WYKŁAD 9
CAŁKI OZNACZONE
CAŁKI NIEWŁAŚCIWE
Definicja (całka oznaczona)
b
Całkę oznaczoną funkcji f w przedziale [ a, b] oznaczamy symbolem : ∫ f ( x) dx .
a
Twierdzenie
Funkcja ograniczona w przedziale domkniętym oraz ciągła w nim z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów jest całkowalna.
Interpretacja geometryczna całki oznaczonej
Jeżeli w przedziale [ a, b] jest f ( x) ≥ 0 to pole obszaru ograniczonego krzywą y = f (( x) , odcinkiem osi b
Ox oraz prostymi x = a , x = b równa się całce oznaczonej ∫ f ( x) dx . Jeżeli zaś w przedziale [ a, b] jest a
b
f ( x) ≤ 0 , to analogiczne pole równa się - ∫ f ( x) dx .
a
Własnoś ci całki oznaczonej
b
a
♦ ∫ f ( x) dx = − ∫ f ( x) dx ; a
b
a
♦ ∫ f ( x) dx = 0;
a
♦ Jeżeli funkcja f jest całkowalna oraz:
a
-- jest nieparzysta, to dla a> 0 mamy ∫ f ( x) dx = 0
− a
a
a
-- jest parzysta, to dla a> 0 mamy ∫ f ( x) dx = 2∫ f ( x) dx
− a
0
a+ T
T
-- jest okresowa o okresie T, to dla a ∈ R mamy ∫ f ( x) dx =∫ f ( x) dx a
0
c
b
c
♦ Jeżeli a ≤ b ≤ c to ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx a
a
b
(Addytywność względem przedziału całkowania)
b
b
b
♦ Dla α, β ∈ R , f , g - funkcji całkowalnych ∫[α f ( x) + β g x ( ) d
] x = α ∫ f ( x) dx + β ∫ g( x) dx a
a
a
(Liniowość)
2
♦ Twierdzenie ( o wartoś ci ś redniej)
b
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale [ a, b] ,to ∫ f ( x) dx = K ( b − a) gdzie K = f ( c) dla a
pewnego c ∈ ( a, b) .
(Wartość średnia funkcji f na przedziale [ a, b] jest wysokością prostokąta o podstawie długości b-a , którego pole jest równe polu trapezu krzywoliniowego ograniczonego wykresem funkcji f, osią Ox oraz prostymi x =a, x=b.)
♦ Definicja ( funkcja górnej granicy całkowania)
Niech funkcja f będzie ciągła na przedziale [ a, b] .
x
Funkcja F ( x) = ∫ f t
( ) dt (funkcja górnej granicy całkowania) jest ciągła i różniczkowalna a
względem zmiennej x w przedziale [ a, b] i w każdym punkcie tego przedziału zachodzi związek: F '( x) = f ( x) .
♦ Twierdzenie Newtona-Leibnitza ( zwią zek mię dzy całką oznaczoną i nieoznaczoną) Jeżeli F jest funkcją pierwotną funkcji f , ciągłej w przedziale [ a, b] , tzn. jeśli F ' ( x) = f ( x) , to b
zachodzi wzór: ∫ f ( x) dx = F b
( ) − F ( a) =
b
[ F ( x)] .
a
a
♦ Twierdzenie ( Całkowanie przez częś ci) b
b
Jeżeli u, v są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłą pochodną to ∫ uv'=
b
u
[ v]
u' v .
a − ∫
a
a
♦ Twierdzenie ( Całkowanie przez podstawienie)
Jeżeli g' ( x) jest funkcją ciągłą, g( x) funkcją rosnącą w przedziale [ a, b] , a f ( u) funkcją ciągłą b
g ( b)
w przedziale [ g( a), g( b)] , to zachodzi następujący wzór : ∫ f ( g( x)) g'( x) dx = ∫ f u ( ) du .
a
g ( a)
Linia okreś lona parametrycznie
Jeśli x i y są funkcjami ciągłymi tej samej zmiennej t: x = f ( t),
y = g( t),
(*)
gdzie t przybiera wartości z pewnego przedziału, to mówimy, że funkcje te określają krzywą na płaszczyźnie.
Zmienna t nazywa się parametrem. Na przykład, gdy t oznacza czas, to równania (*) są równaniami ruchu punktu zakreślającego pewną krzywą. O krzywej tej mówimy, że równania (*) są równaniami parametrycznymi tej krzywej.
Różne równania parametryczne mogą przedstawiać tę samą krzywą. Parametr można rozumieć niekoniecznie jako czas, np. w niektórych zadaniach parametr ma znaczenie geometryczne (kąt, odcinek).
