AM sem II wykład 1

22.02.2012

1

S

ZEREGI LICZBOWE

Niech

 

n

a

będzie dowolnym ciągiem liczb rzeczywistych.

D

EFINICJA

Szeregiem liczbowym o wyrazach

n

a nazywamy ciąg

 

n

S

zwany ciągiem sum częściowych, gdzie















n

k

k

n

n

a

a

a

a

S

1

2

1



dla

N

n



Szereg oznaczamy







1

n

n

a



n

a













n

a

a

a

2

1

Szereg nazywamy zbieżnym, jeżeli ciąg sum częściowych

 

n

S

jest zbieżny.

Jeżeli ciąg sum częściowych

 

n

S

jest zbieżny do liczby S

S

S

n



lim

,

to liczbę S nazywamy sumą szeregu, piszemy

S

a

n

n









1

.

Na oznaczenie szeregu zbieżnego można stosować zapis











1

n

n

a

.

Szereg nazywamy rozbieżnym, jeżeli nie jest zbieżny.

Jeżeli ciąg sum częściowych jest rozbieżny do





, to mówimy, że szereg jest rozbieżny do





i

piszemy











1

n

n

a

.

T

W

.

(

WARUNEK KONIECZNY ZBIEŻNOŚCI SZEREGU

)

Jeżeli szereg







1

n

n

a

jest zbieżny, to

0

lim



n

a

.

W

NIOS EK

Jeżeli

0

lim







n

n

a

albo

n

n

a





lim

nie istnieje, to szereg







1

n

n

a

jest rozbieżny.

U

WAGA

Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Świadczy o tym rozbieżny szereg harmoniczny



















1

1

3

1

2

1

1

n

n



, dla którego spełniony jest warunek konieczny zbieżności szeregu

0

1

lim

lim





n

a

n

.

AM sem II wykład 1

22.02.2012

2

T

W

.

(

WARUNEK

(

KONIECZNY I WYSTARCZAJĄCY

)

C

AUCHY

’

EGO ZBIEŻNOŚCI SZEREGU

)

Szereg







1

n

n

a

jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy































n

m

m

a

a

a

N

n

m

n

N

n



1

0

0

0

Warunek ten można wypowiedzieć : dla zbieżności szeregu potrzeba i wystarczy by suma dowolnej
liczby kolejnych lecz dostatecznie dużych (istnieje liczba

0

n

) wyrazów była dowolnie mała

WAŻNE

SZEREGI

S

ZEREG GEOMETRYCZNY































0

1

1

1

2

n

n

n

n

n

aq

aq

aq

aq

aq

a





Szereg geometryczny o ilorazie q bezwzględnie mniejszym od 1 (

1



q

) jest zbieżny do sumy

q

a



1

.

q

a

aq

aq

aq

aq

a

q

n

n

n





























1

1

1

1

1

2





w szczególności

x

x

x

x

x

x

x

n

n

n



























1

1

1

1

2





S

ZEREG HARMONICZNY















1

1

3

1

2

1

1

n

n



Szereg harmoniczny jest rozbieżny, a ciąg jego sum częściowych rośnie do





.



















1

1

3

1

2

1

1

n

n



S

ZEREG HARMONICZNY RZĘDU

r

,

(

UOGÓLNONY SZEREG HARMONICZNY Z WYKŁADNIKIEM

r)















1

1

3

1

2

1

1

n

r

r

r

n



Szereg







1

1

n

r

n

jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy

1



r

.

Dla

1



r

szereg







1

1

n

r

n

jest rozbieżny.

S

ZEREG ANHARMONICZNY





















1

1

)

1

(

4

1

3

1

2

1

1

n

n

n



Szereg anharmoniczny jest zbieżny

























1

1

)

1

(

4

1

3

1

2

1

1

n

n

n



.

AM sem II wykład 1

22.02.2012

3

T

W

.

DZIAŁANIA NA SZEREGACH

Jeżeli szeregi







1

n

n

a

,







1

n

n

b

są zbieżne, to

a) szeregi













1

n

n

n

b

a

są zbieżne oraz





























1

1

1

n

n

n

n

n

n

n

b

a

b

a

b) szereg







1

n

n

a



,

R





jest zbieżny















1

1

n

n

n

n

a

a





F

AKT

Jeżeli w szeregu zbieżnym (albo rozbieżnym) zmienimy skończoną liczbę wyrazów, to otrzymamy szereg,

który jest też zbieżny ( odpowiednio rozbieżny).

Jeżeli w szeregu rozbieżnym zmienimy skończoną liczbę wyrazów, to otrzymamy szereg, który jest też
rozbieżny.

