Matematyka Dyskretna – wykład 5

dr Marcin Raniszewski

1

Skończona przestrzeń zdarzeń elementarnych:

– zdarzenie elementarne – wynik

doświadczenia losowego
– zdarzenie losowe

Matematyka Dyskretna – wykład 5

dr Marcin Raniszewski

2

Dla

skończonej

przestrzeni

zdarzeń

elementarnych funkcją prawdopodobieństwa
(prawdopodobieństwem) nazwiemy dowolną
funkcję

spełniającą warunki:





Matematyka Dyskretna – wykład 5

dr Marcin Raniszewski

3

Własności prawdopodobieństwa:



( – zdarzenie niemożliwe)



( – zdarzenie przeciwne
do zdarzenia )



Matematyka Dyskretna – wykład 5

dr Marcin Raniszewski

4









– parami rozłączne

Matematyka Dyskretna – wykład 5

dr Marcin Raniszewski

5

Definicja klasyczna prawdopodobieństwa:

Założenie: wszystkie zdarzenia elementarne
jednakowo prawdopodobne.

Wtedy:

Matematyka Dyskretna – wykład 5

dr Marcin Raniszewski

6

Zliczanie zdarzeń elementarnych jednakowo
prawdopodobnych:

Czy są

powtórzenia?

Nie

Czy liczy się

kolejność?

Nie

Kombinacje

bez powtórzeń

Tak

Wariacje bez

powtórzeń

Tak

Wariacje z

powtórzeniami

Matematyka Dyskretna – wykład 5

dr Marcin Raniszewski

7

Jeśli są powtórzenia to chcąc skorzystać
z definicji

klasycznej

prawdopodobieństwa

musimy

zdarzenia

elementarne

zliczać

z wariacji z powtórzeniami.

Matematyka Dyskretna – wykład 5

dr Marcin Raniszewski

8

Przykład:

Wyciągamy cztery karty z talii 52 kart. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że wyciągniemy co
najmniej jednego asa, jeśli:

a) wyciągamy wszystkie karty jednocześnie?
b) wyciągamy po jednej karcie ze zwracaniem?

Matematyka Dyskretna – wykład 5

dr Marcin Raniszewski

9

Przykład:

Rzucamy dwoma sześciennymi kostkami do gry.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyrzucimy
1 oczko lub 6 oczek?

Matematyka Dyskretna – wykład 5

dr Marcin Raniszewski

10

Rzucamy symetryczną monetą aż do momentu,
kiedy po raz pierwszy wypadnie orzeł. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że rzucimy co najmniej
cztery razy?

Co w przypadku gdy jest nieskończona?

Matematyka Dyskretna – wykład 5

dr Marcin Raniszewski

11

Definicja -ciała:

Niech będzie niepustym zbiorem. Powiemy,
że rodzina podzbiorów stanowi -ciało
jeśli:







Matematyka Dyskretna – wykład 5

dr Marcin Raniszewski

12

Niech

będzie

-ciałem

na

.

Prawdopodobieństwem nazywamy funkcję
spełniającą następujące warunki:







jeśli

jest dowolnym ciągiem

podzbiorów parami rozłącznych, to

Matematyka Dyskretna – wykład 5

dr Marcin Raniszewski

13

Najczęściej będziemy przyjmować

(zbiór wszystkich podzbiorów ).

Matematyka Dyskretna – wykład 5

dr Marcin Raniszewski

14

Rzucamy dwoma sześciennymi kostkami do gry.
Jakie

jest

prawdopodobieństwo,

że

wyrzuciliśmy na drugiej kostce co najmniej 5
oczek, jeśli wiemy, że iloczyn wyrzuconych
oczek jest nie większy jak 6?

Matematyka Dyskretna – wykład 5

dr Marcin Raniszewski

15

Prawdopodobieństwo warunkowe:



„… jeśli …”



„… jeśli wiadomo, że …”



„… pod warunkiem, że …”

, gdzie:

Matematyka Dyskretna – wykład 5

dr Marcin Raniszewski

16

Przy tej samej przestrzeni zdarzeń dla
zdarzeń i :

Matematyka Dyskretna – wykład 5

dr Marcin Raniszewski

17

Niezależność dwóch zdarzeń losowych:

Zdarzenia i nazywamy niezależnymi jeśli:

Powyższy

warunek

można

zapisać

równoważnie:

Matematyka Dyskretna – wykład 5

dr Marcin Raniszewski

18

Czy zdarzenia niezależne są rozłączne?

Czy zdarzenia rozłączne są niezależne?

Matematyka Dyskretna – wykład 5

dr Marcin Raniszewski

19

Kiedy zdarzenia rozłączne są niezależne?

Dwa zdarzenia rozłączne są niezależne, gdy co
najmniej jedno z nich ma prawdopodobieństwo
zerowe.

Matematyka Dyskretna – wykład 5

dr Marcin Raniszewski

20

Jeśli zdarzenia i są niezależne to niezależne
są również zdarzenia:



i



i



i

Matematyka Dyskretna – wykład 5

dr Marcin Raniszewski

21

Niezależność zdarzeń losowych:

Zdarzenia

nazywamy

niezależnymi jeśli:

gdzie:

jest dowolnym, co najmniej

dwuelementowym podzbiorem .

Matematyka Dyskretna – wykład 5

dr Marcin Raniszewski

22

Niezależność trzech zdarzeń losowych:

Zdarzenia

nazywamy niezależnymi

jeśli:







