AM2 pd.8 2011/12

Zad.1

Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji

)

(

)

,

(

2

2

y

x

e

y

x

f

x





w zbiorze

2

2

2





y

x

.

Zad.2
Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji

)

2

(

)

,

(

2

y

x

xy

y

x

f







w prostokącie o

wierzchołkach

)

3

,

1

(

),

3

,

1

(

),

0

,

1

(

),

0

,

1

(





D

C

B

A

.

Zad.3 zadanie zrobione na ćwiczeniach w gr.1,2 z egz r.2010/11
Na płaszczyźnie

0

2







z

y

x

wyznaczyć punkt P taki, by suma kwadratów odległości punktu P od

płaszczyzn

6

3

:

1





z

x



i

2

3

:

2





z

y



była jak najmniejsza.

Przypomnienie: Z algebry odległość punktu

)

,

,

(

0

0

0

0

z

y

x

p



od płaszczyzny

0

:









d

cz

by

ax



wyraża się wzorem

2

2

2

0

0

0

0

)

,

(

c

b

a

d

cz

by

ax

p

d















.

Zad.4 Wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji

a)

2

2

3

3

)

,

(

y

x

y

x

f





przy warunku

4

)

2

(

2

2







y

x

b)

xy

y

x

f

1

)

,

(



przy warunku

2





y

x

c)

y

x

y

x

f

1

1

)

,

(





przy warunku

8

1

1

1

2

2





y

x

zad.5 Wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji

a)

z

y

x

z

y

x

f

2

2

)

,

,

(







, gdy

1

2

2

2







z

y

x

b)

3

3

)

,

,

(

z

xy

z

y

x

f



, gdy

6

3

2







z

y

x

oraz

0

,

,



z

y

x

c)

z

y

x

z

y

x

f







)

,

,

(

, przy warunku

1

1

1

1







z

y

x

d)

xyz

z

y

x

f



)

,

,

(

, jeżeli

0







z

y

x

,

1

2

2

2







z

y

x

Zauważ, że warunki wyznaczają okrąg w

3

R powstały z przecięcia sfery z płaszczyzną, czyli zbiór

domknięty i ograniczony w

3

R .

AM2 pd.8 2011/12

Odp.

zad.1

2

2

)

,

(

2

)

0

,

2

(

)

,

(

inf













e

f

y

x

f

K

y

x

,

e

f

f

y

x

f

K

y

x

2

)

1

,

1

(

)

1

,

1

(

)

,

(

max

)

,

(











zad.2

4

9

3

,

2

1

)

,

(

inf

)

,

(





















f

y

x

f

P

y

x

,

18

)

3

,

1

(

)

,

(

max

)

,

(









f

y

x

f

P

y

x

zad.3

)

1

,

1

,

3

(



P

Zad.4

3

1

)

6

,

6

(

max



f

,

3







;

3

1

)

6

,

6

(

min









f

3





a) minimum warunkowe

0

)

0

,

0

(



f

, maksimum warunkowe

48

)

4

,

0

(





f

,

b) minimum warunkowe równe 1 w punkcie

)

1

,

1

(

P

,

c) minimum warunkowe

2

1

)

4

,

4

(









f

, maksimum warunkowe

2

1

)

4

,

4

(



f

.

zad.5

a) minimum warunkowe w punkcie

















3

2

,

3

2

,

3

1

równe 3



, maksimum

warunkowe











 

3

2

,

3

2

,

3

1

równe 3.

b) maksimum warunkowe

7

10

4

7

3

2

7

6

,

7

9

,

7

6

















f

. zad.2

)

1

,

1

,

3

(



P

c) w punkcie

)

3

,

3

,

3

(

dla

9





minimum warunkowe równe 9

d) minima warunkowe równe

6

3

1



w punktach, w których dwie dowolne współrzędne są równe

6

1

,

trzecia

6

2



; maksima warunkowe równe

6

3

1

w punktach, w których dwie dowolne współrzędne są

równe

6

1



, trzecia

6

2

.