Udowodnić, że przestrzeń ta jest 

przestrzenią Banacha. 

Zadanie 4 
Nich X

1

 = c

0

 będzie przestrzenią ciągów rzeczywistych zbieżnych do zera z normą jak w 

zadaniu 3. Udowodnić, że jest to przestrzeń Banacha.

Zadanie 5
Niech X będzie zespoloną przestrzenią unitarną. Udowodnić następujące własności 

iloczynu skalarnego:

•

∀

x , y ∈X ∀ α ∈C



x ,αy



= 

α



x , y



•

∀

x , y , z ∈ X



x , yz



=



x , y







x , z



•

∀

x ∈X



0 ,x



=

0

•

∀

x , y ∈X ∣



x , y



∣≤





x , x







y , y



•

∥

x∥=





x , x



spełnia aksjomaty normy.

Zadanie 6

Udowodnić następujące twierdzenie (twierdzenie Pitagorasa):
Niech V będzie przestrzenią unitarną. Niech x

1

,…,x

n

 będzie skończonym ciągiem 

wektorów V takim, że (x

i

,x

j

) = 0 dla każdego i 

≠

 j ,  i,j = 1,2,…,n. Wówczas

∥

x

1



x

2



... x

n

∥

2

=∥

x

1

∥

2

∥

x

21

∥

2



...∥x

n

∥

2

.

Wskazówka: Najpierw udowodnić twierdzenia dla n = 2, a uogólnić dla n, stosując 
zasadzie indukcji matematycznej.