Zbiór

Przykłady:

• zbiór studentów 1go roku
• zbiór książek w bibliotece
• zbiór liczb naturalnych (ozn. N)
• zbiór liczb rzeczywistych (ozn. R)
• zbiór słów nad alfabetem A (ozn. A*)
Dział matematyki, którego
zadaniem jest badanie
ogólnych własności zbiorów,
nazywamy Teorią Mnogości.
(George Cantor).

Zamiast mówić, że 5
jest liczbą naturalną,
mówimy, że 5 należy
do zbioru liczb
naturalnych i piszemy
5N.
Symbol  nazywamy

relacją należenia.

Jeśli element nie
należy do zbioru, np.
-2.5 nie jest liczbą
naturalną, tzn. -2.5
nie należy do zbioru
N, tzn. -2.5 N.

Definiowanie zbiorów

• przez wymienienie ich
elementów

• przez podanie własności, które
muszą spełniać elementy

• przez podanie sposobu
wyliczania elementów

A =
{a,b,c,d,e,f,g}

Jeśli zbiór nie posiada
żadnych elementów, to
powiemy, że jest pusty.
Zbiór pusty oznaczamy
przez .

Zbiór A nie jest pusty, bo należy
do niego element a. A , bo

aA.
Nie ma takiego obiektu, który
należałby do zbioru pustego!

B = {x : xN oraz

x<6}
C = {x

2

+ 1 :

xN}

Równość zbiorów

Definicja
Powiemy, że dwa zbiory są równe wtedy i tylko
wtedy,
gdy mają dokładnie te same elementy.
A = B  (wttw) dla dowolnego x, jeżeli x A, to

x  B

i odwrotnie jeżeli x B, to x  A .

Przykład: A = {5,50,500,5000} = {5* 10

x

: 0

x<4 i xN}

A = {5000,5,50,500}

Uwaga: Jeżeli A = B i B= C , to A = C.

AB wttw istnieje taki element zbioru A, który

nie należy do B lub istnieje taki element zbioru
B, który nie należy do A.

Relacja zawierania

Definicja
Powiemy, że zbiór A zawiera się w zbiorze B, ozn.
A B wttw dla dowolnego obiektu x, jeśli x A, to

x  B.

UWAGA: Jeśli A=B, to również AB.

Jeśli AB i A  B, to mówimy, że A

jest

właściwym podzbiorem zbioru B, ozn.

A B.

inkluzja

Przykłady:

N  R, Q  R, Z  R

{d, a}  {a,b,c,d,e,f}

O zbiorze A mówimy, że jest podzbiorem zbioru B.

B

A

A jest
zawart
y w
zbiorze
B

Zbiór B
zawiera
zbiór A

O zbiorze B mówimy, że jest nadzbiorem zbioru A.

Jeżeli zbiór A nie zawiera się w zbiorze B, tzn. nie
jest prawdą, że zbiór A jest zawarty w zbiorze B,
to musi istnieć taki obiekt (element), który należy
do zbioru A i jednocześnie nie należy do zbioru B.

A

B

A

B

A B wttw istnieje takie x, że xA i x B.

Przykład. Zbiór liczb podzielnych przez 2 nie
jest

podzbiorem zbioru liczb

podzielnych przez 5, bo

np. 4 jest

podzielne przez 2, a nie jest podzielne
przez 5.

Własności inkluzji

Twierdzenie

Dla dowolnych zbiorów A,B,C :

•  A
• A A
• Jeśli A  B oraz B  C, to A  C.
• Jeśli A  B oraz B  A, to A = B.

Uwaga:

Jeśli xA, to {x}  A.

Zbiór potęgowy

Definicja
Zbiór, który składa się z wszystkich podzbiorów
pewnego zbioru A, nazywa się zbiorem
potęgowym ozn. P(A)

Przykład: A={1,2,3}, wtedy

P(A) = {, {1},{2}, {3},{1,2},{2,3},

{1,3}, {1,2,3}}
UWAGA: P(



) = {



}

Suma zbiorów

Definicja
Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór, którego
elementami są wszystkie elementy zbioru A i
wszystkie elementy zbioru B. Sumę zbiorów A i B
oznaczamy przez A B .

x A B wttw x  A lub x  B

Uwaga:

x  A B wttw x  A i x  B

Przykład: A={3k: k  N}, B= {2k : k N}.

A B = {n: n jest liczbą,, która dzieli się przez 2

lub przez 3.

A

B

Własności sumy

Twierdzenie

Dla dowolnych zbiorów A,B,C :

•   A = A
• A  A = A
• A B = B  A
• (A  B)  C = A  (B  C)

Uwaga:

Powyższe równości można udowodnić

wykazując,

że jeśli element należy do

lewej strony równości,

to należy do

prawej strony i odwrotnie.

przemienność

łączność

Inkluzja a suma

Twierdzenie

Dla dowolnych zbiorów A, B, C:

• A  A  B oraz B  A  B
• Jeśli A  C i B  C , to A  B  C
• Jeśli A  B i C  D , to A  C  B  D
• A  B wttw A  B = B

Zakładamy, że A  B
Dowodzimy, że A  B= B (czyli A  B  B i B  A  B)
i) Po pierwsze A, B B  A  B
ii) Jeśli x  A  B to x  A lub x  B. Jeśli x  A to na mocy

założenia A  B,

x  B. Powyższe rozumowanie jest poprawne dla dowolnego x

(wzięliśmy
dowolne x), więc udowodniliśmy, że jeśli A  B to A  B  B.

