Teoria systemów i sygnałów
Kierunek AiR, sem. 5
Prof. dr hab. Wojciech Moczulski
Politechnika Śląska, Wydział Mechaniczny Technologiczny
Katedra Podstaw Konstrukcji Maszyn
21 paz
dziernika 2009
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 1 / 74
1
Systemy c.d.
Systemy o stałych skupionych
Systemy SLS
Schematy blokowe i przykłady systemów
2
Opis systemów w dziedzinie czasu
Systemy SLS czasu ciągłego
Systemy SLS czasu dyskretnego
Schematy blokowe i równania systemu
Dyskretyzacja równań czasu ciągłego
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 2 / 74
1
Systemy c.d.
Systemy o stałych skupionych
Systemy SLS
Schematy blokowe i przykłady systemów
2
Opis systemów w dziedzinie czasu
Systemy SLS czasu ciągłego
Systemy SLS czasu dyskretnego
Schematy blokowe i równania systemu
Dyskretyzacja równań czasu ciągłego
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 3 / 74
Uwagi ogólne
Pojęcie systemu o stałych skupionych lub systemu o stałych
rozłożonych można wprowadzić:
na podstawie modelu fizycznego
badajÄ…c cechy opisu matematycznego tego systemu
W wykładzie zastosowane zostanie podejście abstrakcyjne,
bazujÄ…ce na modelu matematycznym
Ocena będzie bazować na analizie wektora stanu systemu
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 4 / 74
Uwagi ogólne
Pojęcie systemu o stałych skupionych lub systemu o stałych
rozłożonych można wprowadzić:
na podstawie modelu fizycznego
badajÄ…c cechy opisu matematycznego tego systemu
W wykładzie zastosowane zostanie podejście abstrakcyjne,
bazujÄ…ce na modelu matematycznym
Ocena będzie bazować na analizie wektora stanu systemu
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 4 / 74
Uwagi ogólne
Pojęcie systemu o stałych skupionych lub systemu o stałych
rozłożonych można wprowadzić:
na podstawie modelu fizycznego
badajÄ…c cechy opisu matematycznego tego systemu
W wykładzie zastosowane zostanie podejście abstrakcyjne,
bazujÄ…ce na modelu matematycznym
Ocena będzie bazować na analizie wektora stanu systemu
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 4 / 74
Uwagi ogólne
Pojęcie systemu o stałych skupionych lub systemu o stałych
rozłożonych można wprowadzić:
na podstawie modelu fizycznego
badajÄ…c cechy opisu matematycznego tego systemu
W wykładzie zastosowane zostanie podejście abstrakcyjne,
bazujÄ…ce na modelu matematycznym
Ocena będzie bazować na analizie wektora stanu systemu
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 4 / 74
Uwagi ogólne
Pojęcie systemu o stałych skupionych lub systemu o stałych
rozłożonych można wprowadzić:
na podstawie modelu fizycznego
badajÄ…c cechy opisu matematycznego tego systemu
W wykładzie zastosowane zostanie podejście abstrakcyjne,
bazujÄ…ce na modelu matematycznym
Ocena będzie bazować na analizie wektora stanu systemu
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 4 / 74
System analogowy o stałych skupionych
System o stałych skupionych (skończonego rzędu)
Jeżeli liczba składowych wektora stanu jest skończona, system jest
systemem o stałych skupionych lub systemem skończonego
rzędu
System o stałych skupionych (skończonego rzędu)
Rozpatrzmy system analogowy pobudzany sygnałem x(t)
i o odpowiedzi y(t)
System jest skończonego rzędu, jeśli dla jakiejś wartości m > 0
m-ta pochodna odpowiedzi y(m)(t) jest funkcjÄ… zmiennych
y(i)(t), i = 1, 2, . . . , m - 1 oraz x(j)(t), j = 1, 2, . . . , l, l e" 0, czyli:
y(m)(t) = f y(t), y(1)(t), . . . , y(m-1)(t), x(t), x(1)(t), . . . , x(l)(t), t
(1)
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 5 / 74
System analogowy o stałych skupionych
System o stałych skupionych (skończonego rzędu)
Jeżeli liczba składowych wektora stanu jest skończona, system jest
systemem o stałych skupionych lub systemem skończonego
rzędu
System o stałych skupionych (skończonego rzędu)
Rozpatrzmy system analogowy pobudzany sygnałem x(t)
i o odpowiedzi y(t)
System jest skończonego rzędu, jeśli dla jakiejś wartości m > 0
m-ta pochodna odpowiedzi y(m)(t) jest funkcjÄ… zmiennych
y(i)(t), i = 1, 2, . . . , m - 1 oraz x(j)(t), j = 1, 2, . . . , l, l e" 0, czyli:
y(m)(t) = f y(t), y(1)(t), . . . , y(m-1)(t), x(t), x(1)(t), . . . , x(l)(t), t
(1)
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 5 / 74
Przykład
Rozpatrzmy system opisany równaniem wejściowo-wyjściowym:
dy(t)
+ ay(t - 1) = x(t), a = 0.

