dr Józef Szymczak
Politechnika Opolska

LICZBY ZESPOLONE

– notatki z wykładu cz. II

4.

Postać wykładnicza liczb zespolonych.

Dla każdej rzeczywistej liczby

ϕ

przyjmujemy następującą zależność:

ϕ

ϕ

ϕ

i

e

i

≡

+

)

sin

(cos

(

e

jest tzw. liczbą Eulera; jest to liczba niewymierna równa w przybliżeniu 2,72).

W związku z tym możemy każdą liczbę zespoloną przedstawić w postaci wykładniczej

ϕ

i

e

z

z

=

Na przykład liczbę

)

sin

(cos

2

2

2

3

2

3

π

π

i

i

z

+

=

−

=

zapiszemy w postaci wykładniczej jako

π

2

3

2

i

e

, natomiast

liczbę zespoloną

π

4

3

2

i

e

z

=

zapiszemy w postaci trygonometrycznej jako

)

sin

(cos

2

4

3

4

3

π

π

i

z

+

=

, a w

postaci algebraicznej jako

i

z

i

+

−

−

=

=

+

1

(

2

)

2

2

2

2

.

Własności symbolu

ϕ

i

e

:

2

1

2

1

)

(

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

i

i

i

e

e

e

⋅

=

+

,

ϕ

ϕ

ik

i

e

e

k

=

)

(

,

ϕ

π

ϕ

i

k

i

e

e

=

+

)

2

(

,

0

≠

ϕ

i

e

,

1

=

ϕ

i

e

.

Zauważmy też, że jeżeli

ϕ

i

e

z

z

=

, to

ϕ

i

e

z

z

−

=

.

Uzasadnić słuszność następującego wzoru:

0

)

1

(

=

+

π

i

e

.

Z postaci wykładniczej liczb zespolonych wygodnie jest korzystać w przypadku mnożenia, dzielenia czy

potęgowania tych liczb.

Przykład 7:

a)

i

i

i

e

e

i

i

i

i

e

e

2

)

0

(

2

))

sin(

(cos(

2

2

2

2

)

2

2

4

7

4

5

4

7

4

5

)

(

4

8

−

=

−

=

−

+

−

=

=

=

−

−

π

π

π

π

π

π

π

,

b)

16

16

2

)

2

(

)

2

(

)

1

(

0

6

4

8

8

8

4

24

4

3

=

=

=

=

=

+

−

e

e

e

e

i

i

i

i

π

π

π

.

Ponieważ

)

sin

(cos

ϕ

ϕ

ϕ

i

e

i

+

=

, to łatwo otrzymamy, że

)

sin

(cos

ϕ

ϕ

ϕ

i

e

i

−

=

−

. Dodając i odejmując

stronami oba wyrażenia otrzymamy, że

ϕ

ϕ

ϕ

cos

2

=

+

−

i

i

e

e

oraz

ϕ

ϕ

ϕ

sin

2

i

e

e

i

i

=

−

−

, skąd wynikają wzory

Eulera:

i

i

i

i

i

e

e

e

e

2

2

sin

;

cos

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

−

−

−

=

+

=

.

(Leonard Euler (1707-1783) to szwajcarski matematyk, fizyk i astronom).

5.

Pierwiastkowanie liczb zespolonych.

Pierwiastkiem stopnia

N

n

∈

danej liczby zespolonej

z

nazywamy każdą liczbę zespoloną

w

, spełniającą

warunek

z

w

n

=

. Zbiór wszystkich pierwiastków stopnia n z liczby zespolonej

z

oznaczamy symbolem

n

z

.

Symbol ten ma jednak inne znaczenie w przypadku liczb zespolonych i nie wolno go używać do obliczeń lecz tylko

do oznaczenia zbioru rozwiązań równania

z

w

n

=

.

Różnicę tę zauważymy, jeśli na przykład zapiszemy symbol

4

1

. W przypadku liczb rzeczywistych mamy

oczywiście

1

1

4

=

. Natomiast w przypadku liczb zespolonych będzie to zbiór wszystkich takich liczb zespolonych,

które podniesione do czwartej potęgi dadzą liczbę 1, czyli

}

,

1

,

,

1

{

1

4

i

i

−

−

=

.

