MACIERZE I
WYZNACZNIKI
Macierz kwadratowa drugiego stopnia
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
d
c
b
a
A
bc
ad
d
c
b
a
−
=
=
A
1-szy wiersz
2-gi wiersz
1-sza
kolumna
2-ga
kolumna
Wyznacznik macierzy A
14
6
20
2
)
3
(
)
4
(
5
4
2
3
5
−
=
+
−
=
−
−
−
=
−
−
Macierz kwadratowa trzeciego stopnia
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
33
32
31
23
22
21
13
12
11
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
33
32
31
23
22
21
13
12
11
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
a
ij
-
wyraz macierzy znajdujący się
w i-tym wierszu i j-tej kolumnie
Reguła Sarrusa
)
(
21
12
33
11
32
23
31
22
13
23
12
31
13
32
21
33
22
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
−
+
+
=
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
Wyznacznik macierzy stopnia trzeciego - przykład
4
3
3
8
1
3
2
3
5
A
−
−
−
−
−
=
3 2
7 8
1 1 0
3 6
1 2 0
6
7 2
1 8
2 0
3
3
4
5
3
8
3
1
2
8
3
3
2
3
3
4
1
5
−
=
−
−
−
=
=
+
−
−
−
−
−
=
=
−
−
+
−
+
−
−
−
−
+
−
−
−
+
−
=
)
(
)
(
)]
)(
(
)
(
)
)(
[(
)
(
)
)(
)(
(
)
(
8
1
3
2
3
5
−
−
−
−
Macierz kwadratowa stopnia n
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
.
...
.
.
...
...
A
1
1
2
22
21
1
12
11
Minor wyznacznika
Wykreślmy z wyznacznika IAI macierzy stopnia n
wszystkie wyrazy należące do i-go wiersza i j-tej
kolumny. Pozostałe wyrazy utworzą wyznacznik stopnia
n
-1, który nazywany jest minorem
lub
podwyznacznikiem wyznacznika IAI odpowiadającym
wyrazowi a
ij
.
Oznaczamy go symbolem M
ij
.
Przykłady minorów macierzy stopnia trzeciego
32
31
12
11
3
2
M
a
a
a
a
=
33
31
23
21
12
M
a
a
a
a
=
33
32
31
23
22
21
13
12
11
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
Dopełnienie algebraiczne wyrazu a
ij
ij
j
i
ij
M
)
1
(
A
+
−
=
Wyznacznik stopnia n
Przez wyznacznik stopnia n (n
≥
2) rozumiemy
sumę iloczynów wyrazów dowolnego wiersza
(kolumny) przez ich dopełnienia algebraiczne.
Dopełnieniem algebraicznym A
ij
wyrazu a
ij
macierzy A nazywamy wyrażenie postaci:
Wyznacznik macierzy czwartego stopnia - przykład
2
5
0
4
0
2
6
3
3
4
0
2
2
1
3
5
W
−
−
−
−
=
=
+
+
+
=
42
32
22
12
A
0
A
6
A
0
A
3
=
−
+
−
=
+
+
32
2
3
12
2
1
M
)
1
(
6
M
)
1
(
3
=
−
−
−
−
+
−
−
−
−
=
2
5
4
3
4
2
2
1
5
)
1
(
6
2
5
4
0
2
3
3
4
2
)
1
(
3
5
3
231
198
33
)
4
75
32
12
20
40
(
6
)
24
24
45
8
(
3
=
+
=
=
−
+
−
−
−
−
−
−
−
+
−
−
=
Właściwości wyznaczników
Przestawienie wszystkich wierszy wyznacznika
na miejsce kolumn i odwrotnie, bez zmiany ich
porządku, nie zmienia wartości wyznacznika.
Jeżeli wyznacznik ma dwa wiersze (kolumny)
identyczne, to jego wartość wynosi zero.
Jeżeli wyznacznik ma jakieś wiersze (kolumny)
złożone z samych zer, to jego wartość wynosi
zero.
Wyznacznik nie zmieni swojej wartości, jeżeli
do wyrazów jednego wiersza (kolumny)
dodamy odpowiadające mu wyrazy innego
wiersza (kolumny), pomnożone przez pewną
stałą.
cb
ad
d
b
c
a
d
c
b
a
−
=
=
0
=
b
a
b
a
0
0
0
=
b
a
d
d
c
b
b
a
b
d
a
c
b
a
d
c
b
a
β
β
α
α
+
+
=
+
+
=
Obliczanie wyznaczników - przykład
4
3
-
6
2
-
5
1
2
-
2
-
3
4
2
-
3
4
6
-
9
-
12
7
-
3
-
6
7
4
5
-
1
-
2
3
W
=
(-3)
2
+
+
4
3
-
6
2
-
5
1
2
-
2
-
3
4
0
1
-
0
0
1
-
0
8
0
0
2
-
4
5
-
1
-
2
3
=
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
macierze i wyznaczniki, wyklad Nieznany
MACIERZE I WYZNACZNIKI z przykladem
macierze i wyznaczniki lista nr Nieznany
Macierze teoria przyklady zadan Nieznany
macierze i wyznaczniki lista nr Nieznany
Macierze i wyznaczniki, Politechnika Poznańska, Elektrotechnika, Matematyka, semestr 2
(Doswiadczalne wyznaczenie wykl Nieznany (2)
k macierze1 id 229458 Nieznany
1 Macierze i wyznaczniki
Macierze i wyznaczniki
Macierz RAID CKOGY5VWXPEVRLWAPR Nieznany
30.Rząd macierzy. Wyznacznik macierzy i jego własności, Studia, Semestr VI, licencjat
Operacje na macierzach id 33628 Nieznany
11 Macierze i wyznaczniki
k macierze id 229457 Nieznany
ZAdania z matematyki, MACIERZE I WYZNACZNIKI-2010, MACIERZE I WYZNACZNIKI - ZADANIA
notatek pl projekt drogi przykl Nieznany
C 01 Macierze i wyznaczniki
Macierze i wyznaczniki zadania
więcej podobnych podstron