5

.

1

Ob

l

iczy

c

dlu

gosci poda

n

ych

we

kt

orow

:

a)

a

=

(

3

,

-4

,

12

)

;

b)

b

=

(

~

,

-

J5,

2J

2) ;

c)

c

=

(

gcos<p,

gsi

n

<p

,

h

)

,

gdz

i

e

g ~

°

o

r

a

z

<p,

h

E

l

R

;

d)

d

=

(gcos<pcos

'

l

jJ,

g

si

n<pcos

'

ljJ, gs

i

n

'

l

jJ

)

,

g

dzie

g ~

°

oraz

<p,

'

l

jJ

E

R

5.2

We

k

tory

a

,

b

tworz

,

,! dwa s¥iednie

bold trojk

"

!ta

.

Wyrazic

s

rod

k

owe teg

o tr

o

j

l

{/

II

,

I

przez wektory

a,

b

.

5.3

Znalezc w

er

so

r

ii,

ktory:

a

)

lezy w plaszczyznie

xOy

i tworzy k"!t a z do

d

atni

,,

! cz~sc

i

,,! osi

Ox;

b)

tworzy z dodatnim

i

cz~sciami osi

Ox, Oy, O

z

odpow

i

ed

n

io

k

,

,!ty

a,

(3, ,

;

c

)

tworzy jednakowe

k,,!ty z wektorami

a

=

(

0,3, -4),

b

=

(

8,6

,

0)

i jest polov

,

ll

ll

w plaszczyznie

wyznaczonej

przez te

w

ektory

.

::::':

i

:

::

:::

5.7

O

b

l

j

?,y

c

ilo

C

I'

,

y

l

ly

w

(

'

kLnrowC

'

JlI

Id

l

\

.

lI

Y

I

'

h

1

"11

w

l

·

1

1

11

1

1

1\

\

1

.1)

Ii

,

(:

1

,

'

J,

()

),

/;

(1

"

'

1

'

J)

.

1

i

),1

1

/

,

,

1

5.4

Ob

l

iczyc iloczyny skalarne

podanych

par

w

ektor6w:

a)

a=(1

,

-2

,

5),

b=(3,

-

1,0);

b)

ii=3i-2k,

v=

-

i+3j

+

7k;

c)

x = p

+

2q -

r

,

Y

= 3p - q

+

2r

,

g

d

zie

p, q

,

r

s

"!

w

e

rso

rami

par

a

mi

p

l

'

f

' I

I

padlymi

.

5

.

5

Korzysta

j

,

,

!

c

z iloczynu

skalarnego

obliczyc miary k

"

!

t6w m

i~

dzy:

a

)

wektor

a

mi

a

=

(-3,0,4)

,

b

=

(

0,1

,

-

2

)

;

b

)

dwusie

c

znymi

k

"

!t6w utworzonych

p

r

ze

z osi

e

Ox, Oy

o

r

a

z osi

e

Oy, 0

.

::

Oxyz;

c

)

przek,

,!

tnymi

r6wnoleglos

cia

nu

rozpi~

t

ego

na wektorach

ii

=

(1

,2,

:1

),

,1

(-

1,0,2),

w=

(

3,1,5

)

.

5.6

O

b

l

i

czyc

dlugosc

rz

u

tu

pro

s

to~tnego

w

ektora

a

=

(

J2, v'

3,

-

Ii»

11

1

1

\

\I

I I

b

=

(-vts,

0,

J5)

.

c

.

:

)

X

= 2

p

+

q

+ r,

y= p

+

3q

+

4r

,

gdzi

e

p

,

q,

r

s"

!

param

i

p

ros

topadlymi

we

r

sorami

0

orientacji

zgodn

e

j

z orientacj,

,

! u

k

l

a

d

u

wsp6l

r

z~dnych.

:I

:

:i.

5

.

8

()b

liczyc pol

a

pod

an

ych

powi

e

rzchn

i

:

I)

r6wnol

e

globok

rozpi~ty na w

e

ktora

c

h

a

=

(1

,

2

,

3),

b

=

(0, -2, 5);

I

I

) tr

6jk

"

!

t

0

wi

e

rz

c

holkach

A

=

(1,

-

1,3),

B

=

(0,2, -

3

), C

=

(2,

2

,1);

1

,

)

c

z

worosci

a

n rozpi~ty

na w

e

ktor

a

ch

i

i,

V,

w.

,;:I

5

.

9

-

4

-

4

'

1

\

'

6

jk,

,

!

t

A

B

C

r

ozpi~ty jest na w

e

kt

o

r

a

ch

AB= (1

,

5, -3),

A

C

=

(-1,0,

4

)

.

O

bliczy

c

wy

s

o

kos

c

t

eg

o tr6jk

"!

ta

op

u

sz

c

zon,

,

! z

wi

erz

cholk

a

C

.

!':::

510

::;:;

.

I

lh

li

c

zy

c

i

l

ocz

y

n

y mieszan

e

po

d

any

c

h

t

r6jek w

ekt

or

o

w

:

I)

it

=

(-

3

,

2,

1)

,

b

=

(0,1

,

-

5),

c

=

(2,3,

-

4

)

;

I

t

)

i1

=

1

+

j

,

v

=

2

1

-

3

j

+

k

, w

=

-

1

+

2

j -

5k,

5

.

