drgania harmoniczne

/ 1

RUCH PERIODYCZNY

Masa na sprężynie

ω

π

/

2

=

T

k

m

T

π

2

=

Wahadło

drgania harmoniczne

/ 2

DRGANIA HARMONICZNE

swobodne oscylacje

( )

c o s (

)

x t

A

t

ω

ϕ

=

+

różne amplitudy,

A

różne

częstości

kołowe,

ω

różne

fazy

początkowe

ϕ

drgania harmoniczne

/ 3

DRGANIA HARMONICZNE

Potrzebne:

•

siła kierująca F = - kx

•

bezwładność

Równanie ruchu

ma =

−

kx

:

x

m

k

dt

x

d

−

=

2

2

szukamy rozwiązania w postaci :

)

cos(

)

(

ϕ

ω

+

=

t

A

t

x

Sprawdzenie:

)

cos(

)

(

ϕ

ω

+

=

t

A

t

x

)

sin(

)

(

ϕ

ω

ω

+

−

=

t

A

t

v

)

cos(

)

(

2

ϕ

ω

ω

+

−

=

t

A

t

a

)

(

)

(

2

t

x

t

a

ω

−

=

x(t) jest rozwiązaniem pod warunkiem, że

m

k

=

2

ω

stałe A i

ϕ

wyznaczamy z warunków początkowych.

drgania harmoniczne

/ 4

WAHADŁO MATEMATYCZNE

energia potencjalna

przyspieszenie

ds = l d

θ

ds

d

v

l

dt

dt

θ

=

=

2

2

dv

d

a

l

dt

dt

θ

=

=

siła powodująca drgania

F = - mg sin

θ

2

2

sin

d

ml

mg

dt

θ

θ

= −

drgania harmoniczne

/ 5

WAHADŁO MATEMATYCZNE

θ

θ

sin

2

2

l

g

dt

d

−

=

Dla małych kątów szereg Taylora

1

wokół

θ

= 0

.........

!

5

!

3

sin

5

3

+

+

−

=

θ

θ

θ

θ

dla małych

θθθθ

θ

3

<< θ

θ

θ

≈

sin

θ

ω

θ

2

0

2

2

−

=

dt

d

l

g

=

2

0

ω

)

cos(

)

(

0

0

ϕ

ω

θ

−

=

t

A

t

dla dużych

θθθθ

1

)

(

!

)

(

)

(

0

)

(

0

x

f

n

x

x

x

f

n

n

n

∑

−

=

drgania harmoniczne

/ 6

OBWÓD Z PRĄDEM

obwód LC

L

dI

V

L

dt

= −

2

2

L

d Q

V

L

dt

= −

C

Q

V

C

=

Suma napięć w obwodzie zamkniętym

V

L

+ V

C

= 0

0

1

2

2

=

+

Q

C

dt

Q

d

L

0

1

2

2

=

+

Q

LC

dt

Q

d

Q

dt

Q

d

2

2

2

ω

−

=

LC

1

2

=

ω

drgania harmoniczne

/ 7

SUPERPOZYCJA DRGAŃ

Równanie różniczkowe

0

2

2

2

=

+

x

dt

x

d

ω

jest liniowe i jednorodne. Suma dwóch dowolnych rozwiązań
takiego równania jest też jego rozwiązaniem.

ZASADA SUPERPOZYCJI DRGAŃ

Jeśli ciało podlega jednocześnie kilku drganiom to jego

wychylenie z położenia równowagi jest sumą wychyleń

wynikających z każdego ruchu.

Dwa rozwiązania:

•

dla warunków początkowych

x

1

0

, v

1

0

rozwiązanie

x

1

(t)

•

dla warunków początkowych

x

2

0

, v

2

0

rozwiązanie

x

2

(t)

Jeżeli

x

0

= x

1

0

+ x

2

0

a

v

0

= v

1

0

+ v

2

0

to rozwiązaniem jest

x(t) = x

1

(t) + x

2

(t)

drgania harmoniczne

/ 8

OBRACAJĄCY SIĘ WEKTOR AMPLITUDY

Jeśli wektor o długości A obraca się z prędkością kątową

ω

w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara to

jego rzut na oś x wynosi

)

cos(

0

ϕ

ω

+

=

t

A

x

drgania harmoniczne

/ 9

SKŁADANIE DRGAŃ

•

drgania przesunięte w fazie

)

cos(

i

i

i

t

A

x

ϕ

ω

+

=

2

1

A

A

A

+

=

)

cos(

2

1

2

2

1

2

2

2

1

2

ϕ

ϕ

−

−

+

=

A

A

A

A

A

x

y

=

ϕ

tg

2

2

1

1

2

2

1

1

cos

cos

sin

sin

tg

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

A

A

A

A

+

+

=

drgania harmoniczne

/ 10

SKŁADANIE DRGAŃ

•

dwa stopnie swobody

- wahadło sferyczne

l

M












−

=

−

=

y

l

Mg

dt

y

d

M

x

l

Mg

dt

x

d

M

2

2

2

2

)

cos(

)

