Działania na wektorach. Zastosowania iloczynu skalarnego i wektorowego

1.

Dane są wektory













3

,

2

,

1

,

1

,

3

,

4

,

1

,

6

,

5













c

b

a







. Obliczyć wartość wyrażenia

2

2

2

2

3

c

c

b

b

a

a























.

Odp. 231

2.

Dane są wektory





 





2

,

1

,

2

,

1

,

0

,

1

,

4

,

3

,

2











c

b

a







. Obliczyć iloczyn skalarny wektorów

c

b

a

v

b

a

u

























2

,

2

.

Odp

.

58





v

u





3. Dane są wektory













1

,

2

,

1

,

1

,

1

,

2

,

2

,

1

,

2













c

b

a







. Znaleźć cosinusy kata między wektorami

a



i

d



, jeżeli

a

c

c

b

b

a

d















2

2

2







.

Odp.

 

26

3

11

,

cos



d

a





4. Dane są wektory

 









1

,

2

,

1

,

4

,

3

,

0

,

3

,

3

,

1











c

b

a







. Znaleźć długość wektora

 

 

b

c

a

a

b

c

b

a

d





























2

25

1

2

.

Odp.

83

5. Czy czworokąt o wierzchołkach



 

 







2

,

7

,

4

,

1

,

3

,

8

,

7

,

5

,

1

,

6

,

5

,

3











D

C

B

A

jest kwadratem?

Odp. Tak

6. Obliczyć:

a) pole równoległoboku zbudowanego na wektorach

k

j

i

v

k

j

i

u

















2

,

2

3













. Odp.

3

5

b) pole trójkąta o wierzchołkach



 

 



5

,

1

,

0

,

3

,

2

,

6

,

3

,

4

,

3





C

B

A

. Odp. 24,5

7. Dane są wierzchołki trójkąta



 

 



1

,

2

,

1

,

5

,

2

,

6

,

1

,

1

,

3













C

B

A

. Oblicz długość wysokości

opuszczonej z wierzchołka B na bok AC. Odp. 5

8. Dany jest czworościan o wierzchołkach

      



9

,

4

,

3

,

7

,

1

,

1

,

1

,

4

,

1

,

1

,

1

,

3

D

C

B

A

. Obliczyć jego objętość

oraz wysokość poprowadzoną z wierzchołka D. Odp.

14

,

14





h

V

9. Obliczyć objętość równoległościanu wyznaczonego przez punkty



 

 

 



3

,

1

,

0

,

4

,

0

,

3

,

0

,

2

,

1

,

3

,

0

,

1



D

C

B

A

.

Odp. 4

10. Sprawdzić, czy punkty

  

 

 



4

,

0

,

5

,

0

,

3

,

1

,

2

,

1

,

0

,

1

,

1

,

1





D

C

B

A

należą do jednej płaszczyzny.