dt
W równaniu występuje zmienna wyjściowa opóz
niona o 1: y(t - 1)
Nie jest możliwe przedstawienie podanego równania w postaci (1)
dla jakiejkolwiek skończonej wartości m
Systemy, w których opisie występują równocześnie zmienne
z opóz
nieniem czasowym i bez opóz
nienia, są nieskończonego
rzędu i mogą być realizowane jako układy o stałych rozłożonych
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 6 / 74
System dyskretny o stałych skupionych
System dyskretny o stałych skupionych (skończonego rzędu)
System dyskretny o sygnale wejściowym x[n] i sygnale wyjściowym
y[n] jest systemem skończonego rzędu, jeżeli jego równanie
różnicowe można przedstawić w postaci:
y[n] = f (y[n - 1], y[n - 2], . . . , y[n - m], x[n], . . . , x[n - l], n) (2)
gdzie 0 d" m < ", 0 d" l < "
Równania (1), (2) nazywane są równaniami
wejściowo-wyjściowymi
W równaniu (2) stan wyjścia w n-tej chwili czasu zależy od stanu
wyjścia w chwilach ją poprzedzających i wartości sygnału
wejściowego w chwilach nie póz
niejszych niż chwila n. Jest to
więc system przyczynowy
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 7 / 74
System dyskretny o stałych skupionych
System dyskretny o stałych skupionych (skończonego rzędu)
System dyskretny o sygnale wejściowym x[n] i sygnale wyjściowym
y[n] jest systemem skończonego rzędu, jeżeli jego równanie
różnicowe można przedstawić w postaci:
y[n] = f (y[n - 1], y[n - 2], . . . , y[n - m], x[n], . . . , x[n - l], n) (2)
gdzie 0 d" m < ", 0 d" l < "
Równania (1), (2) nazywane są równaniami
wejściowo-wyjściowymi
W równaniu (2) stan wyjścia w n-tej chwili czasu zależy od stanu
wyjścia w chwilach ją poprzedzających i wartości sygnału
wejściowego w chwilach nie póz
niejszych niż chwila n. Jest to
więc system przyczynowy
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 7 / 74
Systemy o stałych skupionych a liniowość
i stacjonarność (1)
Jeżeli f (" ) w równaniu (1) jest funkcją liniową:
f y(t), y(1)(t), . . . , y(m-1)(t), x(t), x(1)(t), . . . , x(l)(t), t =
m-1 l
= - ai(t)y(i)(t) + bj(t)x(j)(t), (3)
i=0 j=0
lub
f (y[n - 1], y[n - 2], . . . , y[n - m], x[n], x[n - 1], . . . , x[n - l], n) =
m l
= - ai[n]y[n - i] + bj[n]x[n - j], (4)
i=1 j=0
gdzie ai(t), bj(t) (lub ai[n], bj[n]) sÄ… rzeczywistymi funkcjami czasu t (lub
n), to równania (1), (2) spełniają zasadę superpozycji i system jest
liniowy
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 8 / 74
Systemy o stałych skupionych a liniowość
i stacjonarność (2)
Jeżeli ponadto:
ai(t) = ai = const , i = 0, 1, . . . , m - 1
bj(t) = bj = const , j = 0, 1, . . . , l , (5)
lub odpowiednio
ai[n] = ai = const , i = 1, 2, . . . , m
bj[n] = bj = const , j = 0, 1, . . . , l , (6)
to system opisany równaniami (1), (2) jest systemem stacjonarnym
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 9 / 74
1
Systemy c.d.
Systemy o stałych skupionych
Systemy SLS
Schematy blokowe i przykłady systemów
2
Opis systemów w dziedzinie czasu
Systemy SLS czasu ciągłego
Systemy SLS czasu dyskretnego
Schematy blokowe i równania systemu
Dyskretyzacja równań czasu ciągłego
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 10 / 74
System SLS
System SLS to system o stałych Skupionych, Liniowy i
Stacjonarny
System SLS czasu ciągłego jest opisywany równaniem
różniczkowym (3) i równaniami (5)
System SLS czasu dyskretnego jest opisywany równaniem
różnicowym (4) i równaniami (6)
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 11 / 74
Właściwości systemów SLS
Jeśli y(t) jest odpowiedzią systemu liniowego na wymuszenie x(t), to:
dx(t) dy(t)
odpowiedziÄ… na wymuszenie jest
dt dt
t t
odpowiedziÄ… na wymuszenie x(Ä) dÄ jest y(Ä) dÄ
t0 t0
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 12 / 74
1
Systemy c.d.
Systemy o stałych skupionych
Systemy SLS
Schematy blokowe i przykłady systemów
2
Opis systemów w dziedzinie czasu
Systemy SLS czasu ciągłego
Systemy SLS czasu dyskretnego
Schematy blokowe i równania systemu
Dyskretyzacja równań czasu ciągłego
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 13 / 74
Uwagi ogólne
W przyjętej definicji system jest blokiem z wyróżnionymi
wejściami i wyjściami oraz działaniem określonym w postaci
relacji pomiędzy wejściami i wyjściami
Pytanie: Czy jest możliwa dekompozycja systemu na mniejsze
podsystemy?
Odpowiedzią jest m.in. reprezentacja złożonych systemów za
pomocą schematów blokowych
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 14 / 74
Uwagi ogólne
W przyjętej definicji system jest blokiem z wyróżnionymi
wejściami i wyjściami oraz działaniem określonym w postaci
relacji pomiędzy wejściami i wyjściami
Pytanie: Czy jest możliwa dekompozycja systemu na mniejsze
podsystemy?
Odpowiedzią jest m.in. reprezentacja złożonych systemów za
pomocą schematów blokowych
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 14 / 74
Uwagi ogólne
W przyjętej definicji system jest blokiem z wyróżnionymi
wejściami i wyjściami oraz działaniem określonym w postaci
relacji pomiędzy wejściami i wyjściami
Pytanie: Czy jest możliwa dekompozycja systemu na mniejsze
podsystemy?
