Odwzorowanie Gaussa-Krűgera

 Odwzorowanie Gaussa-Krügera jest to równokątne walcowe poprzeczne odwzorowanie

powierzchni elipsoidy obrotowej na płaszczyznę, przy czym środkowy południk obszaru

odtwarza się wiernie. Obszaru całej powierzchni lub znacznej części elipsoidy nie można

odwzorować bez dużych zniekształceń, dlatego obszar Ziemi należy podzielić na odpowiednie

pasy południkowe. Każdy z takich pasów jest oddzielnie odwzorowany i stanowi dla siebie

oddzielny układ współrzędnych prostokątnych płaskich. Szerokości pasów ustalone są tak,

ażeby każdy z nich można było odwzorować na płaszczyznę (tj. przedstawić na mapie) bez

praktycznie odczuwalnych zniekształceń, które nie przekraczałyby stopnia dokładności map.

W tym celu powierzchnie elipsoidy obrotowej dzieli się, począwszy od zerowego południka

Greenwich, na 60 pasów południkowych po 6º każdy lub 120 pasów po 3º każdy.

Południk środkowy w każdym pasie nazywamy południkiem osiowym; dzieli on pas na dwie

równe części: zachodnią i wschodnią.

Pasy odwzorowujemy według praw matematyki na boczną powierzchnie walca w ten sposób,

ażeby została zachowana wiernokątność, tj. równość odpowiednich kątów na elipsoidzie i na

płaszczyźnie.

W ten sposób odwzorowuje się kolejno na powierzchnię boczną kolejnych walców wszystkie

pasy lub też obracamy globus eliptyczny w walcu o szerokość projektowanego pasa, na

przykład dla pasów 6º długości geograficznej o 6º, tak aby walec był styczny do południka

osiowego w każdym nowo projektowanym pasie (rys. 6).

Rys. 6. Obraz pasa 3- lub 6-stopniowego.Rozcinając teraz walec według linii AA1 lub BB1 i

rozwijając jego boczną powierzchnię na płaszczyznę, otrzymamy obraz powierzchni ziemskiej

na płaszczyźnie w postaci oddzielnych pasów.

Otrzym

any w ten sposób w wymaganej skali obraz płaski każdego pasa dzielimy za pomocą siatki

kartograficznej na oddzielne arkusze mapy według ustalonych rozmiarów.

W każdym pasie obrazem południka osiowego i równika będą odcinki prostoliniowe,

prostopadłe do siebie, które z reguły przyjmuje się za osie układu współrzędnych prostokątnych

płaskich dla danego pasa. Osią x układu jest prostoliniowy i wierny w długości obraz

środkowego południka danego pasa, skierowany na północ. Osią y jest prostoliniowy obraz

odcinka równika skierowany na wschód. Wobec tego, że odwzorowanie jest wiernokątne, nie

ma zniekształceń kątowych w obrębie całego pasa.

1 / 2

Odwzorowanie Gaussa-Krűgera

Wszystkie inne południki w każdym pasie odwzorowują się jako linie krzywe i dlatego są one

dłuższe od południka osiowego, tj. są zniekształcone. Poza równikiem wszystkie równoleżniki

również są przedstawione jako krzywe o pewnym zniekształceniu. Największe zniekształcenia

długości występują na brzegach każdego 6-stopniowego pasa południkowego, przy czym

wielkość tych zniekształceń zależy także od szerokości geograficznej rozważanego miejsca i od

przyjętej elipsoidy.

Teoretycznie biorąc, mapy w odwzorowaniu Gaussa-Krügera są obarczone zniekształceniami

długości i mają w różnych niejednakową skalę, ale zniekształcenia te są tak małe, że skalę

mapy w obrębie jednego arkusza można uważać za stałą.

Najczęściej stosowane są pasy południkowe 3º i 6º długości geograficznej. Pasy 3-stopniowe

obejmują mniejsze obszary, zapewniają uzyskanie mniejszych zniekształceń, co jest

szczególnie ważne dla triangulacji, gdyż zniekształcenia na styku dwóch układów wynoszą

zaledwie 17 cm na 1000 m.

Pasy 6-stopniowe długości geograficznej mają tę zaletę, że pozwalają odwzorować obszar dwa

razy większy niż pasy 3-stopniowe, zmniejszając do połowy liczbę styków siatek kilometrowych,

jak również zmniejszają liczbę ewentualnych źródeł błędów przy najzupełniej wystarczającej

dokładności liniowej.

W Polsce osnowa geodezyjna ze względu na potrzebę dokładności jest wykonywana w pasach

3-stopniowych, a mapy – w pasach 6-stopniowych.

Odwzorowanie to można traktować jako rozwinięcie poprzecznego odwzorowania Merkatora

przez zastąpienie powierzchni kuli powierzchnią elipsoidy obrotowej. Z tego względu

odwzorowanie Gaussa-Krűgera jest nazywane odwzorowaniem walcowym poprzecznym

równokątnym powierzchni elipsoidy obrotowej.

 Rys. 7 . Etapy realizacji odwzorowania Gaussa-Krügera

2 / 2