Materiały przygotowane w ramach projektu „Uruchomienie
unikatowego kierunku studiów Informatyka Stosowana odpowiedzią
na zapotrzebowanie rynku pracy” ze środków Programu Operacyjnego
Kapitał Ludzki współfinansowanego ze środków Europejskiego
Funduszu Społecznego nr umowy UDA – POKL.04.01.01-00-011/09-00

Wprowadzenie do matematyki

Materiały do zajęć (6):

Funkcje elementarne.



Funkcje trygonometryczne.

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

58

9. Funkcje trygonometryczne.

Dziedziną funkcji

x

x

f

cos

)

(



jest zbiór liczb rzeczywistych, zbiorem wartości jest

przedział

]

1

,

1

[



. Jest to funkcja parzysta i okresowa o okresie podstawowym



2

. Ma

nieskończenie wiele miejsc zerowych,





k

x





2

dla

Z



k

.

Podstawowe własności funkcji:

x

x

f

sin

)

(



,

R



x



1

sin

1







x

,



x

x

sin

)

sin(







,



x

k

x

sin

)

2

sin(







dla

Z



k

,





k

x

x







0

sin

dla

Z



k

.

Podstawowe własności funkcji:

x

x

f

cos

)

(



,

R



x



1

cos

1







x

,



x

x

cos

)

cos(





,



x

k

x

cos

)

2

cos(







dla

Z



k

,







k

x

x









2

0

cos

dla

Z



k

.

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

59

Dziedziną funkcji

x

x

f

ctg

)

(



jest zbiór





,

dla

:

Z

R





k

k

x

x



≠

czyli suma

mnogościowa przedziałów





Z





k

k

k

,

,







, zbiorem wartości jest zbiór R. Jest to funkcja

nieparzysta, okresowa o okresie podstawowym



oraz malejąca w każdym z przedziałów





Z





k

k

k

,

,







. Ma nieskończenie wiele miejsc zerowych,





k

x





2

dla

Z



k

.

Wykres funkcji ma asymptoty pionowe o równaniach



k

x



dla

Z



k

.

Podstawowe własności funkcji:

x

x

f

tg

)

(



,





k

x





2

dla

Z



k



x

x

tg

)

tg(







,



x

k

x

tg

)

tg(







dla

Z



k

,





k

x

x







0

tg

dla

Z



k

.

Podstawowe własności funkcji:

x

x

f

ctg

)

(



,



k

x



dla

Z



k



x

x

ctg

)

ctg(







,



x

k

x

ctg

)

ctg(







dla

Z



k

,







k

x

x









2

0

ctg

dla

Z



k

.

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

60

Wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów

x

y

0

6



4



3



2



x

y sin



0

2

1

2

2

2

3

1

x

y cos



1

2

3

2

2

2

1

0

x

y tg



0

3

3

1

3

nie istnieje

x

y ctg



nie istnieje

3

1

3

3

0

Z przedstawionych własności wynikają zależności:



1

ctg

tg





x

x

dla



k

x



i





k

x





2

i

Z



k

,



x

x

2

sin

2

1

2

cos





oraz

1

cos

2

2

cos

2





x

x

.

Podstawowe własności dla

R



x

:



1

cos

sin

2

2





x

x

,



x

x

x

cos

s in

tg



dla

Z







k

k

x

,

2





,



x

x

x

s in

cos

ctg



dla

Z





k

k

x

,



,



x

x

x

cos

sin

2

2

sin



,



x

x

x

2

2

sin

cos

2

cos





.

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

61

Powyższe

zależności

są

podstawą

rozwiązywania

równań

i

nierówności

trygonometrycznych.

Przypadki szczególne:



równanie

a

x



sin

,

R



x

dla

1



a

ma rozwiązania





k

x

2

2





i

Z



k

, dla

1





a

ma

rozwiązania





k

x

2

2







i

Z



k

, dla

0



a

rozwiązaniami są miejsca zerowe funkcji

x

x

f

sin

)

(



, dla

)

,

1

(

)

1

,

(













a

nie ma rozwiązań,



równanie

a

x



cos

,

R



x

dla

1



a

ma rozwiązania



k

x 2



i

Z



k

, dla

1





a

ma

rozwiązania







)

2

1

(

2

k

k

x









i

Z



k

, dla

0



a

rozwiązaniami są miejsca zerowe

funkcji

x

x

f

cos

)

(



, dla

)

,

1

(

)

1

,

(













a

nie ma rozwiązań.