Definicja. Każda liczba zespolona

0

≠

z

ma dokładnie n pierwiastków stopnia n.

Zbiór tych pierwiastków ma postać

}

...,

,

,

{

1

1

0

−

=

n

n

w

w

w

z

, gdzie

1

...,

,

2

,

1

,

0

dla

)

(

2

2

sin

cos

−

=

+

+

+

=

n

k

n

k

n

k

i

z

w

n

k

π

ϕ

π

ϕ

.

Interpretacja geometryczna zbioru pierwiastków z liczby zespolonej.

Zbiór pierwiastków stopnia

3

≥

n

z liczby zespolonej

z

pokrywa się ze zbiorem wierzchołków

n

-kąta

foremnego wpisanego w okrąg o promieniu

n

z

i środku w początku układu współrzędnych. Jeden z

wierzchołków tego

n

-kąta jest w punkcie odpowiadającym liczbie zespolonej

)

(

sin

cos

0

n

n

i

z

w

n

ϕ

ϕ

+

=

, a kąt

między promieniami wodzącymi sąsiednich wierzchołków jest równy

n

π

2

.

Przykład 8:

Obliczyć następujące pierwiastki z liczb zespolonych: a)

3

i

, b)

3

8i

−

, c)

4

2

3

2

1

i

+

−

oraz określić ich

interpretację geometryczną.

Ad 1) Liczba, którą tu pierwiastkujemy, to

2

2

sin

cos

π

π

i

i

+

=

czyli mamy tu

3

,

,

1

2

=

=

=

n

i

π

ϕ

.

Zatem

}

,

,

{

2

1

0

3

w

w

w

i

=

, gdzie

=

0

w

i

2

1

2

3

+

+

+

=

=

)

sin

(cos

)

sin

(cos

1

6

6

2

2

3

3

3

π

π

π

π

i

i

,

=

1

w

i

2

1

2

3

+

+

+

−

=

=

+

+

)

sin

(cos

)

sin

(cos

6

5

6

5

3

2

3

2

2

2

π

π

π

π

π

π

i

i

,

=

2

w

i

−

=

=

+

+

+

+

)

sin

(cos

)

sin

(cos

2

3

2

3

3

4

3

4

2

2

π

π

π

π

π

π

i

i

.

Ad 2) Liczba, którą pierwiastkujemy, to

)

sin

(cos

8

8

2

3

2

3

π

π

i

i

+

=

−

czyli

3

,

,

8

8

2

3

=

=

=

−

n

i

π

ϕ

. Zatem

}

,

,

{

8

2

1

0

3

w

w

w

i

=

−

, gdzie

=

0

w

i

2

=

=

+

+

)

sin

(cos

2

)

sin

(cos

8

2

2

2

3

2

3

3

3

3

π

π

π

π

i

i

,

=

1

w

i

−

−

=

−

=

=

−

+

+

+

+

3

)

(

2

)

sin

(cos

2

)

sin

(cos

8

2

1

2

3

2

3

2

3

6

7

6

7

3

2

3

2

3

i

i

i

π

π

π

π

π

π

,

=

2

w

i

−

=

=

=

−

+

+

+

+

3

)

(

2

)

sin

(cos

2

)

sin

(cos

8

2

1

2

3

2

3

2

3

6

11

6

11

3

4

3

4

3

i

i

i

π

π

π

π

π

π

.

Ad 3) Pierwiastkowana liczba to

3

2

3

2

2

3

2

1

sin

cos

π

π

i

i

+

=

+

−

czyli

4

,

,

1

3

2

2

3

2

1

=

=

=

+

−

n

i

π

ϕ

. Zatem

}

,

,

{

3

,

2

1

0

4

2

3

2

1

w

w

w

w

i

=

+

−

, gdzie

=

0

w

i

2

1

2

3

+

+

+

=

=

6

6

3

2

3

2

sin

cos

sin

cos

4

4

π

π

π

π

i

i

,

=

1

w

i

2

3

2

1

+

+

+

−

=

=

+

+

3

2

3

2

4

2

4

2

sin

cos

sin

cos

3

2

3

2

π

π

π

π

π

π

i

i

,

=

2

w

i

2

1

2

3

−

+

+

−

=

=

+

+

6

7

6

7

4

4

4

4

sin

cos

sin

cos

3

2

3

2

π

π

π

π

π

π

i

i

,

=

3

w

i

2

3

2

1

−

+

+

=

=

+

+

3

5

3

5

4

6

4

6

sin

cos

sin

cos

3

2

3

2

π

π

π

π

π

π

i

i

.

