LICZBY ZESPOLONE

Definicja 1 ( liczba zespolona, działania w zbiorze liczb zespolonych) Liczbą

zespoloną nazywamy

uporządkowaną parę

liczb

rzeczywistych, np. ( x, y), ( a, b).

y

y

z = ( x, y)

x

x

LICZBY ZESPOLONE 2 / 23

Zbiorem liczb zespolonych nazywamy:

def

C = {

z = ( x, y) : x, y ∈ }

R .

Niech z = ( x , y ), z = ( x , y ) i z , z

.

1

2 ∈ C

1

1

1

2

2

2

W zbiorze C wprowadzamy dwa działania:

def

1.

sumę

z + z = ( x + x , y + y ), 1

2

1

2

1

2

def

2.

iloczyn

z ⋅ z = ( x x − y y , x y + x y ).

1

2

1 2

1 2

1 2

2 1

LICZBY ZESPOLONE 3 / 23

Fakt 1 ( własności działań w zbiorze liczb zespolonych) Niech z , z , z będą dowolnymi liczbami zespolonymi.

1

2

3

Wtedy:

1.

z + z = z + z ,

1

2

2

1

2.

( z + z ) + z = z + ( z + z ), 1

2

3

1

2

3

def

3.

z + 0 = z,

gdzie 0 = ( 0

,

0 ),

def

4.

z + (− z) = 0,

gdzie − z = (− x,− y),

5.

z ⋅ z = z ⋅ z ,

1

2

2

1

LICZBY ZESPOLONE 4 / 23

6.

( z ⋅ z ) ⋅ z = z ⋅ ( z ⋅ z ), 1

2

3

1

2

3

def

7.

z ⋅1 = z,

gdzie 1 =

0

,

1

(

),

1

1 def 

x

y



8.

z ⋅ = 1,

gdzie



=

, −



z

z

 2

x + 2

2

y

x + 2

y 

oraz z ≠ 0,

9.

z ⋅ ( z + z ) = z ⋅ z + z ⋅ z ).

1

2

3

1

2

1

3

LICZBY ZESPOLONE 5 / 23

Definicja 2 ( różnica i iloraz liczb zespolonych) Niech z , z będą dowolnymi liczbami zespolonymi.

1

2

def

1.

z − z = z + (− z ),

1

2

1

2

z def

1

2.

1 = z ⋅ ,

o ile z

0.

2 ≠

1

z

z

2

2

Uwaga 1

Wszystkie reguły czterech podstawowych działań algebraicznych znane dla liczb rzeczywistych są prawdziwe również dla liczb zespolonych.

LICZBY ZESPOLONE 6 / 23

Definicja 3 ( jednostka urojona)

def

i = (

)

1

,

0

.

2

i = ?

Fakt 2 ( postać algebraiczna liczby zespolonej)

Każdą liczbę zespoloną można jednoznacznie zapisać w postaci:

z = x + i ⋅ y , gdzie x, y ∈ R.

def

Re z = x – część rzeczywista liczby zespolonej z, def

Im z = y – część urojona liczby zespolonej z.

LICZBY ZESPOLONE 7 / 23

Definicja 4 ( sprzężenie liczby zespolonej) Sprzężeniem liczby zespolonej z = x + iy , gdzie x, y ∈ R

nazywamy liczbę z określoną wzorem:

z = x − iy .

Fakt 3 ( własności sprzężenia liczb zespolonych)

Niech z

, z

, z będą dowolnymi liczbami zespolonymi. Wtedy:

1

2

1.

z + z = z + z ,

1

2

1

2

5.

( z) = z,

2.

z − z = z − z ,

− =

1

2

1

2

6.

z

z

i

2 Im z ,

3.

z ⋅ z = z ⋅ z ,

7.

z + z = 2 Re z,

1

2

1

2



= −

z 

z

8.

Im( z)

Im z .

4.

1

1



 =

, o ile z ≠ 0,

 z 

z

2

2

2

LICZBY ZESPOLONE 8 / 23

Definicja 5 ( moduł liczby zespolonej) Modułem liczby zespolonej z = x + iy , gdzie x, y ∈ R nazywamy liczbę z określoną wzorem:

def

2

2

z = x + y .

