Mechanika dla studentów I roku

Zestaw 6: drgania.

1) Drgania – mechaniczny oscylator harmoniczny.

a) Rozwa y mas m przyczepion do spr yny o stałej spr ysto ci k, której drugi

koniec zamocowano do ciany. Masa mo e lizga si po stole bez tarcia. Jaki ruch
wykonuje ta masa po wytr ceniu jej z poło enia równowagi? Zapisa odpowiednie
równanie ruchu i rozwi za je (lub poda rozwi zanie i wykaza , e jest ono
prawdziwe).

b) Co zmieni si w opisie matematycznym sytuacji z poprzedniego zadania, je li

spr yn zawiesimy u sufitu zamiast przyczepia j do ciany? Napisa i rozwi za
równanie ruchu w tej sytuacji.

2) Drgania – wahadło matematyczne.

Korzystaj c z podstawowego równania dla ruchu obrotowego:

,

=

L

M

wyprowadzi równanie Newtona dla wahadła matematycznego:

sin ,

l

g

θ

θ

= −

gdzie l jest długo ci wahadła, a k tem wychylenia wahadła z poło enia równowagi.
Wykorzystuj c przybli on , słuszn dla małych k tów relacj :

sin

;

θ θ

≈

pokaza , e okres drga takiego wahadła dany jest wzorem:

2

.

l

T

g

π

=

Wskazówka: podane powy ej równanie ruchu obrotowego zapisa w układzie
biegunowym w płaszczy nie ruchu wahadła OXY dla składowej z-owej momentu p du.

3) Drgania – mechaniczny oscylator harmoniczny.

Masa m = 1 g zawieszona na spr

ynie została wprawiona w drgania harmoniczne

swobodne o amplitudzie 0,2 mm. Zmierzony okres drga wynosi T = 10 ms. Obliczy
stał spr ysto ci spr

yny k oraz maksymaln energi kinetyczn i potencjaln

oscylatora. Tarcie pomin .

4) Drgania – mechaniczny oscylator harmoniczny.

Na spr

ynie o stałej spr

ysto ci k = 4 N/m zawieszono mas m, któr nast pnie

wprawiono w drgania harmoniczne swobodne. Zmierzony okres drga wynosi T = 0,3 s, a
pr dko w punkcie równowagi v

0

= 21 cm/s. Obliczy mas m oraz maksymaln energi

kinetyczn i potencjaln oscylatora. Tarcie pomin .

5) Drgania – mechaniczny oscylator harmoniczny.

Mas m zawieszono na spr ynie o stałej spr ysto ci k=16 N/m, nast pnie wprawiono w
drgania harmoniczne swobodne. Zmierzono, e okres drga wynosi T=0,15 s, a
maksymalna warto pr dko ci to v

0

= 42 cm/s. Obliczy mas m oraz maksymaln

energi kinetyczn i potencjaln oscylatora. Tarcie pomin .

6) Drgania – mechaniczny oscylator harmoniczny.

W chwili t = 0, wychylenie oscylatora harmonicznego z poło enia równowagi wynosi x(0)
= 0,25 cm, a jego pr dko v(0) = –27,2 cm/s. Zmierzona cz sto drga to 10 Hz, a ruch
oscylatora odbywa si bez tarcia.
a) Wyznaczy stałe w równaniu ruchu tego oscylatora postaci x(t) = A·cos(

0

t +

0

).

b) Wyznaczy stałe w równaniu ruchu tego oscylatora postaci x(t) = A·sin(



0

t +

1

).

c) Wyznaczy stałe w równaniu ruchu tego oscylatora postaci x(t) = A

1

·cos(



0

t) +

A

2

·sin(



0

t).

7) Drgania – elektryczny oscylator harmoniczny.

Zbada , jak zmienia si nat enie pr du płyn cego w obwodzie LC (szeregowo
poł czone: indukcyjno i pojemno ). Przyj nast puj ce dane liczbowe:
a) L=10 H, C=6

µ

F;

b) L=5 H, C=10 nF;
c) L=4 H, C=100 pF.

8) Drgania – tłumiony oscylator harmoniczny.

