Chemia I sem. M.Twardowska, uzup. WZ

Całki oznaczone.

1

Chemia - Zestaw 8. Całki oznaczone.

Równanie krzywej

y = f (x),

a 6 x 6 b

x = x(t), y = y(t),

t ∈ hα, βi

Pole figury płaskiej ograni-
czonej krzywą i odpowied-
nimi odcinkami

S =

b

Z

a

f (x) dx

S =

β

Z

α

|y(t)x

0

(t)| dt

Długość łuku krzywej

l =

b

Z

a

p

1 + [f

0

(x)]

2

dx

l =

β

Z

α

p

[x

0

(t)]

2

+ [y

0

(t)]

2

dt

Objętość bryły obrotowej,
powstałej przez obrót krzy-
wej dookoła osi Ox

V = π

b

Z

a

f

2

(x) dx

V = π

β

Z

α

y

2

(t)|x

0

(t)|dt

Pole powierzchni bocznej
bryły obrotowej, powstałej
przez obrót krzywej dookoła
osi Ox

P = 2π

b

Z

a

|f (x)|

p

1 + [f

0

(x)]

2

dx

P = 2π

β

Z

α

|y(t)|

p

[x

0

(t)]

2

+ [y

0

(t)]

2

dt

Uwaga. Jeżeli w przedziale ha; bi (gdzie oczywiście a < b) określone są funkcje ϕ, ψ takie, że ϕ(x) ≤ ψ(x)
dla każdego x ∈ ha; bi, to pole obszaru ograniczonego od dołu krzywą y = ϕ(x), od góry krzywą y = ψ(x)
(a ≤ x ≤ b) oraz odcinkami prostych x = a (z lewej strony) i x = b (z prawej) (przy czym jeden z tych
odcinków lub oba mogą redukować się do punktu, gdy zachodzi jedna z równości ϕ(a) = ψ(a) względnie

ϕ(b) = ψ(b)) – wyraża się wzorem S =

b

Z

a

(ψ(x)−ϕ(x))dx. Wzór ten jest prawdziwy zupełnie niezależnie

od tego jakie znaki przyjmują funkcje ϕ i ψ, tzn. jak wspomniane krzywe są położone w stosunku do
osi Ox – i pozwala nie rozbijać niepotrzebnie obszaru którego pole liczymy na obszary położone pod i
nad osią Ox. (Inaczej mówiąc, istotny jest tylko znak różnicy ψ(x) − ϕ(x) w rozważanym przedziale.)

1.

Policzyć całki:

a)

2π

Z

0

x |cos x| dx;

b)

1/2

Z

0

1

√

1 − x

2

dx;

c)

e

Z

1

ln

2

x

x

dx.

2.

Obliczyć pole obszaru ograniczonego:

a) krzywą

y

2

= x

2

− x

4

;

b) cykloidą

x(t) = r(t − sin t)

y(t) = r(1 − cos t)

, t ∈ h0, 2πi.

3.

Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi:

a) y = 4 − x

2

i

y = x

2

− 2x;

b) y = x

2

− 2x + 2

i

y =

1
5

x + 2.

4.

Obliczyć pole figury, ograniczonej krzywą y = −x

2

+ 4x − 3 i stycznymi do niej w punktach A(0, −3)

i B(3, 0).

Chemia I sem. M.Twardowska, uzup. WZ

Całki oznaczone.

2

5.

Obliczyć długość łuku krzywej:

a) y = 2e

x/2

,

0 6 x 6 ln 2;

b) y = x

√

x,

0 6 x 6 4;

c)







x(t) = e

t

sin t

y(t) = e

t

cos t

,

0 6 t 6 π/2;

d) y = ln x,

√

3 ≤ x ≤

√

8;

e) cykloidy z zad. 2b.;

f ) y = tg x,

0 ≤ x ≤

1
4

π.

6.

Obliczyć objętość bryły, powstałej przez obrót wokół osi Ox krzywej:

a) y = tg x,

0 ≤ x ≤

1
4

π;

b) y = ln x,

1 6 x 6 e;

c) y = arc sin x,

0 6 x 6 1;

d) cykloidy z zad. 2b.

7.

Policzyć pole powierzchni, powstałej przez obrót wokół osi Ox krzywej:

a) y =

√

x + 2,

0 6 x 6 4;

b) y = tg x,

0 ≤ x ≤

1
4

π;

c)







x(t) = 2 cos t − cos 2t

y(t) = 2 sin t − sin 2t

,

0 6 t 6 π;

d) cykloidy z zad. 2b.