Przykład.
Rozwiązać równania:

a)

2

1

s i n



x

,

b)

3

ctg





x

,

c)

1

)

3

tg(



x

.

Przykład.
Rozwiązać równania:

a)

3

3

4

ctg

tg







x

x

,

)

2

,

0

(





x

,

b)

0

cos

sin





x

x

.

Własności:



Jeżeli

0

x jest jednym z rozwiązań równania

a

x



sin

,

]

1

,

1

[





a

, to dla każdego

R



x











k

x

x

k

x

x

a

x

2

)

(

2

sin

0

0

















,

Z



k

.



Jeżeli

0

x jest jednym z rozwiązań równania

a

x



cos

,

]

1

,

1

[





a

, to dla każdego

R



x









k

x

x

k

x

x

a

x

2

2

cos

0

0

















,

Z



k

.



Jeżeli

0

x jest jednym z rozwiązań równania

a

x



tg

,

R



a

, to dla każdego





k

x





2

,

Z



k

,



k

x

x

a

x









0

tg

,

Z



k

.



Jeżeli

0

x jest jednym z rozwiązań równania

a

x



ctg

,

R



a

, to dla każdego



k

x



,

Z



k

,



k

x

x

a

x









0

ctg

,

Z



k

.

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

62

Zadania

zad. 1) Sprawdzić, czy podana równość:













s in

tg

1

s in

1

cos

1



















jest tożsamością

trygonometryczną. Podać konieczne założenia.

zad. 2) Wiedząc, że

60

11

ctg



x

i



















2

3

,

x

wyznaczyć wartości pozostałych funkcji

trygonometrycznych.

zad. 3) Rozwiązać równania:

a)

3

2

2

cos

2



















x

,

b)

1

3

tg

3















x

,









,





x

,

c)

 

 

1

3

cos

5

,

0

3

sin

2





x

x

,

d)

0

cos

cos

sin

2

sin

2

2







x

x

x

x

,

e)

 

0

sin

2

2

sin





x

x

.

zad. 4) Rozwiązać nierówności:

a)

2

1

s i n



x

,

b)

2

2

cos



x

,

c)

3

tg



x

,

d)

1

ctg



x

.

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

63

Zadania do samodzielnego rozwiązania

zad. 1) Wiedząc, że

2

tg





obliczyć wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych dla















2

3

,







.

Odpowiedź:

2

1

ctg

,

5

5

cos

,

5

5

2

sin











x

x

x

.

zad. 2) Obliczyć

 

x

2

sin

wiedząc, że

25

24

s i n



x

i



















,

2

x

.

Odpowiedź:

625

336



.

zad. 3) Rozwiązać równania:

a)

]

2

,

2

[

,

2

2

cos













x

x

,

b)

1

)

3

(

tg



x

,

c)

1

3

2

cos













 



x

,















2

3

,

2

x

.

Odpowiedź:

a)



























4

7

,

4

3

,

4

3

,

4

7

x

,

b)

Z







k

k

x

,

3

12





,

c)

















6

5

x

.

zad. 4) Rozwiązać równania:

a)

0

1

sin

sin

2

2







x

x

,

b)

0

3

cos

3

sin

2







x

x

,

c)

x

x

ctg

3

ctg

3



,

)

,

0

(





x

,

d)

3

2

3

sin

2

2





x

,

e)

 

 

]

,

[

,

0

1

2

sin

2

cos















x

x

x

.

Odpowiedź:

a)

Z





















k

k

x

k

x

k

x

,

2

6

5

2

6

2

2













,

b)

Z







k

k

x

,

)

1

2

(



,

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

64

c)





















6

5

,

2

,

6

x

,

d)

Z





k

k

x

,



,

e)



















2

,

4

,

2

,

4

3









x

.

zad. 5) Dla jakich wartości parametru

R



m

równanie:

a)

m

x

2

)

3

cos (



,

b)

0

1

sin

4

)

sin

1

(

2











x

m

x

m

ma rozwiązania?

Odpowiedź:

a)

)

,

2

[

]

2

,

(













m

,

b)

)

,

2

[

2

1

,

0

















m

.

zad. 6) Rozwiązać nierówności:

a)

2

3

s in



x

,

b)

2

1

cos



x

,

c)

3

3

x

tg



,

d)

3

x

ctg





.

Odpowiedź:

a)























k

k

x

2

3

2

,

2

3

,

Z



k

,

b)



























k

k

x

2

3

5

,

2

3

,

Z



k

,

c)



























k

k

x

6

,

2

,

Z



k

,

d)























k

k

x

3

2

,

,

Z



k

.