ELEMENTY PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

Twierdzenie (warunek wystarczający monotoniczności funkcji)

Jeżeli dla każdego

 

b

a

x

,

0



funkcja

f

spełnia warunek:

1.

 

0

0





x

f

to

f

jest stała na

 

b

a,

2.

 

0

0





x

f

to

f

jest rosnąca na

 

b

a,

3.

 

0

0





x

f

to

f

jest malejąca na

 

b

a,

4.

 

0

0





x

f

to

f

jest niemalejąca na

 

b

a,

5.

 

0

0





x

f

to

f

jest nierosnąca na

 

b

a,

Definicja

Funkcja f ma w punkcie

R

x



0

minimum lokalne, jeżeli





   

0

,

0

0

x

f

x

f

x

S

x















Funkcja f ma w punkcie

R

x



0

maksimum lokalne, jeżeli





   

0

,

0

0

x

f

x

f

x

S

x















Funkcja f ma w punkcie

R

x



0

minimum lokalne właściwe, jeżeli





   

0

,

0

0

x

f

x

f

x

S

x















Funkcja f ma w punkcie

R

x



0

maksimum lokalne właściwe, jeżeli





   

0

,

0

0

x

f

x

f

x

S

x















Twierdzenie (warunek konieczny istnienia ekstremum)

Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie

0

x oraz ma w tym punkcie ekstremum lokalne

to

 

0

0





x

f

Funkcja może mieć ekstrema lokalne tylko w punktach, w których jej pochodna równa się zero
albo w punktach, w których jej pochodna nie istnieje.

Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia ekstremum)

Jeżeli funkcja f spełnia warunki:

1.

/

0

(

)

0

f

x



2.

 

 



















0

0

0

x

f

x

f



dla każdego









0

0

,

,

x

S x

x

S x













to w punkcie x

0

ma maksimum lokalne właściwe.

Jeżeli funkcja f spełnia warunki:

1.

/

0

(

)

0

f

x



2.

 

 



















0

0

0

x

f

x

f



dla każdego









0

0

,

,

x

S x

x

S x













to w punkcie x

0

ma minimum lokalne właściwe.

31

Definicja

Wykres funkcji nazywamy wypukłym, gdy każdy odcinek siecznej wykresu leży wyżej lub
pokrywa się z fragmentem wykresu położonym między punktami, przez które przechodzi
sieczna.
Wykres funkcji nazywamy wklęsłym, gdy każdy odcinek siecznej wykresu leży niżej lub
pokrywa się z fragmentem wykresu położonym między punktami, przez które przechodzi
sieczna.
Wykres funkcji nazywamy ściśle wypukłym, gdy każdy odcinek siecznej wykresu leży wyżej
niż fragment wykresu położony między punktami, przez które przechodzi sieczna.
Wykres funkcji nazywamy ściśle wklęsłym, gdy każdy odcinek siecznej wykresu leży niżej
niż fragment wykresu położony między punktami, przez które przechodzi sieczna.

Twierdzenie (warunek wystarczający wypukłości)

Jeżeli

 

0

f

x





dla każdego

 

x

a,b



, to wykres funkcji f jest ściśle wypukły na (a,b).

Jeżeli

 

0

f

x





dla każdego

 

x

a,b



, to wykres funkcja f jest ściśle wklęsły na (a,b).

Definicja

Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu punktu x

0

oraz niech ma tam

pochodną. Punkt (x

0

, f(x

0

)) jest punktem przegięcia wykresu funkcji f wtedy i tylko wtedy gdy

wykres funkcji f jest ściśle wklęsły w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu

0

x i ściśle

wypukły w pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu

0

x albo na odwrót.

Twierdzenie (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia)

Jeżeli funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie

0

x oraz wykres funkcji f ma w tym

punkcie punkt przegięcia to

 

0

0

f

x





Funkcja może mieć punkty przegięcia tylko w punktach, w których jej druga pochodna równa
się zero albo w punktach, w których jej druga pochodna nie istnieje.

Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia)

Jeżeli funkcja f spełnia warunki:

1. w punkcie x

0

ma pochodną właściwą albo niewłaściwą,

2.

 

 



















0

0

0

x

f

x

f



dla każdego









0

0

,

,

x

S x

x

S x













(albo na odwrót)

to (x

0

, f(x

0

)) jest punktem przegięcia jej wykresu.

Definicja

Prosta x = a jest asymptotą pionową lewostronną funkcji f, jeżeli

lim

( )

x

a

f x





 

albo lim

( )

x

a

f x





 

Prosta x = a jest asymptotą pionową prawostronną funkcji f, jeżeli

 









x

f

a

x

lim

albo

 









x

f

a

x

lim

Prostą, która jest jednocześnie asymptotą lewostronną i prawostronną funkcji nazywamy
asymptotą pionową obustronną lub krótko asymptotą pionową tej funkcji.

32

Definicja

Prosta

1

1

y

a x b





jest asymptotą ukośną funkcji f w +



, wtedy i tylko wtedy, gdy

  







0

lim

1

1











b

x

a

x

f

x

Prosta

2

2

b

x

a

y





jest asymptotą ukośną funkcji f w –



, wtedy i tylko wtedy, gdy

  







0

lim

2

2











b

x

a

x

f

x

Jeżeli

0

1



a

(albo

0

2



a

) w równaniu asymptoty, to asymptotę ukośną nazywamy poziomą

Twierdzenie (warunek istnienia asymptoty ukośnej)

Prosta

1

1

y

a x b





jest asymptotą ukośną funkcji f w +



, wtedy i tylko wtedy, gdy

1

( )

lim

x

f x

a

x





oraz





1

1

lim

( )

x

b

f x

a x







Prosta

2

2

b

x

a

y





jest asymptotą ukośną funkcji f w –



, wtedy i tylko wtedy, gdy

 

x

x

f

a

x







lim

2

oraz

 





x

a

x

f

b

x

2

2

lim









Twierdzenie (warunek istnienia asymptot poziomych)

Prosta

1

y

b



jest asymptotą poziomą funkcji f w +



, wtedy i tylko wtedy, gdy

1

lim ( )

x

f x

b





Prosta

2

b

y



jest asymptotą poziomą funkcji f w –



, wtedy i tylko wtedy, gdy

 

2

lim

b

x

f

x







Literatura

1. M. Gewert, Z. Skoczylas: Analiza matematyczna 1. Definicje, twierdzenia, wzory.
2. M. Gewert, Z. Skoczylas: Analiza matematyczna 1. Przykłady i zadania.
3. W. Krysicki, L. Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach, część I.