Zwróćmy uwagę na fakt, że dla dowolnej liczby rzeczywistej

0

>

a

mamy

}

,

{

a

i

a

i

a

−

=

−

.

Czyli np.

}

,

{

1

i

i

−

=

−

,

}

3

,

3

{

9

i

i

−

=

−

,

}

5

,

5

{

5

i

i

−

=

−

.

6.

Pierwiastki wielomianów.

Liczbę rzeczywistą (zespoloną)

0

x

nazywamy pierwiastkiem rzeczywistym (zespolonym) wielomianu

W,

jeżeli

0

)

(

0

=

x

W

.

(Tw. Bezouta) Liczba

0

x

jest pierwiastkiem wielomianu

W wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian P

taki, że

)

(

)

(

)

(

0

x

P

x

x

x

W

−

=

.

Liczba

0

x

jest pierwiastkiem

k

-krotnym

wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian P taki, że

)

(

)

(

)

(

0

x

P

x

x

x

W

k

−

=

.

(Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu)

Niech

0

1

1

1

...

)

(

a

x

a

x

a

x

a

x

W

n

n

n

n

+

+

+

+

=

−

−

będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych oraz niech

liczba całkowita

0

≠

p

będzie pierwiastkiem wielomianu

W. Wtedy

p

jest dzielnikiem wyrazu wolnego

0

a

.

Dla trójmianu kwadratowego

c

bz

az

z

W

+

+

=

2

)

(

o współczynnikach rzeczywistych mamy trzy przypadki

wyznaczania miejsc zerowych ze względu na wartość wyróżnika

ac

b

4

2

−

=

∆

:

1

o

. jeżeli

0

>

∆

, to wielomian

W ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste

a

b

a

b

z

z

2

,

2

2

1

∆

+

−

∆

−

−

=

=

;

2

o

. jeżeli

0

=

∆

, to wielomian

W ma jeden dwukrotny pierwiastek rzeczywisty

a

b

z

z

2

2

1

−

=

=

;

3

o

. jeżeli

0

<

∆

, to wielomian

W ma dwa pierwiastki zespolone sprzężone

a

i

b

a

i

b

z

z

2

,

2

2

1

∆

−

+

−

∆

−

−

−

=

=

.

Zasadnicze twierdzenie algebry: Każdy wielomian zespolony stopnia dodatniego ma co najmniej jeden

pierwiastek zespolony.

Przykład 9.
Rozwiązać dane równania w zbiorze liczb zespolonych.

a)

0

1

2

2

2

=

+

+

z

z

.

Mamy tu

4

8

4

−

=

−

=

∆

, czyli

2

4

=

=

∆

−

, zatem

i

i

2

1

2

1

2

1

2

1

+

−

=

+

−

−

−

=

−

−

=

=

4

2

2

,

4

2

2

2

1

i

i

z

z

.

(Można tu też zastosować podejście związane z oznaczeniem

}

2

,

2

{

4

i

i

−

=

−

=

∆

).

b)

0

4

8

5

2

2

3

4

=

+

−

+

−

z

z

z

z

.

Zauważmy, że

1

=

z

jest jednym z rozwiązań. Zatem możemy podzielić wielomian znajdujący się z lewej

strony równości przez dwumian

1

−

z

i wyjściowe równanie możemy zapisać w formie

0

)

1

)(

4

4

(

2

3

=

−

−

+

−

z

z

z

z

. Zwróćmy z kolei uwagę, że

1

=

z

jest również miejscem zerowym wielomianu

stopnia trzeciego. Po wykonaniu kolejnego dzielenia przez dwumian

1

−

z

otrzymamy zapis równania w

formie

0

)

1

)(

4

(

2

2

=

−

+

z

z

. Ponieważ

4

2

−

=

z

w przypadku gdy

i

z

2

−

=

lub

i

z

2

=

, a więc zbiorem

rozwiązań wyjściowego równania są trzy liczby:

1}

2

2

{

,

, i

i

−

(liczba 1 jest tu pierwiastkiem podwójnym).