Matematyka Dyskretna – wykład 6

dr Marcin Raniszewski

1

Przykład:

Firma

A

B

C

Części

kupione

40%

10%

50%

Części

wadliwe

5%

20%

3%

Jakie jest prawdopodobieństwo zakupienia
części wadliwej?

Matematyka Dyskretna – wykład 6

dr Marcin Raniszewski

2

Zdarzenia losowe

nazywamy

układem zupełnym zdarzeń jeśli:





(rozłączność)



Matematyka Dyskretna – wykład 6

dr Marcin Raniszewski

3

Prawdopodobieństwo całkowite:

Niech

tworzą układ zupełny

zdarzeń. Wtedy dla dowolnego zdarzenia
:

Matematyka Dyskretna – wykład 6

dr Marcin Raniszewski

4

Przykład:

Firma

A

B

C

Części

kupione

40%

10%

50%

Części

wadliwe

5%

20%

3%

Jeśli część jest wadliwa, to jakie jest
prawdopodobieństwo, że została zakupiona
w firmie B?

Matematyka Dyskretna – wykład 6

dr Marcin Raniszewski

5

Wzór Bayesa:

Niech

tworzą układ zupełny

zdarzeń. Wtedy dla dowolnego zdarzenia
:

Matematyka Dyskretna – wykład 6

dr Marcin Raniszewski

6

Dowolną funkcję nazywamy zmienną
losową określoną na przestrzeni zdarzeń
elementarnych .

Matematyka Dyskretna – wykład 6

dr Marcin Raniszewski

7

Symbolem oznaczamy zbiór wartości
zmiennej losowej :

Matematyka Dyskretna – wykład 6

dr Marcin Raniszewski

8

Zmienną losową nazywamy dyskretną jeśli
jest przeliczalny.

Matematyka Dyskretna – wykład 6

dr Marcin Raniszewski

9

Przykład:

Niech składa się z 36 jednakowo
prawdopodobnych wyników rzutu dwiema
symetrycznymi kostkami. Niech:

, dla

Matematyka Dyskretna – wykład 6

dr Marcin Raniszewski

10

Funkcją

rozkładu

prawdopodobieństwa

(krótko: rozkładem prawdopodobieństwa)
zmiennej losowej dyskretnej nazywamy
funkcję

taką, że:

Matematyka Dyskretna – wykład 6

dr Marcin Raniszewski

11

Dla

dowolnej

funkcji

rozkładu

prawdopodobieństwa zachodzi:

Matematyka Dyskretna – wykład 6

dr Marcin Raniszewski

12

Dyskretne zmienne losowe i są niezależne
jeśli:

Matematyka Dyskretna – wykład 6

dr Marcin Raniszewski

13

Przykład:

Niech oraz:

Czy zmienne losowe i są niezależne?

Matematyka Dyskretna – wykład 6

dr Marcin Raniszewski

14

Przykład:

Rzucamy dwa razy symetryczną kostką. Niech

oznacza wynik rzutu na pierwszej kostce, zaś

– sumę oczek na obydwu kostkach. Czy

zmienne losowe

oraz

są niezależne?

Matematyka Dyskretna – wykład 6

dr Marcin Raniszewski

15

Dyskretne zmienne losowe

są

niezależne jeśli: