Wektory definicja i działania na wektorach

WEKTORY - DEFINICJA I DZIAŁANIA NA

WEKTORACH.

Liceum

Geometria analityczna

/ Wektory - de nicja i działania na wektorach.

Wektor - podstawowe informacje.

Wektor swobodny

Gra cznie wektor przedstawiany jest jako strzałka.

Wektory oznaczamy najczęściej małymi literami

lub za pomocą punktu początkowego i końcowego wektora

Aby jednoznacznie opisać wektor, należy podać jego:

kierunek - wyznacza go prosta, na której znajduje się wektor,
zwrot - wyznacza go grot strzałki,
wartość - czyli długość wektora.

Wektor zaczepiony

Wektorem zaczepionym nazywamy uporządkowaną parę punktów (w geometrii analitycznej).
Na płaszczyźnie wektory mają dwie współrzędne. Dla odróżnienia ich od punktów, współrzędne wektorów zapisujemy w nawiasach

kwadratowych. Np.

lub

WZÓR: Współrzędne wektora

Jeżeli punkt

jest początkiem wektora i punkt

jest końcem tego wektora, to współrzędne wektora

są równe:

Możemy to zapisać inaczej, jako:

gdzie

jest pierwszą współrzędną,

jest drugą współrzędną.

Rysowanie wektorów:

Narysujemy teraz wektor

Zaznaczamy punkt, w którym chcemy zaczepić wektor .

Współrzędne wektora

wskazują nam gdzie znajduje się koniec wektora.

Pierwsza współrzędna oznacza przesunięcie poziome: np. oznacza przesunięcie o jedną jednostkę w prawo,

oznacza przesunięcie o

dwie jednostki w lewo.

Druga współrzędna oznacza przesunięcie pionie: np. oznacza przesunięcie o trzy jednostki w górę,

oznacza przesunięcie o jedną

jednostkę w dół.

Wyznaczając koniec wektora, najpierw przesuwamy się zgodnie z pierwszą współrzędną w prawo lub w lewo, a następnie z tego samego
miejsca w górę lub w dół zgodnie z drugą współrzędną. Wówczas wyznaczymy koniec wektora.

Poniżej kilka innych przykładów:

DEFINICJA: Równość wektorów

Dwa wektory są równe, jeżeli mają takie same współrzędne.(Mają taki sam kierunek, zwrot i wartość.)

DEFINICJA: Wektor przeciwny

Dwa wektory są przeciwne, jeżeli ich współrzędne są liczbami przeciwnymi. (Mają taki sam kierunek i wartość ale przeciwne zwroty.)

Wektor

jest wektorem przeciwnym do wektora

wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki:

Przykład 1

Wskaż wektor przeciwny do wektora

Oznaczmy wektor przeciwny jako

. Zgodnie z de nicją muszą być spełnione warunki:

Zatem wektor przeciwny do wektora , to

WZÓR: Długość wektora

Długość wektora obliczamy następująco:

Przykład 2

Oblicz długości wektorów:

, gdzie

Podstawiamy współrzędne wektora do wzoru i obliczamy długość:

, gdzie

Obliczamy długość:

Działania na wektorach.

Dodawanie wektorów

Interpretacja geometryczna:

Dodawanie wektorów - Metoda równoległoboku.

Mamy dane dwa wektory i .

Zaczepiamy te wektory w jednym punkcie.

Rysujemy równoległobok, w ten sposób, że wektory i są bokami tego równoległoboku:

Sumą wektorów i jest wektor, którego początek pokrywa się z punktem zaczepienia obu wektorów, a koniec znajduje się na przecięciu
dorysowanych przerywaną linią boków równoległoboku:

Przykład 1

Oblicz sumę wektorów

Zgodnie ze wzorem, dodajemy te wektory po współrzędnych:

Odejmowanie wektorów

Interpretacja geometryczna:

Mamy dane dwa wektory i . Podobnie jak przy dodawaniu wektorów zaczepiamy je w jednym punkcie. Różnicą wektorów i jest
wektor, który łączy końce tych wektorów.

Przykład 2

Oblicz różnicę wektorów

Zgodnie ze wzorem, odejmujemy te wektory po współrzędnych:

Mnożenie wektora przez liczbę

Interpretacja geometryczna:

Mamy dany wektor oraz liczbę .

Po pomnożeniu tego wektora przez liczbę, otrzymujemy wektor o tym samym kierunku.

Jeżeli liczba jest dodatnia to zwrot tego wektora jest taki sam jak wektora :

Jeżeli natomiast liczba jest ujemna, to zwrot wektora jest przeciwny do wektora :

Przykład 3

Oblicz iloczyn wektora

przez liczbę .