1
Układ równań liniowych
Definicje
a) Równaniem liniowym o niewiadomych x
1
, x
2
, …, x
n
nazywamy równanie
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ … + a
12
x
n
= b
1
, gdzie a
11
, a
12
, …, a
12
, b
1
są danymi liczbami
rzeczywistymi.
b) Rozwiązaniem tego równania nazywamy ciąg liczb (r
1
, r
2
, …, r
n
) rzeczywistych
spełniających to równanie.
Definicja
Układ równań (koniunkcję równań) postaci:
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
m
n
mn
m
m
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
...
.
...
...
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
nazywamy układem m równań liniowych o n niewiadomych .
Zapis macierzowy
Układ powyższy zapisuje się w postaci macierzowej następująco:
A
m x n
⋅
X
n
= B
m
, gdzie
A
m x n
=
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
.
.
.
.
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
; X
n
=
n
x
x
x
.
.
2
1
; B
m
=
m
b
b
b
.
.
2
1
A
m x n
to macierz X
n
to wektor B
m
to macierz (wektor)
współczynników, niewiadomych, wyrazów wolnych.
Zatem układ wyjściowy w postaci macierzowej ma postać:
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
.
.
.
.
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
⋅
n
x
x
x
.
.
2
1
=
m
b
b
b
.
.
2
1
2
Mówmy także o macierzy rozszerzonej lub uzupełnionej; jest macierz
współczynników poszerzona o macierz wyrazów wolnych, pisze się U = [A|B], czyli
U =
m
mn
m
m
n
n
b
a
a
a
b
a
a
a
b
a
a
a
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11
.
Gdy B = [0] jest wektorem zerowym mówimy, że układ równań jest układem
jednorodnym.
Mogą zachodzić różne przypadki , może być tyle równań co niewiadomych ( m = n),
może być więcej równań niż niewiadomych ( m > n) bądź mniej równań niż
niewiadomych (m < n).
Ć
wiczenia
1. Dane są układy równań linowych:
a)
=
−
−
=
−
1
3
5
2
y
x
y
x
, b)
=
−
+
=
+
+
−
−
=
+
−
1
3
2
0
2
1
3
z
y
x
z
y
x
z
y
x
, c)
−
=
+
+
+
−
=
+
−
=
+
−
+
=
−
−
1
4
3
2
2
1
7
5
3
4
3
2
t
z
y
x
t
z
x
t
z
y
x
z
y
x
.
Zapisz każdy z nich w postaci:
•
macierzowej typu: A
⋅
X = B oraz [A| B] ;
•
wektorowej typu: x
1
1
k
+x
2
2
k
+x
3
3
k + … +x
n
n
k = b .
2. Dane są układy równań linowych:
1
0
0
2
1
0
3
2
1
⋅
z
y
x
= 0 , –
−
0
1
5
2
⋅
q
p
=
−
1
3
.
Zapisz każdy z nich w postaci:
•
klasycznej – koniunkcji równań liniowych,
•
macierzowej typu: [A| B] ,
•
wektorowej typu: x
1
1
k
+x
2
2
k
+x
3
3
k + … +x
n
n
k = b .
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
13 Uklad równan liniowych
1 7 Uklad rownan liniowych
Układ równań liniowych algebra macierzy, metoda eliminacji
Symetryczny układ równań liniowych
Grupa A Odpowiedzi uklad rownan
Metody rozwiązywania układów równań liniowych
Zestaw 12 Macierz odwrotna, układy równań liniowych
JEDNORODNE RÓWNANIA LINIOWE WYŻSZYCH RZĘDÓW ROZWIĄZANIA
lab8 1 uklady rownan liniowych
układ równań, Matematyka, Gimnazjum
Układ równań Cramera
2 Układ równań i nierówności 2 zadania
Układy równań liniowych
Zadania WYZNACZNIK UKLAD ROWNAN wer stud
2011 lab 02, Uklady rownan liniowych
więcej podobnych podstron