Odpowiedzią jest m.in. reprezentacja złożonych systemów za
pomocą schematów blokowych
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 14 / 74
Elementy schematu blokowego
Krawędzie  skierowane, reprezentujące przepływy sygnałów
Blok  o jednym wejściu i jednym wyjściu oraz określonej
funkcji przetwarzania
Węzeł :
rozgałęziający  o jednym wejściu i większej liczbie
wyjść; posiada jedną krawędz

doprowadzającą i dowolną liczbę krawędzi
skierowanych od tego węzła, przy czym
sygnał płynący w każdej z krawędzi
wyjściowych jest równy sygnałowi
dopływającemu do węzła (brak
jakiegokolwiek przetwarzania)
funkcjonalny  węzeł o więcej niż jednym wejściu
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 15 / 74
Węzeł rozgałęziający
jedno wejście
wiele wyjść
wszystkie sygnały wyjściowe równe
sygnałowi wejściowemu
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 16 / 74
Węzeł sumacyjny
co najmniej 2 wejścia
jedno wyjście
sygnał wyjściowy określony odpowiednio
dla przypadku sygnałów analogowych
i dyskretnych równaniami:
m
y(t) = Ä…xi(t) (7)
i=1
m
y[n] = Ä…xi[n] (8)
i=1
Znaki (+) lub (-) sÄ… ustalane indywidualnie
dla każdego z sygnałów składowych
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 17 / 74
Węzeł mnożący
co najmniej 2 wejścia
jedno wyjście
sygnał wyjściowy określony odpowiednio
dla przypadku sygnałów analogowych
i dyskretnych równaniami:
m
y(t) = xi(t) (9)
i=1
m
y[n] = xi[n] (10)
i=1
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 18 / 74
Blok proporcjonalny
jedno wejście
jedno wyjście
sygnał wyjściowy dla K " R określony odpowiednio dla przypadku
sygnałów analogowych i dyskretnych równaniami:
y(t) = Kx(t) (11)
y[n] = Kx[n] (12)
działanie zależy od znaku i wartości K :
dla |K | > 1  blok wzmacniajÄ…cy
dla |K | < 1  blok tłumiący
dla K > 0  blok nie odwraca fazy sygnału wejściowego
dla K < 0  blok odwraca fazę sygnału wejściowego
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 19 / 74
Blok opóz
niajÄ…cy
jedno wejście
jedno wyjście
sygnał wyjściowy określony odpowiednio dla przypadku sygnałów
analogowych (dla T " R) i dyskretnych równaniami:
y(t) = x(t - T ) (13)
y[n] = x[n - 1] (14)
częściej występuje w systemach czasu dyskretnego
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 20 / 74
Blok całkujący
definiowany dla systemów czasu ciągłego
jedno wejście
jedno wyjście
sygnał wyjściowy określony równaniem:
t
y(t) = x(Ä) dÄ (15)
-"
lub, jeżeli początkiem obserwacji jest chwila t0:
t
y(t) = x(Ä) dÄ (16)
t0
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 21 / 74
Blok różniczkujący
definiowany dla systemów czasu ciągłego
jedno wejście
jedno wyjście
sygnał wyjściowy określony równaniem:
dx(t)
y(t) = (17)
dt
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 22 / 74
Przykłady bloków nienależących do klasy systemów
LS
Dotychczas przedstawione bloki należały do klasy systemów
Liniowych i Stacjonarnych (LS)
Ze względu na bogactwo charakterystyk nieliniowych trudno jest
podać pełną listę bloków elementarnych
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 23 / 74
Przykład: blok ze strefą martwą
jedno wejście
jedno wyjście
sygnał wyjściowy określony dla A > 0
odpowiednio dla systemu czasu ciągłego
i systemu czasu dyskretnego równaniami:
0, |x(t)| < A
y(t) = (18)
t - sign(t) · A, |x(t)| e" A
0, |x[n]| < A
y[n] = (19)
n - sign(n) · A, |x[n]| e" A
system ze strefÄ… martwÄ… jest nieliniowy
system przedstawiony na rysunku jest
stacjonarny
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 24 / 74
Przykład: blok typu  termostat (z histerezą)
jedno wejście
jedno wyjście dyskretne
y(t) " {0, 1}
termostat ma w pomieszczeniu
utrzymywać temperaturę T0:
gdy temperatura spadnie o
2ć%C poniżej T0, termostat
włącza piec
gdy temperatura w
pomieszczeniu osiÄ…gnie T0,
termostat wyłącza piec
przykład systemu z histerezą
system tego typu jest nieliniowy
system przedstawiony na
rysunku jest stacjonarny
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 25 / 74
Przykład: przetwornik AC
sygnał wejściowy i wyjściowy czasu
ciągłego, sygnał wyjściowy czasu
ciągłego o dyskretnej amplitudzie
przy odstępie kwantowania amplitudy
" = 0.1:
x(t) " (-0.1; 0] y(t) = -0.05
x(t) " (0; 0.1] y(t) = 0.05
x(t) " (0.1; 0.2] y(t) = 0.15
. . . . . . . . .
Charakterystyka przetwornika AC
przedstawia zjawisko zwane
nasyceniem:
przyjmijmy, że zakres wejściowy
przetwornika jest (-0.5; 0.5]
sygnał x(t) spoza tego zakresu, np.
Charakterystyka przetwornika
x(t) > 0.5 zostanie zaokrÄ…glony do
Analogowo-Cyfrowego (AC)
najbliższego krańca przedziału
i skwantowany, dajÄ…c y(t) = 0.45
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 26 / 74
Elementarne połączenia bloków
Wyróżnia się elementarne połączenia bloków
A
ącząc bloki na ogół zakłada się, że nie obciążają się one
nawzajem (w układach elektronicznych: wejście o bardzo
wysokiej rezystancji, wyjście o bardzo niskiej rezystancji)
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 27 / 74
Szeregowe połączenie bloków
Połączenie szeregowe zwane jest także połączeniem
kaskadowym
Sygnał wyjściowy pierwszego bloku jest równy sygnałowi
wejściowemu drugiego bloku (y1(t) = x2(t) lub y1[n] = x2[n])
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 28 / 74
Równoległe połączenie bloków
Sygnał wejściowy systemu jest równy sygnałom wejściowym
bloków składowych: x(t) = x1(t) = x2(t) lub x[n] = x1[n] = x2[n]
Sygnał wyjściowy systemu jest sumą algebraiczną sygnałów
wyjściowych bloków składowych:
y(t) = Ä…y1(t) Ä… y2(t) lub y[n] = Ä…y1[n] Ä… y2[n]
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 29 / 74
System ze sprzężeniem zwrotnym
Blok 2 jest blokiem sprzężenia zwrotnego
Sygnałem wejściowym bloku sprzężenia zwrotnego jest sygnał wyjściowy systemu
y(t) lub y[n]
Węzeł sumacyjny sumuje sygnał wejściowy x(t) lub x[n] i wzięty ze znakiem ujemnym
(ujemne sprzężenie zwrotne) sygnał wyjściowy bloku sprzężenia zwrotnego
w(t) lub w[n]
Sygnał wyjściowy węzła sumacyjnego e(t) = x(t) - w(t) lub e[n] = x[n] - w[n] zwany
jest sygnałem błędu (lub sygnałem uchybu)
Istotą działania układu ze sprzężeniem zwrotnym jest, że porównuje on sygnał wejściowy
x(t) lub x[n] z przetworzonym sygnałem wyjściowym w(t) lub w[n] i otrzymanym
sygnałem uchybu sterowany jest główny blok systemu
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 30 / 74
Przykłady prostych schematów blokowych
Jakie równania opisują przedstawione schematy blokowe?