Tłumiony oscylator harmoniczny opisany jest równaniem Newtona:

( )

( )

( ),

mx t

x t

kx t

γ

= −

−

a) Pokaza , e układ ten posiada rozwi zanie postaci:

(

)

1

( )

sin

.

t

x t

A

t

e

β

ω ϕ

−

=

+

b) Pokaza , e układ ten posiada rozwi zanie postaci:

( )

( )

1

2

( )

cos

sin

.

t

x t

A

t

A

t

e

β

ω

ω

−

=

+









c) Pokaza , e układ ten posiada rozwi zanie postaci:

(

)

( )

cos

.

t

x t

A

t

e

β

ω ϕ

−

=

+

W szczególno ci, wyznaczy parametry rozwi zania i



jako funkcje cz sto ci własnej



0

i czasu relaksacji

tego oscylatora:

0

,

1

.

k

m

m

ω

γ

τ

=

=

Wyrazi odpowiednie stałe rozwi zania [a) {A,

1

}, b) {A

1

, A

2

} oraz c) {A,

}] z

warunków pocz tkowych poło enia [x

0

= x(0)] i pr dko ci [v

0

= v(0)] w chwili t = 0 .

9) Drgania – oscylator harmoniczny tłumiony i współczynnik dobroci.

Dla tłumionego oscylatora harmonicznego definiujemy współczynnik dobroci Q
nast puj cym wzorem:

energia zmagazynowana

2

2

.

energia tracona w jednym okresie

E

E

Q

PT

P

π

ω

π

=

=

=

We wzorze tym, P jest redni strat mocy drgaj cego układu:

.

d E

P

dt

= −

Obliczy redni energi mechaniczn <E> słabo tłumionego oscylatora harmonicznego
(dla którego zachodzi



0

>> 1) i pokaza , e dla takiego oscylatora Q



0

.

Literatura: C. Kittel, W.D. Knight, M.A. Ruderman, Mechanika, Pa stwowe
Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1973, strona 242-243.

10) Drgania – oscylator harmoniczny tłumiony z sił zewn trzn .

Masa m = 10

3

g jest zawieszona na spr ynie o stałej siłowej k = 10

6

dyn/cm i porusza si

w o rodku, w którym działa na t mas siła tarcia, scharakteryzowana prze współczynnik
tłumienia



= 50 dyn·s/cm. Oprócz tego na mas działa zewn trzna siła wymuszaj ca F(t)

= F

0

cos(



t), gdzie F

0

= 2,5·10

5

dyny. Wiedz c, e ruch masy opisany jest wzorem

(

)

0

( )

cos

,

x t

x

t

ω ϕ

=

+

znale stałe x

0

i

jako funkcje cz sto ci



.

•

Na podstawie otrzymanych wyników, przy pomocy dowolnego programu (np. Excel,
Mathematica, Mathcad, Gnuplot) narysowa wykres zale no ci x

0

(



). Wyniki zostan

omówione na zaj ciach (prosz przynie wydruki!).

•

Obliczy cz sto rezonansow

rez

, tj. tak , e x

0

(



) osi ga maksimum dla



=



rez

.

Obliczy x

0

(



rez

) oraz

0

(



rez

).

•

Obliczy tzw. szeroko połówkow

1/2

= |



2

–



1

|, gdzie



2

i



1

s takimi

warto ciami cz sto ci, e x

0

(



1

) = x

0

(



2

) = x

0

(



rez

)/2. Porówna

1/2

z



rez

.

11) Drgania – obwód RLC z napi ciem zewn trznym.

Obwód elektryczny zawiera poł czone szeregowo opornik R = 1000 , kondensator o
pojemno ci C = 500 pF i cewk o indukcyjno ci L = 2 mH. Dodatkowo w obwodzie tym
znajduje si ródło siły elektromotorycznej:

( )

0

( )

cos

,

V t

V

t

ω

=

gdzie V

0

= 120 V. Wiedz c, e ładunek na okładkach kondensatora opisany jest wzorem

(

)

0

( )

cos

,

Q t

Q

t

ω ϕ

=

+

znale stałe Q

0

i

jako funkcje cz sto ci



.

