Automatyka, sem. III ENS, rok akad. 2012/2013

Przykładowe zadania na kolokwium nr 1, 04. 12. 2012 r.

Zad. 1.
Wyznaczyć transmitancję operatorową układu, opisanego równaniem różniczkowym

u

u

u

y

y

y























5

3

2

2

przy założeniu, że w układzie panują zerowe warunki początkowe. Określić wartości zer i biegunów

układu. Wypowiedzieć się na temat stabilności układu o transmitancji uzyskanej z w/w równania.

Zad. 2.
Dany jest układ o odpowiedzi skokowej:

)

(

1

]

4

2

1

[

)

(

4

t

e

e

t

h

t

t













Znaleźć transmitancję układu oraz jego w przestrzeni stanu.

Zad. 3.
Dany jest układ dynamiczny, opisany w przestrzeni stanu za pomocą następujących równań:





)

(

6

2

)

(

0

)

0

(

);

(

1

1

)

(

3

0

0

2

)

(

t

x

t

y

x

t

u

t

x

t

x







































Znaleźć i narysować odpowiedź skokową tego układu. Podać opis układu w przestrzeni fazowej.

Zad. 4.
Dla jakiej wartości parametru a odpowiedź impulsowa układu opisanego równaniem stanu:





)

(

5

4

)

(

0

)

0

(

);

(

1

0

)

(

3

1

0

)

(

t

x

t

y

x

t

u

t

x

a

t

x





































ma postać:

)

(

1

]

4

[

)

(

2

t

e

e

t

g

t

t











Zad. 5.
Dany jest układ o transmitancji operatorowej:

)

3

(

)

1

(

2

)

(









s

s

s

s

G

Znaleźć opis układu w przestrzeni fazowej (tj. przestrzeni stanu, gdzie kolejna współrzędna jest

pochodną poprzedniej).

Zad. 6.
Wyznaczyć i narysować logarytmiczne charakterystyki modułu i fazy układu o transmitancji:

2

2

)

1

1

.

0

(

)

1

2

(

)

1

10

(

2

)

(









s

s

s

s

G

Na podstawie tych charakterystyk naszkicować charakterystykę amplitudowo-fazową układu.

Zad. 7.
Wyznaczyć i narysować logarytmiczne charakterystyki modułu i fazy układu o transmitancji:

)

1

01

.

0

(

)

1

(

)

1

05

.

0

(

)

1

2

.

0

(

)

(











s

s

s

s

s

s

G

Na podstawie logarytmicznych charakterystyk modułu i fazy naszkicować charakterystykę amplitudowo-

fazową tego układu.

Zad. 8.
Transmitancja operatorowa G

0

(s) liniowego układu dynamicznego ma postać:

)

1

(

)

1

(

1

)

(

0







Ts

s

s

s

G

Układ połączono szeregowo ze wzmacniaczem o wzmocnieniu k i zamknięto pętlą ujemnego

sprzężenia zwrotnego, jak na rysunku. Wyznaczyć i narysować obszar stabilności asymptotycznej
układu na płaszczyźnie (k, T). Do obliczeń należy zastosować kryterium Hurwitza.

Zad. 9.

Dla układu zamkniętego przedstawionego na poniższym rysunku wyznaczyć i narysować obszar stabilności

asymptotycznej na płaszczyźnie (k, T). Do obliczeń należy zastosować kryterium Hurwitza.

Należy ponadto założyć, że k > 0 i T > 0. Transmitancje G

1

(s) i G

2

(s) podane są poniżej:

2

2

1

)

1

(

1

)

(

;

)

1

(

)

(









s

s

G

s

T

k

s

G

Zad. 10.

Narysuj logarytmiczne charakterystyki częstotliwościowe (asymptotyczne charakterystyki Bodego) liniowych

układów dynamicznych o transmitancjach operatorowych:

2

2

1

)

1

02

.

0

(

)

1

10

(

)

1

(

100

)

(

)

;

)

1

5

(

)

01

.

0

(

01

.

0

)

(

)















s

s

s

s

s

G

b

s

s

s

s

G

a

oraz oszacuj zapasy stabilności każdego z tych układów.