Matematyka – wybrane zagadnienia

Wybrane elementy analizy funkcjonalnej.

Lista nr 4

Zadanie 1
Jeżeli układ wektorów 

v

1

,…

v

n 

przestrzeni liniowej 

V nie jest liniowo niezależny, to 

mówimy, że wektory 

v

1

,…

v

n 

są liniowo zależne. Udowodnić następujące twierdzenie:

Układ wektorów  

v

1

,…

v

n

 (n 

≥

 2) jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy gdy jeden z 

wektorów 

v

1

,…

v

n

 jest kombinacją liniową pozostałych.

Zadanie 2
Niech (x

1

,y

1

) oraz (x

2

,y

2

)  będą dwoma dowolnie ustalonymi elementami przestrzeni 

R

2

, 

takimi że punkty (x

1

,y

1

), (x

2

,y

2

) oraz (0,0)  są niewspółliniowe. Wykazać, że elementy 

(x

1

,y

1

) i (x

2

,y

2

) tworzą bazę przestrzeni 

R

2

. 

Zadanie 3
Niech 

[ ]

R

⊂

b

a,

 będzie przedziałem domkniętym. Rozważmy zbiór funkcji 

całkowalnych z kwadratem na odcinku, czyli

[ ]

(

)

[ ]

( )













→

=

∫

b

a

R

istnieje

dx

x

f

b

a

f

b

a

2

2

:

,

:

:

,

L

  .

a) Niech 

[ ]

(

)

b

a

g

f

,

L

,

2

∈

. Udowodnić następującą nierówność Schwarza

( ) ( )

( )

( )









⋅









≤













∫

∫

∫

b

a

b

a

b

a

dt

t

g

dt

t

f

dt

t

g

t

f

2

2

2

.

b)  Korzystając z nierówności Schwarza wykazać, że 

[

]

(

)

b

a,

L

2

 jest przestrzenią 

liniową.

Zadanie 4
Wykazać, że następujące funkcje są metrykami na podanych zbiorach:

a) X dowolny niepusty zbiór:

[

) ( )







≠

=

=

+∞

→

×

y

x

gdy

y

x

gdy

yx

X

X

,1

,0

,

,

,0

:

ρ

ρ

(tzw. metryka dyskretna).

b)

R

2

 

[

)

(

) (

)

(

)

1

2

1

2

2

2

1

1

,

,

,

,

,

0

:

y

y

x

x

y

x

y

x

−

+

−

=

+∞

→

×

ρ

ρ

2

2

R

R

(tzw. metryka taksówkowq) 

c)

C (zbiór liczb zespolonych)

[

)

(

)

2

1

2

1

,

,

,

0

:

z

z

z

z

−

=

+∞

→

×

ρ

ρ

C

C

  , gdzie  

z

 oznacza moduł liczby 

zespolonej z.

Zadanie 5

a) Niech 

(

)

n

x

x ,...,

1

 oraz 

(

)

n

y

y ,...,

1

 będą dwoma elementami przestrzeni 

R

n

.

Udowodnić następującą nierówność zwaną nierównością Cauchy’ego:













⋅













≤













∑

∑

∑

=

=

=

n

k

k

n

k

k

n

k

k

k

y

x

y

x

1

2

1

2

2

1

.

b) Korzystając z nierówności Cauchy’ego wykazać, że funkcja

(

) (

)

(

)

(

)

∑

=

−

=

n

k

k

k

n

n

x

y

y

y

x

x

1

2

1

1

,...,

,

,...,

ρ

jest metryką w 

R

n

 .

Zadanie 6
Niech 

(

)

⋅

,

X

 będzie przestrzenią unormowaną. Wykazać, że funkcja 

(

)

y

x

y

x

−

=

,

ρ

  jest metryką w X.

Zadanie 7
Niech 

(

)

n

x

x ,...,

1

 będzie  elementami przestrzeni 

R

n

 . Wykazać, że 

(

)

2

2

2

2

1

1

...

,...,

n

n

x

x

x

x

x

+

+

+

=

jest normą w 

R

n

 .

Zadanie 8
Niech 

[ ]

(

)

b

a

f

,

L

2

∈

. Wykazać, że 

( )

∫

=

b

a

dt

t

f

f

2

 

jest normą w 

[

]

(

)

b

a,

L

2

.

Zadanie 9
Niech 

(

)

⋅

,

X

 będzie przestrzenia unormowaną. Wykazać, że jeżeli 

0

lim

x

x

n

n

=

∞

→

, to  

0

lim

x

x

n

n

=

∞

→

.