(

1

0

1

ϕ

ω

+

=

t

A

t

x

)

cos(

)

(

2

0

2

ϕ

ω

+

=

t

A

t

y

gdzie

l

g /

0

=

ω

)

(

ˆ

)

(

ˆ

t

y

y

t

x

x

r

+

=

drgania harmoniczne

/ 11

SKŁADANIE DRGAŃ

•

różne częstości i kierunki

)

cos(

1

1

1

ϕ

ω

+

=

t

A

x

)

cos(

2

2

2

ϕ

ω

+

=

t

A

y

tor punktu mieści się wewnątrz prostokąta 2A

1

, 2A

2

.

figury
Lissajous

drgania harmoniczne

/ 12

SKŁADANIE DRGAŃ

•

Różne częstości i ten sam kierunek

t

A

x

1

1

cos

ω

=

t

A

x

2

2

cos

ω

=

2

cos

2

cos

2

cos

cos

β

α

β

α

β

α

−

+

=

+

2

(

)

1

2

1

2

1

2

1

2

cos

cos

2

cos

cos

2

2

x

x

x

A

t

t

x

A

t

t

ω

ω

ω

ω

ω

ω

=

+

=

+

+

−

=

⋅

mod

2 cos

cos

ś

r

x

A

t

t

ω

ω

=

⋅

(

)

1

2

1

2

ś

r

ω

ω

ω

=

+

(

)

mod

1

2

1

2

ω

ω ω

=

−

Przy niewielkiej różnicy częstości otrzymujemy

dudnienia.

drgania harmoniczne

/ 13

ANALIZA FOURIERA

Dowolne złożone drganie okresowe o okresie T można
przedstawić

w

postaci

sumy

prostych

drgań

harmonicznych o częstościach kołowych będących
wielokrotnościami podstawowej częstości kołowej

ω

ω

= 2

π

/ T

( )

( )

0

1

( )

[

cos

sin

]

2

n

n

n

a

f t

a

n t

b

n t

ω

ω

∞

=

=

+

+

∑

lub

∑

∞

=

+

+

=

1

0

)

sin(

2

)

(

n

n

n

t

n

A

a

t

f

ϕ

ω

gdzie współczynniki

( )

/ 2

/ 2

2

( ) cos

1,2,3,...

T

n

T

a

f t

n t dt

n

T

ω

−

=

=

∫

( )

/ 2

/ 2

2

( )sin

1,2,3,...

T

n

T

b

f t

n t dt

n

T

ω

−

=

=

∫

drgania harmoniczne

/ 14

ENERGIA DRGAŃ

)

cos(

0

0

ϕ

ω

−

=

t

A

x

)

sin(

0

0

0

ϕ

ω

ω

−

−

=

t

A

v

•

Energia kinetyczna

2

2

1

mv

T

=

)

(

sin

2

1

0

0

2

2

2

0

ϕ

ω

ω

−

=

t

A

m

T

•

Energia potencjalna

2

0

0

2

1

kx

kxdx

dx

F

U

x

x

z

∫

∫

=

=

=

)

(

cos

2

1

0

0

2

2

ϕ

ω

−

=

t

kA

U

k=m

ω

0

2

drgania harmoniczne

/ 15

ENERGIA DRGAŃ

•

Energia kinetyczna (T ≡ E

k

)

)

(

sin

2

1

0

0

2

2

2

0

ϕ

ω

ω

−

=

t

A

m

T

•

Energia potencjalna (U ≡ E

p

)

)

(

cos

2

1

0

0

2

2

ϕ

ω

−

=

t

kA

U

Energia całkowita

)]

(

cos

)

(

[sin

2

1

)

(

0

0

2

0

0

2

2

2

0

ϕ

ω

ϕ

ω

ω

−

+

−

=

t

t

A

m

t

E

2

2

0

1

2

E

m

A

ω

=

E całkowita jest stała

Zależność od czasu

Zależność od położenia

:

2

2

1

kx

E

p

=

E

k

(x) = E - E

p

(x)

k=m

ω

0

2

drgania harmoniczne

/ 16

WYCHYLENIE Z POŁOŻENIA

RÓWNOWAGI

A