AM sem II wykład 1

22.02.2012

4

K

RYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW

S

ZEREGI O WYRAZACH NIEUJEMNYCH

Uwaga
Jeżeli

0



n

a

dla każdego naturalnego n, to ciąg sum częściowych

 

n

S

jest niemalejący.

Szereg o wyrazach nieujemnych jest zbieżny albo rozbieżny do



.

TW

.

Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu o wyrazach nieujemnych jest ograniczony z góry, to szereg jest
zbieżny.

T

W

.

K

RYTERIUM PORÓWNAWCZE ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW

Jeżeli wyrazy szeregów







1

n

n

a

,







1

n

n

b

są nieujemne oraz dla prawie wszystkich liczb naturalnych

spełniona jest nierówność

n

n

b

a



, to

1) jeżeli szereg







1

n

n

b

jest zbieżny, to szereg







1

n

n

a

jest zbieżny;

2) jeżeli szereg







1

n

n

a

jest rozbieżny, to szereg







1

n

n

b

jest rozbieżny.

T

W

.

K

RYTERIUM ILORAZOWE

(

D

’A

LAMBERTA

)

Jeżeli wyrazy szeregu







1

n

n

a

są dodatnie oraz

g

a

a

n

n





1

lim

, to

dla

1



g

szereg jest zbieżny,

dla







g

1

szereg jest rozbieżny.

U

WAGA

Jeżeli

1



g

kryterium nie rozstrzyga o zbieżności szeregu.

T

W

.

K

RYTERIUM PIERWIASTKOWE

(C

AUCHY

’

EGO

)

Jeżeli wyrazy szeregu







1

n

n

a

są nieujemne oraz

g

a

n

n



lim

, to

dla

1



g

szereg jest zbieżny,

dla







g

1

szereg jest rozbieżny.

U

WAGA

Jeżeli

1



g

kryterium nie rozstrzyga o zbieżności szeregu.

Kryterium Cauchy’ego jest silniejsze od kryterium d’Alamberta. Jeśli kryterium ilorazowe rozstrzyga
o zbieżności szeregu, to i kryterium pierwiastkowe także rozstrzyga.

AM sem II wykład 1

22.02.2012

5

TW:

(

KRYTERIUM CAŁKOWE ZBIEŻNOŚCI SZEREGU

)

Jeżeli funkcja f jest nierosnąca i nieujemna na przedziale

)

,

0





n

, gdzie

N

n



0

, to całka niewłaściwa





0

)

(

n

dx

x

f

i







0

)

(

n

n

n

f

są jednocześnie zbieżne albo rozbieżne do



.

S

ZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

Szereg postaci











1

1

)

1

(

n

n

n

a





N

n

a

n





,

0

nazywamy szeregiem naprzemiennym.



































1

1

4

3

2

1

4

3

2

1

)

1

(

)

(

)

(

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a









N

n

a

n





,

0

Wyrazy tego szeregu są naprzemian dodatnie i ujemne.

T

W

.

K

RYTERIUM

L

EIBNIZA

Jeżeli ciąg

)

(

n

a

jest nierosnący oraz

0

lim



n

a

, to szereg naprzemienny











1

1

)

1

(

n

n

n

a

jest zbieżny oraz

1







n

n

a

S

S

.

Z

BIEŻNOŚĆ BEZWZGLĘDNA I WARUNKOWA

Szereg







1

n

n

a

nazywamy zbieżnym bezwzględnie, jeżeli szereg







1

n

n

a

jest zbieżny.

TW:

(

O ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW ZBIEŻNYCH BEZWZGLĘDNIE

)

Jeżeli szereg







1

n

n

a

jest zbieżny, to szereg







1

n

n

a

jest zbieżny.

Inaczej
Jeżeli szereg jest zbieżny bezwzględnie, to jest zbieżny.

U

WAGA

Twierdzenie odwrotne nie zachodzi.
Przykład

Szereg anharmoniczny jest zbieżny

























1

1

)

1

(

4

1

3

1

2

1

1

n

n

n



, zaś szereg modułów

































1

1

1

1

)

1

(

4

1

3

1

2

1

1

n

n

n

n

n



rozbieżny.

Szereg zbieżny











1

n

n

a

nazywamy zbieżnym warunkowo, gdy szereg







1

n

n

a

jest rozbieżny.

Szereg anharmoniczny jest zbieżny warunkowo.

U

WAGA

!

Jeżeli szereg jest zbieżny bezwzględnie, to dowolna zmiana kolejności wyrazów lub łączenie wyrazów
w grupy – nie narusza zbieżności szeregu ani nie zmienia jego sumy.

AM sem II wykład 1

22.02.2012

6

Jeżeli szereg jest warunkowo zbieżny, to zmieniając kolejność wyrazów można otrzymywać szeregi o
różnych sumach lub szeregi rozbieżne.