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 31 / 74
Przykłady prostych schematów blokowych (2)
dx(t)
(a) y(t) = adx(t) (b) y(t) = ax(t) +
dt dt
t
(c) y(t) = x(Ä) dÄ + x(t0) (d) y[n] = Kx[n] + x[n - 1]
t0
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 32 / 74
Elementarne połączenia bloków
Wyróżnia się elementarne połączenia bloków
A
ącząc bloki na ogół zakłada się, że nie obciążają się one
nawzajem (w układach elektronicznych: wejście o bardzo
wysokiej rezystancji, wyjście o bardzo niskiej rezystancji)
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 33 / 74
Szeregowe połączenie bloków
Połączenie szeregowe zwane jest także połączeniem
kaskadowym
Sygnał wyjściowy pierwszego bloku jest równy sygnałowi
wejściowemu drugiego bloku (y1(t) = x2(t) lub y1[n] = x2[n])
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 34 / 74
Równoległe połączenie bloków
Sygnał wejściowy systemu jest równy sygnałom wejściowym
bloków składowych: x(t) = x1(t) = x2(t) lub x[n] = x1[n] = x2[n]
Sygnał wyjściowy systemu jest sumą algebraiczną sygnałów
wyjściowych bloków składowych:
y(t) = Ä…y1(t) Ä… y2(t) lub y[n] = Ä…y1[n] Ä… y2[n]
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 35 / 74
System ze sprzężeniem zwrotnym
Blok 2 jest blokiem sprzężenia zwrotnego
Sygnałem wejściowym bloku sprzężenia zwrotnego jest sygnał wyjściowy systemu
y(t) lub y[n]
Węzeł sumacyjny sumuje sygnał wejściowy x(t) lub x[n] i wzięty ze znakiem ujemnym
(ujemne sprzężenie zwrotne) sygnał wyjściowy bloku sprzężenia zwrotnego
w(t) lub w[n]
Sygnał wyjściowy węzła sumacyjnego e(t) = x(t) - w(t) lub e[n] = x[n] - w[n] zwany
jest sygnałem błędu (lub sygnałem uchybu)
Istotą działania układu ze sprzężeniem zwrotnym jest, że porównuje on sygnał wejściowy
x(t) lub x[n] z przetworzonym sygnałem wyjściowym w(t) lub w[n] i otrzymanym
sygnałem uchybu sterowany jest główny blok systemu
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 36 / 74
Przykłady prostych schematów blokowych
Jakie równania opisują przedstawione schematy blokowe?
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 37 / 74
Przykłady prostych schematów blokowych (2)
dx(t)
(a) y(t) = adx(t) (b) y(t) = ax(t) +
dt dt
t
(c) y(t) = x(Ä) dÄ + x(t0) (d) y[n] = Kx[n] - x[n - 1]
t0
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 38 / 74
1
Systemy c.d.
Systemy o stałych skupionych
Systemy SLS
Schematy blokowe i przykłady systemów
2
Opis systemów w dziedzinie czasu
Systemy SLS czasu ciągłego
Systemy SLS czasu dyskretnego
Schematy blokowe i równania systemu
Dyskretyzacja równań czasu ciągłego
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 39 / 74
Równania wejściowo-wyjściowe (powtórzenie)
Równanie systemu m-tego rzędu o stałych skupionych:
y(m)(t) = f y(t), y(1)(t), . . . , y(m-1)(t), x(t), x(1)(t), . . . , x(l)(t), t (20)
przy zadanych warunkach poczÄ…tkowych y(t0), y(1)(t0), . . . , y(m-1)(t0)
Jeżeli f (" ) jest funkcją liniową zmiennych y(t), y(1)(t), . . . , y(m-1)(t) oraz
x(t), x(1)(t), . . . , x(l)(t), to:
m-1 l
y(m)(t) = - ai(t)y(i)(t) + bj(t)x(j)(t), (21)
i=0 j=0
i system jest liniowy
System liniowy o stałych skupionych jest stacjonarny, jeżeli:
ai(t) = ai = const, i = 0, . . . , m - 1 (22)
bj(t) = bj = const, j = 0, . . . , l
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 40 / 74
Odpowiedz
impulsowa i odpowiedz
skokowa
Odpowiedz
impulsowa
Odpowiedzią impulsową systemu czasu ciągłego nazywamy
sygnał na wyjściu systemu y(t) = h(t), gdy wejście jest pobudzane
impulsem Diraca x(t) = ´(t)
Odpowiedz
skokowa
Odpowiedzią skokową systemu czasu ciągłego nazywamy sygnał
na wyjściu systemu y(t) = k(t), gdy wejście jest pobudzane skokiem
jednostkowym x(t) = 1(t)
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 41 / 74
Odpowiedz
impulsowa i odpowiedz
skokowa
Odpowiedz
impulsowa
Odpowiedzią impulsową systemu czasu ciągłego nazywamy
sygnał na wyjściu systemu y(t) = h(t), gdy wejście jest pobudzane
impulsem Diraca x(t) = ´(t)
Odpowiedz
skokowa
Odpowiedzią skokową systemu czasu ciągłego nazywamy sygnał
na wyjściu systemu y(t) = k(t), gdy wejście jest pobudzane skokiem
jednostkowym x(t) = 1(t)
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 41 / 74
Systemy 1. rzędu
Ogólna postać równania wejściowo-wyjściowego (dla
m = 1, l = 1):
dy(t) dx(t)
+ ay(t) = b1 + b0x(t), t e" t0 (23)
dt dt
Przeszłość systemu jest reprezentowana przez warunek
poczÄ…tkowy y(t0) = y0
Równanie (23) jest równaniem różniczkowym zwyczajnym 1.