Krzywa (lub jej łuk) może być traktowana jako wykres pewnej funkcji y = h( x) , gdy każda prosta równoległa do osi Oy ma z nią co najwyżej jeden punkt wspólny. W takim przypadku równania (*) określają również y jako funkcję zmiennej x.
3
ZASTOSOWANIA CAŁEK OZNACZONYCH
Długość łuku krzywej
Jeżeli krzywa wyznaczona jest równaniem postaci y = f ( x) , przy czym funkcja f ma w przedziale a ≤ x ≤ b ciągłą pochodną, to długość łuku w tym przedziale wyraża się wzorem: b
2
dy
L = ∫ 1+
dx
dx
a
Jeżeli krzywa dana jest parametrycznie za pomocą równań x = x( t), y = y( t) , przy czym funkcje x( t), y( t)mają w przedziale α ≤ t ≤ β ciągłe pochodne oraz łuk nie ma części wielokrotnych , to długość łuku wyraża się wzorem:
β
2
2
dx
dy
L = ∫
+
dt
dt
dt
α
Obliczanie pól ograniczonych krzywymi
Jeżeli krzywe wyznaczone są równaniami y = f ( x) , y = g( x) przy czym funkcje f , g mają w przedziale a ≤ x ≤ b ciągłe pochodne oraz g( x) ≤ f ( x) , to pole trapezu krzywoliniowego ograniczonego wykresami tych funkcji oraz prostymi x= a, x=b wyraża się wzorem: b
P = ∫[ f ( x) − g( x)] dx
a
Jeżeli dana jest krzywa określona równaniami w postaci parametrycznej x = x( t), y = y( t) , gdzie funkcje x( t), y( t) są ciągłe na przedziale α ≤ t ≤ β , a przy tym funkcja x( t) jest rosnąca i ma w tym przedziale pochodną ciągłą, to pole obszaru ograniczonego łukiem krzywej, odcinkiem osi Ox oraz prostymi x = x(α ), x = x(β ) , wyraża się wzorem β
P = ∫ y t
( ) ⋅ x′ t
( ) dt
α
Jeżeli przy tych samych założeniach funkcja x( t) jest malejąca w przedziale α ≤ t ≤ β , to pole obszaru wyraża się wzorem
β
P = −∫ y t
( ) ⋅ x′ t
( ) dt
α
Obję tość i pole powierzchni brył obrotowych
Niech dany będzie łuk AB krzywej o równaniu y = f ( x) gdzie f jest funkcją ciągłą i nieujemną w przedziale a ≤ x ≤ b . Wówczas objętość bryły obrotowej ograniczonej powierzchnią powstałą w wyniku obrotu łuku AB dookoła osi Ox wyraża się wzorem:
b
V = ∫ y 2
π
dx .
a
Pole powierzchni obrotowej powstałej przez obrót łuku AB wokół osi Ox obliczamy według wzoru: b
2
dy
S = 2π ∫ y 1+
dx .
dx
a
4
Jeżeli równanie łuku krzywej jest dane w postaci parametrycznej , tzn. x = x t ( ), y = y t
( ), α ≤ t ≤ β to:
β
V = π ∫ y 2 x (′ t) dt
α
oraz
t
2
2
2
dx
dy
S = 2π ∫ y
+
dt .
dt
dt
t 1
CAŁKI NIEWŁAŚCIWE
Całki funkcji nieograniczonych
Jeżeli funkcja f jest ograniczona i całkowalna w każdym przedziale a ≤ x ≤ c − h , h > 0 oraz w każdym przedziale c + k ≤ x ≤ b, k > 0 i jeżeli istnieją granice: c− h
b
lim ∫ f ( x) dx oraz lim ∫ f ( x) dx , h→0
k →0
a
c+ k
to sumę tych granic nazywamy całką niewłaściwą funkcji f w przedziale [ a, b] i oznaczamy symbolem b
∫ f ( x) dx . Jeżeli któraś z powyższych granic nie istnieje, to mówimy, że całka niewłaściwa jest a
rozbieżna.
Całki oznaczone w przedziale nieskoń czonym
Jeżeli funkcja f jest ograniczona i całkowalna w każdym przedziale skończonym a ≤ x ≤ v , ( a -
ustalone, v - dowolne ) oraz istnieje granica
v
lim ∫ f ( x) dx ,
v→∞ a
to granicę tę nazywamy całką niewłaściwą funkcji f w przedziale a ≤ x ≤ +∞ i oznaczamy symbolem
+∞
b
b
∫ f ( x) dx . Analogicznie określa się znaczenie symbolu : ∫ f ( x) dx jako granicę lim ∫ f ( x) dx.
u→−∞
a
−∞
u
5