1

LICZBY ZESPOLONE

Definicja

Liczbą zespoloną nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych, np.

 

,

x y .

Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczamy przez

C

:

 





R

y

x

y

x

z

C







,

:

,

Geometrycznie: Liczbę zespoloną

 

,

z

x y



przedstawiamy na płaszczyźnie w postaci punktu

o współrzędnych

 

,

x y lub w postaci wektora o początku w punkcie

 

0, 0 i końcu w punkcie

 

,

x y . Zbiór wszystkich liczb zespolonych nazywamy wtedy płaszczyzną zespoloną.

Definicja

Liczbę zespoloną

 

0,1 nazywamy jednostką urojoną i oznaczamy ją przez i :

 

0,1

i



Jednostka urojona spełnia równanie:

1

2





i

P

OSTAĆ ALGEBRAICZNA LICZBY ZESPOLONEJ

Każdą liczbę zespoloną można jednoznacznie zapisać w postaci:

z

x iy

 

, gdzie

R

y

x



,

Definicja

Niech x iy



będzie postacią algebraiczną liczby zespolonej

z

. Wówczas:



liczbę x nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej

z

, co zapisujemy:

Re z

x





liczbę

y

nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej

z

, co zapisujemy:

Im z

y



Własność liczb zespolonych w postaci algebraicznej

Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich części rzeczywiste i urojone są
równe, tzn.

1

2

1

2

1

2

Re

Re

Im

Im

z

z

z

z

z

z







 





Definicja

Sprzężeniem liczby zespolonej z x iy

 

, gdzie

R

y

x



,

, nazywamy liczbę zespoloną z

określoną wzorem

z

x iy

 

x

x

y

y

 

,

z

x y





2

Geometrycznie: Liczba sprzężona z do liczby z jest jej obrazem w symetrii względem osi
rzeczywistej (Re z).

Własności sprzężenia liczb zespolonych

Niech

C

z

z

z



2

1

,

,

. Wtedy:

1.

1

2

1

2

z

z

z

z



 

2.

1

2

1

2

z

z

z

z

  

3.

1

2

1

2

z z

z z

  

4.

1

1

2

2

z

z

z

z



, o ile

2

0

z



5.

2 Re

z

z

z

 

6.

2 Im

z

z

i

z

 

7.

 

z

z



8.

 

 

Im

Im

z

z

 

Definicja

Modułem liczby zespolonej z x iy

 

, gdzie

R

y

x



,

, nazywamy liczbę rzeczywistą z

określoną wzorem:

2

2

z

x

y





Geometrycznie moduł liczby zespolonej

z

jest odległością punktu

z

od początku układu

współrzędnych.

Własności modułu liczby zespolonej

Niech

C

z

z

z



2

1

,

,

. Wtedy:

1. z

z

z



 

2.

2

z z

z

 

3.

1

2

1

2

z z

z

z







4.

1

1

2

2

z

z

z

z



, o ile

2

0

z



5.

1

2

1

2

z

z

z

z







6.

1

2

1

2

z

z

z

z







7. Re z

z



, Im z

z



8.





1

2

1

2

Re z z

z

z







Definicja

Każdą liczbę

R





spełniającą układ równań:

cos

sin

x

z

y

z





















nazywamy argumentem liczby zespolonej

0

z

x iy

  

, gdzie

R

y

x



,

.

Argumentem głównym liczby zespolonej

0

z



nazywamy argument



tej liczby spełniający

nierówność

0

2





 

. Argument główny liczby zespolonej

z

oznaczamy przez

arg z

.

Każdy argument



liczby zespolonej

0

z



ma postać

arg

2

z

k









, gdzie

Z

k



Geometrycznie: Argument liczby zespolonej z jest miarą kąta zorientowanego utworzonego
przez dodatnią część osi rzeczywistej (Re z) i wektor wodzący liczby z.

3

Własności argumentu liczby zespolonej

Niech

C

z

z

z



2

1

,

,

oraz niech

N

n



. Wtedy:

1.





1

2

1

2

arg

arg

arg

2

z z

z

z

k











dla pewnego

Z

k



2.

 

arg

arg

2

n

z

n

z

k







dla pewnego

Z

k



3.

1

1

2

2

arg

arg

arg

2

z

z

z

k

z





















dla pewnego

Z

k



, o ile

2

0

z



4.

 

arg

2

arg

z

z







5.

 

arg

, gdy 0

arg

arg

arg

, gdy

arg

2

z

z

z

z

z



















  









6.

1

arg

2

arg z

z



   

 

 

, o ile

0

z



P

OSTAĆ TRYGONOMETRYCZNA LICZBY ZESPOLONEJ

Każdą liczbę zespoloną

z

można przedstawić w postaci:





cos

sin

z

z

i









gdzie

0

z



oraz

R





. Liczba

z jest wówczas modułem liczby

z

, a



jednym z jej

argumentów.

Własności liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej

Niech





1

1

1

1

cos

sin

z

z

i









,





2

2

2

2

cos

sin

z

z

i









, gdzie

1

2

,

0

z

z



oraz

R



2

1

,





,

będą liczbami zespolonymi. Wtedy:
1.

1

2

1

2

1

2

2

z

z

z

z

k

 









 



, dla pewnego

Z

k



2.













1

2

1

2

1

2

1

2

cos

sin

z z

z z

i

 

 

 







3.













1

1

1

2

1

2

2

2

cos

sin

z

z

i

z

z

 

 









, o ile

2

0

z



Wzór de Moivre’a

Niech





cos

sin

z

z

i









, gdzie

0

z



oraz

R





, oraz niech

N

n



. Wtedy:





cos

sin

n

n

z

z

n

i

n









Literatura

1. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas: Algebra liniowa 1. Definicje, twierdzenia, wzory.
2. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas: Algebra liniowa 1. Przykłady i zadania.



Re z

Im z

z

z