Fakt 4 ( własności modułu liczb zespolonych)

Niech z , z , z będą dowolnymi liczbami zespolonymi. Wtedy: 1

2

1. z = z = − z ,

5. z + z ≤ z + z ,

1

2

1

2

−

≤

−

2.

2

z ⋅ z = z ,

6. z

z

z

z ,

1

2

1

2

3. z ⋅ z = z ⋅ z ,

7. Re z ≤ z , Im z ≤ z ,

1

2

1

2

⋅

≤

⋅

z

z

8. Re( z z )

z

z .

1

2

1

2

4.

1

1

=

, o ile z ≠ 0,

z

z

2

2

2

LICZBY ZESPOLONE 9 / 23

Definicja 6 ( argument i argument główny liczby zespolonej) Argumentem liczby zespolonej z = x + iy ≠ 0, gdzie x, y ∈ R

nazywamy każdą liczbę ϕ ∈ R spełniającą układ równań:



ϕ = x

cos



z



.



ϕ = y

sin



z

Przyjmujemy, że argumentem dla z = 0 jest każda liczba ϕ ∈ R.

LICZBY ZESPOLONE 10 / 23

Definicja 6 ( cd. )

Argumentem głównym (ozn. arg z) liczby zespolonej z ≠ 0

nazywamy argument ϕ tej liczby spełniający: 0 ≤ ϕ < π

2 .

Przyjmujemy, że argumentem głównym dla z = 0 jest 0.

Dla z ≠ 0 mamy zatem:

ϕ = arg z + 2 kπ , gdzie k ∈ Z .

LICZBY ZESPOLONE 11 / 23

1

Fakt 5 ( o argumentach z, − z, )

z

Niech z ≠ 0 będzie dowolna liczbą zespoloną. Wtedy:

1.

arg z = 2π − arg z ;



arg z + π , dla

0 ≤ arg z < π ,

2.

arg(− z) = 



arg z − π , dla π ≤ arg z < 2π ;

 1 

3.

arg  = 2π − arg z .

 z 

LICZBY ZESPOLONE 12 / 23

Fakt 6 ( postać trygonometryczna liczby zespolonej) Każdą liczbę zespoloną z można przedstawić w postaci:

z = r(cosϕ + i sinϕ ),

gdzie liczba r ≥ 0 jest modułem liczby z, a ϕ ∈ R jednym z jej argumentów.

Im z

z

r

ϕ

Re z

LICZBY ZESPOLONE 13 / 23

Fakt 7 ( postać trygonometryczna – mnożenie i dzielenie) Niech z = r (cosϕ + i sinϕ )

z = r (cosϕ + i sinϕ

1

1

1

1 i

)

2

2

2

2

(gdzie r , r ≥ 0, ϕ ,ϕ

) będą liczbami zespolonymi.

1

2 ∈ R

1

2

Wtedy:

z ⋅ z = r ⋅ r [cos(ϕ + ϕ ) + i sin(ϕ + ϕ )], 1

2

1

2

1

2

1

2

z

r

1

1

= [cos(ϕ −ϕ ) + i sin(ϕ −ϕ )], o ile z ≠ 0.

1

2

1

2

z

r

2

2

2

LICZBY ZESPOLONE 14 / 23

Fakt 8 ( postać trygonometryczna – własności) Niech z = r(cosϕ + i sinϕ ), gdzie r ≥ 0 oraz ϕ ∈ R.

Wtedy:

1. z = r[cos( ϕ

− ) + i sin( ϕ

− )],

1

1

2.

= [cos( ϕ

− ) + i sin( ϕ

− )], o ile z ≠ 0,

z

r

3. − z = r[cos(ϕ + π ) + i sin(ϕ + π )], 4. zn = rn (cos nϕ + i sin ϕ

n ), gdzie n ∈ N . ( wzór Moivre’a) LICZBY ZESPOLONE 15 / 23

Fakt 9 ( o argumentach iloczynu, potęgi i ilorazu) Niech z

, z

, z

oraz n ∈ N . Wtedy:

1

2 ∈ C

1. arg( z z ) = arg z + arg z + 2 k dla k = 0 lub k = 1

− ,

1 2

1

2

π

2. arg( zn ) = n arg z + 2 kπ dla pewnego k ∈ Z ,

 z 

3. arg

1



 = arg z − arg z + 2 k dla k = 0 lub k = 1, o ile z ≠ 0.