rzędu o współczynnikach niezależnych od czasu
Dla konkretnych systemów fizycznych wartości współczynników
a, b0, b1 sa funkcjami parametrów systemu
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 42 / 74
Przykład: uproszczony model ruchu samochodu (1)
Samochód o masie m porusza się po prostej, jego położenie
określa s(t), a prędkość v(t)
Zmienną wejściową jest F (t)  siła napędowa lub hamowania,
a zmienną wyjściową v(t)
Efektywna siła poruszająca samochód równa jest sile F (t)
pomniejszonej o siłę oporów ruchu
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 43 / 74
Przykład: uproszczony model ruchu samochodu (2)
Dla małej prędkości v(t) siła oporów ruchu jest proporcjonalna do
prędkości ze współczynnikiem proporcjonalności kf [N s/m]
Równanie ruchu samochodu dla małych prędkości ruchu:
dv(t)
m = F (t) - kf v(t) (24)
dt
WprowadzajÄ…c oznaczenia:
kf 1
x(t) = F (t), y(t) = v(t), a = , b1 = 0, b0 =
m m
mamy:
dy(t)
+ ay(t) = b0x(t) (25)
dt
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 44 / 74
Przykład: uproszczony model ruchu samochodu (3)
Dla dużej prędkości v(t) siła oporów ruchu jest sumą składnika
proporcjonalnego do prędkości ze współczynnikiem
proporcjonalności kf [N s/m] oraz oporów powietrza kdv2(t), gdzie
kd  współczynnik oporu powietrza [N s2/m2]
Równanie ruchu samochodu dla dużych prędkości ruchu:
dy(t) kf kd F (t)
+ y(t) + y2(t) = , y(t0) = y0 = v(t0), t e" t0 (26)
dt m m m
Jest to równanie różniczkowe nieliniowe
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 45 / 74
Postać ogólna rozwiązania równania różniczkowego 1.
rzędu (1)
Wiele systemów można opisać równaniem różniczkowym:
dy(t)
+ ay(t) = b0x(t), t e" t0 (27)
dt
Postać ogólna rozwiązania równania (27):
t
y(t) = y0e-a(t-t0) + b0 x()e-a(t-) d, t e" t0 (28)
t0
Rozwiązanie (28) jest superpozycją składowej pochodzącej od
warunku początkowego y0 oraz wymuszenia zewnętrznego
x(t)
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 46 / 74
Postać ogólna rozwiązania równania różniczkowego 1.
rzędu (2)
Rozwiązanie ogólne równania (23) można otrzymać, przekształcając je
do postaci (27). W tym celu przeprowadzimy zmianÄ™ zmiennych:
z(t) = y(t) - b1x(t). (29)
Różniczkując obustronnie (29):
dz(t) dy(t) dx(t)
= - b1 (30)
dt dt dt
i podstawiając (29, 30) do (23) mamy równanie o postaci (27):
dz(t)
+ az(t) = (b0 - ab1)x(t), (31)
dt
którego rozwiązanie ogólne ma postać:
t
0
z(t) = z0e-a(t-t ) + (b0 - ab1) x()e-a(t-) d, z(t0) = z0, t e" t0
t0
(32)
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 47 / 74
Postać ogólna rozwiązania równania różniczkowego 1.