11

( l

I

J

li

cz

yc o

b

j~t

os

c

i

podanych

wi

elos

c

i

an6w:

r

wno

l

e

g

l

os

c

ian

rozpi~ty

na

w

e

ktorach

a

=

(

0,

0

,1

)

,

b

=

(-1

,

2,

3

)

,

c

=

(2,5

,

-

1

)

;

I)

c1

-

w

o

rosc

i

an

0

wierzcholk

ac

h

A

=

(

1

,1,1),

B

=

(1,

2

,3), C

=

(2

,

3,

-

1),

D

=

(

-

1

,

3,5

)

;

I

)

I

'o

w

no

l

e

glosci

an

0

prz

e

k,

,

!tny

c

h

ii

,

v

,

w

.

5.

12

'1

1

1

I

'

I

I

,

wd

<:

i

c,

c

z

y

)

w

i

:

kt

ory

a

=

(-1,

3

, -5),

b

=

(1

,

-1

,

1),

c

=

(

4,

-

2

,0)

s"! wsp6

l

pl

as

z

c

zy

z

no

w

;

I

t

)

P

l

ll

l

kty

P

=

(

0

,

0,0)

,

Q

=

(-

1,2,3

),

R

=

(

2,3

,-4),

S

=

(

2,-1

,5

)

s"

!

wsp

6

1

p

I

I

I

K

1-

'

zyz

n

o

we

.

!d3

ll

ipi

r

ll

l

,

{'

r wn

a

nia

og

6ln

e

i p

a

r

ame

tryczne

pl

a

szczy

z

n

sp

e

lniaj,,!cy

c

h

p

o

d

a

n

e

W

I

I

IIld

I

p

l

l

l

rl

1-c1-

,

y1

-

na

p

rz

e

ch

odzi

pr

z

ez

p

u

nkt

P

=

(1, -

2

,

0

)

i jest prosto

pad

l

a

d

o

w<:

k

111

1

11

,

'

II

.

(

0,

-

3

,2

)

;

'I

1

'

1

I

I

I

1I

'

,

C

'I

'

,

y1-

1

l

1

1

,

p

rzec

hodzi

przez

p

unkty

P

I

=

(0

,

0

,

0)

,

P

2

=

(1

,2,3

)

,

P

:

!

(

I

,

:

1

,

II);

I

I

I

I

I

II

'

(,

'

'''

'

Y1-

I

I

I

1

,

pr

l'

,

(

'(

:

lI

oc

!

lI

i

pr

ll

(

l1-

I

l

I

lld

d

,

y

"I

(

I

,

:

1

,

1

1

)

,

P

'

j

,

(

2,

0

,

-

1

)

1

l

I

'

lW,

j

l

l

r

d

,

I

I

I

II

li

t

II

l

'lI

d I

I

I d

l,

1

'

1

1

I

1l1

-

1

'1

-y'I

,

lI

y

"

,

,

d)

plaszczyzna

przecho

d

z

i

przez

punk

t

P

=

(1

,

-

1, 3

)

o

r

az

j

e

st

r6w

n

o

l

eg

l

a

d

ll

we

k

tor6w

I

i

=

(1,1,

0)

,

b =

(0

,

1,

1

);

e)

plaszczyzna

przechodzi

przez punk

t

P

=

(0,

3

,

0)

i

j

est r6wno

l

eg

l

a

do plaszcJlY

zny

7

r

:

3x

-

y

+

2

=

0;

f)

plaszczyzna

przechodzi

przez p

u

n

k

t

P

=

(

2

, 1,

-

3

)

i j

e

st

pro

s

topadla

d

o

pl

aHJ

I

czyzn

7r

l

:

x

+

y

=

0

,

1

r

2

:

y

-

z

=

O

.

5.14

N

apisa

c

r6wnania

p

a

rametryczne

i

ki

er

unkow

e

pr

o

stych

spel

n

ia

j

1t

:

cych poda

n

e

Wl

I

run

k

i

:

a)

prosta

przechodzi

przez

punkt

P

=

(

-

3,5

,

2

)

i j

es

t

r6wno

l

egla

do we

k

tO

l

'

I

I

v=

(2,

-

1

,

3

)

;

b)

prosta

pr

z

e

chodz

i

prz

e

z punkty

P

I

=

(

1

,

0,6

),

P

2

=

(-

2,2,4

);

c)

prosta prz

e

chodzi

przez punkt

P

=

(

0,

-

2

,

3

)

i j

est prostopadla

do pla

s

zczyz

l

I

Y

7

r

:

3x

-

y

+

2z - 6

=

0;

d)

prosta

przechodzi

punkt

P

=

(7,2,0

)

i j

e

st

prostopadla

0

w

ektor6

w

V

I

(

2,0,

-

3

)

,

V2

=

(-

1,2,0

);

e)

prost a j

e

st dw

u

sieczn

1

t

:

k1t:ta os

t

reg

o utwo

r

z

onego

przez proste

l

'

x+2=

y-

4

=~

l

.

x

+

2

=y-

4=~.