Dowód własności:

A  B wttw A  B = B



Odwrotnie, zakładamy, że A  B = B.

Jeżeli x  A wtedy x  A  B,

a ponieważ zbiory A  B i B są równe więc x B. Czyli A  B.



Iloczyn zbiorów

Definicja
Iloczynem(przecięciem) zbiorów A i B
nazywamy zbiór, którego elementami są te
elementy zbioru A , które są równocześnie
elementami zbioru B.

x A B wttw x  A i x  B

UWAGA: x A B wttw x  A lub x  B

A

B

Przykład: Niech iN{0}

A={2i : i<16}, B={3i : i<11}

A B={0,6,12,18,24,30}= {6i : i <

6}

Twierdzenie

Dla dowolnych zbiorów A,B,C :

•   A = 
• A  A = A
• A  B = B  A
• (A  B)  C = A  (B  C)

łączność

przemienność

Własności iloczynu

Twierdzenie

Dla dowolnych zbiorów A,B,C:

• A  (A  B) = A (A  B)  B

= B
• A  (B  C) = (A  B)  (A 

C)
• A  (B  C) = (A  B)  (A 

C)

Prawa

absorpcji

Prawa

rozdzielności

A B

C

A B

C

=

Diagramy Venna

Różnica symetryczna

Definicja
Różnicą symetryczną zbiorów A, B nazywamy
zbiór A B taki, że:

x A lub x B ale x nie należy do obu

zbiorów

równocześnie.

Przykład: Niech iN{0}
A= {2i : i<6}, B= {3i : i<6}

A  B = {2,3,4,8,9,10,12,15}

Różnica zbiorów

Definicja
Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór , którego
elementami są te obiekty zbioru A, które nie są
równocześnie elementami zbioru B. Różnicę
zbiorów oznaczamy przez A\B.
x A\B wttw x  A i x  B

UWAGA:

x  A\ B wttw x  A lub x  B .

A

B

Przykład: A= {1,2,3,4,5,6} B={ 2i+1: i<5 i
iN}

A\B = {2,4,6} B\A = {7,9}

Własności różnicy

Twierdzenie

Dla dowolnych zbiorów A,B,C :

• A\B  A
• A B wttw A\B = 
• Jeśli A  B, to C\B  C\A
• A \(B C)= (A\B)\C.

Prawa de Morgana

A\(B C) = (A\B)  (A\C)
A\(B C) = (A\B)  (A\C)

Dopełnienie zbioru

Definicja
Dopełnieniem (Uzupełnieniem) zbioru A w
przestrzeni U nazywamy zbiór -A, którego
elementami są wszystkie elementy przestrzeni U
nie należące do zbioru A, tzn. dla dowolnego x U i

dowolnego podzbioru A przestrzeni U:

x- A wttw x  A

UWAGA:

U\A = -A

Przykład:

Niech uniwersum U=N oraz A={2i: i  N}.
Wtedy -A jest zbiorem wszystkich liczb

nieparzystych.

U

A

Własności dopełnień

Twierdzenie

Dla dowolnych zbiorów A,B pewnego
uniwersum U :

• -

= U -U

= 

• -(-A ) = A
• Jeśli A  B, to - B  -A.

Prawa de Morgana

-(A  B)

= -A  -B

-(A  B)

= -A



-B

Działania nieskończone

Definicja
Niech będzie rodzina zbiorów A= {A

i

: i  I}.

Sumą nieskończonej rodziny zbiorów nazywamy
zbiór  A

i

taki, że x   A

i

wttw istnieje takie i  I,

że x  A

i

.

Iloczynem (lub przecięciem) nieskończonej rodziny
zbiorów nazywamy zbiór  A

i

taki, że x   A

i

wttw

dla wszystkich i  I, x  A

i

Przykład: A

i

= {x



R : x<i} dla i

 N

 A

i

= R

 A

i

= {x



R : x<0}

Para uporządkowana

Postulaty jakie musi spełniać para

uporządkowana:

1. Można ją utworzyć dla dowolnych dwóch

elementów

2. <x,y>=<z,w> wttw x=z i y=w

Definicja (K. Kuratowski)

<x,y>={{x},{x,y}}

UWAGA:

trójka uporządkowana

<x,y,z>=<<x,y>,z>
n-ka uporządkowana <x

1

,x

2

,..,x

n

>=<<

..<x

1

,x

2

>...,x

n-1

>,x

n

>

UWAGA:

Jeśli xy to <x,y> <y,x>

Iloczyn (produkt)

kartezjański

Definicja
Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B (ozn. AB)

nazywamy
zbiór par uporządkowanych definiowany
następująco:

AB={<x,y> : xA i y B}

UWAGA:

A B C={<x,y,z> : x A i y B i z C}

X

Y

Ilustracja graficzna iloczynu
kartezjańskiego

Własności iloczynu

kartezjańskiego

Stwierdzenie Jeżeli X jest zbiorem n-
elementowym, a Y zbiorem m-elementowym, to
produkt X Y ma n*m elementów.

Twierdzenie

Dla dowolnych zbiorów

X,A,B:
X  Y = Y  X wttw X = Y

X   = 

X  (A  B) = (X  A)  (X  B)

X  (A  B) = (X  A)  (X  B)

X  (A\B) = (X  A) \ (X  B)

A B i C  D wttw AC  B  D

A  (B  C)  (A  B)  C