rzędu (3)
Eliminując z(t) z (32) dzięki zależności (29) otrzymujemy:
t
0
y(t) = (y0 - b1x0)e-a(t-t ) + (b0 - ab1) x()e-a(t-) d, t e" t0, (33)
t0
gdzie x(t0) = x0
Posługując się rozwiązaniem symbolicznym (28) równania (27) możemy
otrzymać jako przypadki szczególne rozwiązania różnych systemów
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 48 / 74
Kontynuacja przykładu z samochodem (1)
Załóżmy (warunki początkowe), że dla t = 0 samochód znajdował
siÄ™ w spoczynku: y(0) = 0, v(0) = 0
W chwili t = 0 przyłożono stałą siłę F (t) = 5000[N], czyli
x(t) = 5000 · 1(t)
Niech masa samochodu m = 1000[kg] oraz kf /m = 0.1[s-1]
Prędkość chwilowa samochodu zmieniać się będzie zgodnie
z funkcjÄ…:
t t
=t
kf
F (t) e0.1
v(t) = e- m (t-) d = 5 e-0.1(t-) d = 5e0.1t
m 0.1
=0
0 0
= 50 1 - e-0.1t (34)
StaÅ‚a czasu prÄ™dkoÅ›ci samochodu wynosi Ä = 10[s] (zob. opis
sygnału asymetrycznego malejącego wykładniczo). W chwili
t = 10s prędkość samochodu osiąga 63.22% wartości
asymptotycznej, tj. 31.61[m/s]
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 49 / 74
Kontynuacja przykładu z samochodem (2)
Położenie samochodu obliczamy z zależności:
t t
=1
e-0.1
s(t) = v()d = 50 1 - e-0.1 d =  +
0.1
=0
0 0
= 50 t - 10 + 10e-0.1t . (35)
Wartością asymptotyczną jest prosta o równaniu s(t)=50 (t-10)
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 50 / 74
Kontynuacja przykładu z samochodem (3)
Przebiegi prędkości (b) i drogi (c) samochodu
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 51 / 74
Przykład: szeregowy obwód rezonansowy 2. rzędu (1)
Równania elementów C, R, L są
odpowiednio równe:
duC
i(t) = C (36)
dt
duC
uR(t) = R · i(t) = RC (37)
dt
di d2i
uL(t) = L = LC (38)
dt dt2
Zgodnie z napięciowym prawem Kirchoffa:
e(t) = uL(t) + uR(t) + uC(t)
Podstawiając równania elementowe, otrzymujemy równanie
wejściowo-wyjściowe (wejściem jest e(t), a wyjściem napięcie na
pojemności uC(t)):
d2i duC
LC + RC + uC(t) = e(t) (39)
dt2 dt
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 52 / 74
Równanie (39) jest równaniem różniczkowym 2. rzędu,pazdziernika 2009 o
zƒyczajnym,
Dyskusja przykładów
Można rozpatrywać systemy wykorzystujące różne zjawiska
fizyczne oraz różne obiekty
Stosowane pojęcia fizyczne oraz język opisu tych systemów
różnią się
Jednak równania opisujące analizowane systemy w każdym
przypadku mają postać równań różniczkowych zwyczajnych
(a więc opisy te należą do tej samej klasy obiektów)
Ważna jest więc umiejętność tworzenia modeli abstrakcyjnych
i ich analizy, gdyż pozwala to na jednorodne podejście do
systemów o zróżnicowanej naturze fizycznej
Istnieją analogie pomiędzy parametrami różnych systemów
fizycznych, np. pomiędzy systemami mechanicznymi
i elektrycznymi (C i m, R i 1/kf )
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 53 / 74
Dyskusja przykładów
Można rozpatrywać systemy wykorzystujące różne zjawiska
fizyczne oraz różne obiekty
Stosowane pojęcia fizyczne oraz język opisu tych systemów
różnią się
Jednak równania opisujące analizowane systemy w każdym
przypadku mają postać równań różniczkowych zwyczajnych
(a więc opisy te należą do tej samej klasy obiektów)
Ważna jest więc umiejętność tworzenia modeli abstrakcyjnych
i ich analizy, gdyż pozwala to na jednorodne podejście do
systemów o zróżnicowanej naturze fizycznej
Istnieją analogie pomiędzy parametrami różnych systemów
fizycznych, np. pomiędzy systemami mechanicznymi
i elektrycznymi (C i m, R i 1/kf )
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 53 / 74
Dyskusja przykładów
Można rozpatrywać systemy wykorzystujące różne zjawiska
fizyczne oraz różne obiekty
Stosowane pojęcia fizyczne oraz język opisu tych systemów
różnią się
Jednak równania opisujące analizowane systemy w każdym
przypadku mają postać równań różniczkowych zwyczajnych
(a więc opisy te należą do tej samej klasy obiektów)
Ważna jest więc umiejętność tworzenia modeli abstrakcyjnych
i ich analizy, gdyż pozwala to na jednorodne podejście do
systemów o zróżnicowanej naturze fizycznej
Istnieją analogie pomiędzy parametrami różnych systemów
fizycznych, np. pomiędzy systemami mechanicznymi
i elektrycznymi (C i m, R i 1/kf )
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 53 / 74
Dyskusja przykładów
Można rozpatrywać systemy wykorzystujące różne zjawiska
fizyczne oraz różne obiekty
Stosowane pojęcia fizyczne oraz język opisu tych systemów
różnią się
Jednak równania opisujące analizowane systemy w każdym
przypadku mają postać równań różniczkowych zwyczajnych
(a więc opisy te należą do tej samej klasy obiektów)
Ważna jest więc umiejętność tworzenia modeli abstrakcyjnych
i ich analizy, gdyż pozwala to na jednorodne podejście do
systemów o zróżnicowanej naturze fizycznej
Istnieją analogie pomiędzy parametrami różnych systemów
fizycznych, np. pomiędzy systemami mechanicznymi
i elektrycznymi (C i m, R i 1/kf )
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 53 / 74
Dyskusja przykładów
Można rozpatrywać systemy wykorzystujące różne zjawiska
fizyczne oraz różne obiekty
Stosowane pojęcia fizyczne oraz język opisu tych systemów
różnią się
Jednak równania opisujące analizowane systemy w każdym
przypadku mają postać równań różniczkowych zwyczajnych
(a więc opisy te należą do tej samej klasy obiektów)
Ważna jest więc umiejętność tworzenia modeli abstrakcyjnych
i ich analizy, gdyż pozwala to na jednorodne podejście do
systemów o zróżnicowanej naturze fizycznej
Istnieją analogie pomiędzy parametrami różnych systemów
fizycznych, np. pomiędzy systemami mechanicznymi
i elektrycznymi (C i m, R i 1/kf )
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 53 / 74
1
Systemy c.d.