1·

3

-1

5'

2 .

1

-

5

3'

f*)

p

r

ost

a

jest dwusieczn1t: k1t:ta ostre

go

u

two

rzo

n

ego

prze

z

proste

x

-I

Y

+

1

z

-

2

x

+

6

y

-

1

z

+

29

h

:

-

2

-

=

-

=1

=

-

2

-

'

l2

:

-

4

-

-

-=3

-1

2'

~~:~i~i~

5.15

Zbadac,

czy

a)

punkty

A

=

(

1,2,3

)

, B

=

(-

1,

-

2,

0)

n

a

le

z1

t:

d

o pr

o

s

te

j

{X

=

1

+

t

,

l

:

y

=

2

+

2

t,

gdz

ie t

E

J

R;

z

=

3

-

t

,

2x+y

-

z

+

3=0

.

,.

2

+

5

- 0

J

e

st zawart

a

w

plaszcz

y

zm

e

x

-

y

z

-

-

7

r :

5

y

-

3

z

+

1

3

=

0;

c)

punkty

A

=

(0

,

1

,

5

),

B

=

(

1

,2,

3

)

nalez

1

t

:

do plas

zcz

y

zny

{X

=

-

1

+

8

+

t,

7

f

:

y

=

2

+

38

-

t,

g

d

z

i

e

8,

t

E

J

R;

z

=

3

-

8

+

2t,

x+1

y

-

3

z

+

4

x

-2

-

-

1

-

-

--=

-

8

'

l

2

b)

prosta

m:

{

d)

proste

h

wsp

6

1ny;

y

-

]

I

z -

:

2

l

i

l

l

i

<

,

'

I

I

'

I

i

III

I

x

=

t

,

Y

=

1

+

2t,

z

=

2

+

3t,

::

:

:

:~:~i

5 .16

Znal

ezc punk

ty

p

rz

ecictcia

:

a)

r

ost

ch l

:

{

x

+

2

y -

z

+

4

=

0,

l

:

{

2x

-

y

-

2z

+

8

=

0

,

p

Y

1

Y

+

z

-

3

=

0

,

2

X

+

2y

+

2z

-

5

=

0

;

x

-

I

y

+

2

z

-

4.

b)

p

r

ost

e

j

l

:

-0-

=

-

3

-

=

-.:::

I

1

plaszczy

z

ny

{X

=

8

+

t,

7r

:

y

=

1

+

8

+

2t,

z

=

3

+

28

+

4t

,

:

f

f

5.17

.

:

.

:

.:

.

:

.:

.:

.

)

b

l

ic

z

yc

odle

g

l

osc

:

.1)

punk

t

u

P =

(1

,

-

2,3

)

od plaszc

z

yzny

7

r

:

x

+

y -

3z

+

5

=

0

;

b)

pla

s

zc

z

yzn

r6

w

noleglych

7

r

l

:

2x

+

y

-

2z

=

0

,

7

r

2 :

2x

+

y -

2z

-

3

=

0

;

c

.

)

pla

sz

czyzn

7rl

:

x

-

2y

+

2z

+

5

=

0,

7

r2

:

3x

-

6y

+

6

z -

3

=

0

;

II) pun

ktu

P

=

(0,1

, -1

)

od proste

j

l : ~

=

!1

= ~;

.

x-I

y+

1

z

x

y-1

z

-

3

I)

pro

sty

c

h

rowno

l

eglych

h

:

-

1

-

=

-

2

-

=

-1'

l2

:

-

2

=

--

-

=4

=

-

2

-

;

f)

pros

t

yc

h

sk

os

nych

II

:

{

::

~

:

l

2

:

{

~:~;

x-g

y

-

2

z

x

y

+

7

z

-

2

p

rost

y

ch

II

:

-

4

-

--=3 l

'

l

2

:

-

2

=

-

g

-

--

2

-

;

{X

=

2

+

t,

II)

prost

e

j

l

:

y

=

-

3

+

2t,

gd

z

ie t

E JR

, od pla

s

zc

zyzny

1r

:

2x

+

y

+

4z

=

O

.

z

= 2 -

t,

5.18

( )1

I

I

j<

.

;

zy

c

mi

a

rc

t

k1t:ta mictd

z

y

:

x

-3

y

-

1

z+2

) pr

o

H

L

t1

l

:

-

2-

=

-0

-

=

--=

3

i pla

s

zczyzn1t:

7

r

:

x - z

=

0

;

I

I

)

pl

l

l

H

Z

;r,

y

z

n

a

mi

7rl

:

x

- 2y

+

3z

-

5

=

0

,

1

r2

:

2x

+

y -

z

+

3

=

0

;

{X

=

1 - t,

{

x

=

3 -

2t,

I

)

pl

'

o

ll

l

,

y

llli

I

I

:

1

1

=

:-

2

+

t,

gdzie t

E

J

R,

l

2:

y

=

4

-

t,

z

.1/

"

z

=

1

+

3t,