•

Na podstawie otrzymanych wyników, przy pomocy dowolnego programu (np. Excel,
Mathematica, Mathcad, Gnuplot) narysowa wykresy zale no ci Q

0

(



). Wyniki

zostan omówione na zaj ciach (prosz przynie wydruki!).

•

Obliczy cz sto rezonansow

rez

, tj. tak , e Q

0

(



) osi ga maksimum dla



=



rez

.

Obliczy Q

0

(



rez

) oraz

0

(



rez

).

Obliczy tzw. szeroko połówkow

1/2

= |



2

–



1

|, gdzie



2

i



1

s takimi

warto ciami cz sto ci, e x

0

(



1

) = x

0

(



2

) = x

0

(



rez

)/2. Porówna

1/2

z



rez

.

12) Drgania – oscylator harmoniczny tłumiony z sił zewn trzn .

Rozwa y oscylator harmoniczny z tłumieniem, tj. siła tarcia proporcjonaln do
pr dko ci. Napisa równanie ruchu dla przypadku, kiedy dodatkowo na mas M działa
b dzie tak e siła wymuszaj ca z cz sto ci

ω

(

tzw. cz sto ci wymuszenia, dla

odró nienia od

ω

0

, które jest cz sto ci własn układu, czyli drga swobodnych). Zatem

całkowita siła działaj ca na ten oscylator dana jest wzorem:

( )

( )

2

0

0

0

1

cos

cos

,

F

kx

x

F

t

m

x

x

t

γ

ω

ω

α

ω

τ





= − −

+

=

−

−

+









gdzie

α

0

= F

0

/m. Sprawdzi , czy i kiedy funkcja postaci:

(

)

0

( )

cos

,

x t

x

t

ω ϕ

=

+

nadaje si do opisania zadanego problemu, tzn. jak stałe x

0

i

φ

zale od stałych

opisuj cych problem:

ω, ω

0

, τ, α

0

. Na podstawie otrzymanych wyników, przy pomocy

dowolnego programu (np. Excel, Mathematica, Mathcad, Gnuplot) narysowa zale no
amplitudy x

0

od stosunku cz sto ci siły wymuszaj cej do cz sto ci własnej układu dla

kilku ró nych warto ci tłumienia:

•

γ

=0;

•

γ

= m

ω

0

/10;

•

γ

= m

ω

0

/2;

•

γ

=m

ω

0

.

gdzie

α

0

nale y potraktowa jako parametr. Wyniki zostan omówione na zaj ciach

(prosz przynie wydruki!). Co to jest rezonans i jaka jest w podanych przypadkach
warto cz sto ci rezonansowej



rez

?

13) Drgania dwuwymiarowe – krzywe Lissajous.

Drgania dwuwymiarowe cz stki opisane s równaniami:

(

)

(

)

0

0

( )

cos

,

( )

cos

.

x

x

y

y

x t

x

t

y t

y

t

ω

ϕ

ω

ϕ

=

+

=

+

Narysowa tory ruchu takiej cz stki przy x

0

= y

0

, dla nast puj cych przypadków.

a)

/

1

1

,

.

0

/ 4

x

y

x

y

ω ω

ϕ ϕ

π



   



=



   



−

  







b)

/

2

2

,

.

0

/ 4

x

y

x

y

ω ω

ϕ ϕ

π



   



=



   



−

  







c)

/

3

3

,

.

0

/ 4

x

y

x

y

ω ω

ϕ ϕ

π



   



=



   



−

  







Uwagi

•

Zadania 1, 2 i 9 s przeznaczone dla wszystkich grup.

•

W zadaniach 6, 7, 8 i 13, z podpunktami a), b) i c), podpunkt a) obowi zuje dla grup
poniedziałkowych, podpunkt b) dla grup czwartkowych, a podpunkt c) dla grup
pi tkowych.

•

Zadania 3 i 10 przeznaczone s dla grup poniedziałkowych.

•

Zadania 4 i 11 przeznaczone s dla grup czwartkowych.

•

Zadania 5 i 12 przeznaczone s dla grup pi tkowych.

Prof. dr hab. Jerzy Konior
Dr Bartłomiej Głowacz
Dr Andrzej Odrzywołek
Dr Jakub Prauzner-Bechcicki
Dr Aleksandra Wro ska