Systemy o stałych skupionych
Systemy SLS
Schematy blokowe i przykłady systemów
2
Opis systemów w dziedzinie czasu
Systemy SLS czasu ciągłego
Systemy SLS czasu dyskretnego
Schematy blokowe i równania systemu
Dyskretyzacja równań czasu ciągłego
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 54 / 74
Równania wejściowo-wyjściowe (powtórzenie)
Równanie systemu o stałych skupionych czasu dyskretnego rzędu
m (0 d" m < ", 0 d" l < ") o sygnale wejściowym x[n] i wyjściowym
y[n]:
y[n] = f (y[n - 1], y[n - 2], . . . , y[n - m], x[n], . . . , x[n - l], n) , n e" n0
(40)
przy zadanych warunkach poczÄ…tkowych:
y[n0], y[n0 - 1], . . . , y[n0 - m + 1]
Jeżeli f (" ) jest funkcją liniową zmiennych y[n - 1], y[n - 2], . . . , y[n - m]
oraz x[n], . . . , x[n - l], to równanie systemu można zapisać jako:
m l
y[n] = - ai[n]y[n - i] + bj[n]x[n - j] (41)
i=1 j=0
i system jest liniowy
Jeżeli ponadto:
ai[n] = ai = const , i = 1, 2, . . . , m
bj[n] = bj = const , j = 0, 1, . . . , l , (42)
W. Moczulski Sląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów
to(Politechnikajést liniowy i stacjonarny - w.03 21 paz
dziernika 2009 55 / 74
system
Odpowiedz
impulsowa systemu czasu dyskretnego
Odpowiedz
impulsowa
OdpowiedziÄ… impulsowÄ… systemu czasu dyskretnego nazywamy
sygnał na wyjściu systemu y[n] = h[n], gdy wejście jest pobudzane
impulsem Kroneckera x[n] = ´[n], a warunki poczÄ…tkowe sa zerowe
System o skończonej odpowiedzi impulsowej
System ma skończoną odpowiedz
impulsowÄ… (SOI lub FIR=Finite
Impulse Response), jeśli istnieje stała 0 < N0 < " taka, że
h[n] = 0 dla n > N0
System o nieskończonej odpowiedzi impulsowej
System ma nieskończoną odpowiedz
impulsowÄ… (NOI lub
IIR=Infinite Impulse Response), jeśli dla każdego n > 0 jest h[n] = 0

W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 56 / 74
Odpowiedz
impulsowa systemu czasu dyskretnego
Odpowiedz
impulsowa
OdpowiedziÄ… impulsowÄ… systemu czasu dyskretnego nazywamy
sygnał na wyjściu systemu y[n] = h[n], gdy wejście jest pobudzane
impulsem Kroneckera x[n] = ´[n], a warunki poczÄ…tkowe sa zerowe
System o skończonej odpowiedzi impulsowej
System ma skończoną odpowiedz
impulsowÄ… (SOI lub FIR=Finite
Impulse Response), jeśli istnieje stała 0 < N0 < " taka, że
h[n] = 0 dla n > N0
System o nieskończonej odpowiedzi impulsowej
System ma nieskończoną odpowiedz
impulsowÄ… (NOI lub
IIR=Infinite Impulse Response), jeśli dla każdego n > 0 jest h[n] = 0

W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 56 / 74
Odpowiedz
impulsowa systemu czasu dyskretnego
Odpowiedz
impulsowa
OdpowiedziÄ… impulsowÄ… systemu czasu dyskretnego nazywamy
sygnał na wyjściu systemu y[n] = h[n], gdy wejście jest pobudzane
impulsem Kroneckera x[n] = ´[n], a warunki poczÄ…tkowe sa zerowe
System o skończonej odpowiedzi impulsowej
System ma skończoną odpowiedz
impulsowÄ… (SOI lub FIR=Finite
Impulse Response), jeśli istnieje stała 0 < N0 < " taka, że
h[n] = 0 dla n > N0
System o nieskończonej odpowiedzi impulsowej
System ma nieskończoną odpowiedz
impulsowÄ… (NOI lub
IIR=Infinite Impulse Response), jeśli dla każdego n > 0 jest h[n] = 0

W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 56 / 74
Odpowiedz
jednostkowa (skokowa) systemu czasu
dyskretnego
Odpowiedz
skokowa
OdpowiedziÄ… skokowÄ… systemu czasu dyskretnego nazywamy
sygnał na wyjściu systemu y[n] = k[n], gdy wejście jest pobudzane
skokiem jednostkowym x[n] = 1[n], a warunki poczÄ…tkowe sa zerowe
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 57 / 74
Dyskretny system rekurencyjny
Podstawmy w (41, 42) n = 0, wówczas:
y[0] = -a1y[-1]-a2y[-2]-. . .-amy[-m]+b0x[0]+b1x[-1]+. . . blx[-l]
(43)
Dla n = 1 mamy:
y[1] = -a1y[0]-a2y[-1]-. . .-amy[1-m]+b0x[1]+b1x[0]+. . . blx[1-l]
(44)
Taki schemat obliczeniowy nazywany jest rekurencja m-tego rzędu.
Wymaga on pamiętania m przeszłych wartości sygnału wyjściowego i l
próbek sygnału wejściowego
Jeśli chociaż jeden współczynnik ai = 0, to system zdefiniowany

równaniem (41) jest nazywany dyskretnym systemem rekurencyjnym
lub rekurencyjnym filtrem cyfrowym
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 58 / 74
Dyskretny system nierekurencyjny
Jeżeli a1 = a2 = . . . = am = 0, to równanie wejściowo-wyjściowe
redukuje siÄ™ do:
l
y[n] = bjx[n - j]. (45)
j=0
System taki nazywamy dyskretnym systemem nierekurencyjnym lub
nierekurencyjnym filtrem cyfrowym
System taki jest zawsze systemem o skończonej odpowiedzi
impulsowej
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 59 / 74
Przykład: system wygładzający wykładniczo 1. rzędu
(1)
System wygładzający wykładniczo jest opisywany równaniem:
y[n] = ay[n - 1] + (1 - a)x[n], |a| < 1, n = 0, 1, . . . , y[-1] = y-1
(46)
Własności systemu zależą od wartości stałej a
Układ wygładzający jest liniowym systemem 1. rzędu,
stacjonarnym, przyczynowym
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 60 / 74
Przykład: system wygładzający wykładniczo 1. rzędu
(2)
Kolejne wartości próbek sygnału wyjściowego obliczamy rekurencyjnie:
n = 0 : y[0] = ay-1 + (1 - a)x[0],
n = 1 : y[1] = ay[0] + (1 - a)x[1] = a2y-1 + (1 - a)ax[0] + (1 - a)x[1]
n = 2 : y[2] = ay[1] + (1 - a)x[2] =
= a3y-1 + (1 - a)a2x[0] + (1 - a)ax[1] + (1 - a)x[2].