1

2

π

 z 

2

2

Liczbę k dobieramy tak, aby argument główny należał do , 0 2π ).

LICZBY ZESPOLONE 16 / 23

ϕ

Definicja 7 ( symbol i

e )

ϕ

Dla ϕ ∈ R liczbę zespoloną cosϕ + i sinϕ oznaczamy przez i e .

ϕ

ei = cosϕ + i sinϕ .

Im z

ϕ

i

e

ϕ

1

Re z

LICZBY ZESPOLONE 17 / 23

ϕ

Fakt 10 ( własności symbolu i

e )

Niech ϕ,ϕ ,ϕ

oraz k ∈ Z . Wtedy:

1

2 ∈ R

i ϕ ϕ

+

ϕ

iϕ

1.

(

i

ϕ

1

2 )

1

i 2

e

= e ⋅ e ,

5.

e

≠ 0,

ϕ

i

ϕ

1

i

e

=

i ϕ ϕ

−

e

6.

1,

2.

( 1

2 )

e

= ϕ ,

i 2

e

iϕ

i

1

ϕ

7.

e

= e 2 ⇔ ϕ =

+

,

1

ϕ

2

2

π

l

ϕ k

3.

( ie ) i ϕ k

= e ,

gdzie l ∈ Z ,

i ϕ

( +2 kπ

ϕ

4.

)

ϕ

i

e

= e ,

8.

arg( ei ) = ϕ + 2 π

l

dla pewnego l ∈ Z .

LICZBY ZESPOLONE 18 / 23

Fakt 11 ( wzory Eulera)

Niech ϕ ∈ R.

Prawdziwe są wzory:

ϕ

i

− ϕ

i

ϕ

− ϕ

e

+ e

ei − e i

cosϕ =

; sinϕ =

.

2

i

2

LICZBY ZESPOLONE 19 / 23

Fakt 12 ( postać wykładnicza liczby zespolonej) Każdą liczbę zespoloną z można przedstawić w postaci:

ϕ

i

z = re ,

gdzie liczba r ≥ 0 jest modułem liczby z, a ϕ ∈ R jednym z jej argumentów.

LICZBY ZESPOLONE 20 / 23

Fakt 13 ( postać wykładnicza – własności) ϕ

ϕ

ϕ

Niech

i

z = re ,

i 1

z = r e ,

i 2

z = r e

, gdzie r, r , r ≥ 0,

1

1

2

2

1

2

ϕ,ϕ ,ϕ

, będą liczbami zespolonymi. Ponadto niech k ∈ Z .

1

2 ∈ R

Wtedy:

−

1.

ϕ

i

z = re

,

4.

k

k ikϕ

z = r e

,

i ϕ +

2.

(

π )

− z = re

,

i ϕ ϕ

+

5.

(

)

1

2

z ⋅ z = r r e

,

1

2

1 2

1

−

z

r

3.

ϕ

i

= 1 e , o ile z ≠ 0,

ϕ ϕ

−

6.

1

2

(

)

1

2

=

i

e

, o ile z ≠ 0.

z

r

z

r

2

2

2

LICZBY ZESPOLONE 21 / 23

Definicja 8 ( pierwiastek z liczby zespolonej) Pierwiastkiem stopnia n ∈ N z liczby zespolonej z nazywamy każdą liczbę zespoloną w spełniającą równanie:

wn = z.

LICZBY ZESPOLONE 22 / 23

Fakt 14 ( wzór na pierwiastki z liczby zespolonej) Każda liczba zespolona z = r(cosϕ + i sinϕ ), gdzie r ≥ 0 oraz ϕ ∈ R, ma dokładnie n pierwiastków stopnia n.

Zbiór tych pierwiastków ma postać:

n z { z , z ,K

=

, z } ,

0

1

n



ϕ 2 π

ϕ 2 π

n

+ k

+ k 

gdzie z

cos

sin

dla k =

,

2

,

1

,

0

K

, n −1.

k =

r

+ i





n

n



LICZBY ZESPOLONE 23 / 23