Schemat ten można uogólnić i otrzymać rozwiązanie równania (46):
n n
y[n] = an+1y-1 + (1 - a) ai x[n - i] = an+1y-1 + (1 - a) x[l]an-l (47)
i=0 l=0
Wartość sygnału wyjściowego w chwili n-tej jest więc średnią ważoną warunku
początkowego y0 z wagą an+1 oraz wartości sygnału wejściowego x[n], x[n - 1], . . . , x[0]
z wagami odpowiednio (1 - a), (1 - a)a, . . . , (1 - a)an
PodstawiajÄ…c x[n] = ´[n] oraz y-1 = 0 otrzymujemy odpowiedz
impulsowÄ… systemu:
h[n] = (1 - a)an1[n] (48)
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 61 / 74
1
Systemy c.d.
Systemy o stałych skupionych
Systemy SLS
Schematy blokowe i przykłady systemów
2
Opis systemów w dziedzinie czasu
Systemy SLS czasu ciągłego
Systemy SLS czasu dyskretnego
Schematy blokowe i równania systemu
Dyskretyzacja równań czasu ciągłego
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 62 / 74
Wprowadzenie
Niekiedy system jest zadany w postaci schematu blokowego
Wówczas zachodzi potrzeba wyznaczenia równania systemu na
podstawie schematu blokowego
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 63 / 74
Przykład: system czasu ciągłego (1)
System ten zawiera 2 integratory
Niech w1(t), w2(t) oraz v1(t), v2(t) oznaczają odpowiednio sygnały
wejściowe i wyjściowe poszczególnych integratorów. Zachodzą związki:
dw2(t) dv2(t)
w1(t) = , v1(t) = , w2(t) = v1(t).
dt dt
Dla zmiennych w2(t), v2(t) muszą być określone warunki początkowe.
Są to więc zmienne stanu  integrator jest systemem z pamięcią
Przyjmijmy, że dla początkowej chwili analizy t0 = 0 system znajdował
siÄ™ w stanie spoczynku
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 64 / 74
Przykład: system czasu ciągłego (2)
Na podstawie schematu blokowego wyznaczymy równania
zmiennych stanu systemu:
dv2(t)
= w2(t) (49)
dt
dw2(t)
= -5v2(t) - 2w2(t) + 4x(t). (50)
dt
Równaniem wyjścia jest:
y(t) = 2v2(t) + w2(t) (51)
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 65 / 74
Przykład: system czasu ciągłego (3)
Równania stanu posłużą nam do wyprowadzenia równań
wejściowo-wyjściowych. Z (49,50,51) należy wyeliminować
zmienne stanu v2(t).w2(t)
W pierwszym kroku różniczkujemy obustronnie równanie (49)
i eliminujemy w2(t) oraz jej pochodną z zależności (50):
d2v2(t) dv2(t)
= -2 - 5v2(t) + 4x(t). (52)
dt2 dt
Podobnie podstawiając (49) do (51), modyfikujemy równanie
wyjścia:
dv2(t)
y(t) = + 2v2(t) (53)
dt
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 66 / 74
Przykład: system czasu ciągłego (4)
Różniczkując równania (52, 53) tworzymy następujący układ:
d3v2(t) d2v2(t) dv2(t) dx(t)
= -2 - 5 + 4 ,
dt3 dt2 dt dt
dv2(t)
y(t) = + 2v2(t),
dt
dy(t) d2v2(t) dv2
= + 2 (t),
dt dt2 dt
d2y(t) d3v2(t) d2v2
= + 2 (t).
dt2 dt3 dt2
Przez proste przekształcenie tych równań otrzymamy
poszukiwane równanie wejściowo-wyjściowe:
d2y(t) dy(t) dy(t)
+ 2 + 5y(t) = 4 + 8x(t). (54)
dt2 dt dt
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 67 / 74
Przykład: system czasu dyskretnego (1)
System zawiera dwa bloki opóz
niajÄ…ce
Dla sygnałów zachodzą związki:
w2[n] = w1[n - 1], v2[n] = v1[n - 1], w2[n] = v1[n]
Dla zmiennych w1[n], v1[n] muszą być określone warunki
początkowe. Są to więc zmienne stanu  blok opóz
niajÄ…cy jest
systemem z pamięcią
Przyjmijmy, że w początkowej chwili analizy system znajdował się
w stanie spoczynku
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 68 / 74
Przykład: system czasu dyskretnego (2)
Na podstawie schematu systemu wyznaczymy równania stanu
systemu:
v1[n] = w1[n - 1], (55)
w1[n] = -2w1[n - 1] - 5v1[n - 1] = 4x[n] (56)
Równanie wyjścia systemu:
y[n] = 2v1[n - 1] + w1[n - 1] (57)
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 69 / 74
Przykład: system czasu dyskretnego (3)
Równania stanu posłużą nam do otrzymania równań wejściowo-wyjściowych
Z równań (55, 56, 57) należy wyeliminować zmienne stanu v1, w1
Podstawmy (55) do (56), zmieniajÄ…c indeks z n na n - 1:
w1[n] + 2w1[n - 1] + 5w1[n - 2] = 4x[n] (58)
W podobny sposób modyfikujemy równania wyjścia:
y[n] = w1[n - 1] + 2w1[n - 2]. (59)
Przesuwając indeksy w równaniach (58, 59) tworzymy następujący układ:
y[n] = w1[n - 1] + 2w1[n - 2],
y[n - 1] = w1[n - 2] + 2w1[n - 3],
y[n - 2] = w1[n - 3] + 2w1[n - 4],
w1[n - 1] + 2w1[n - 2] + 5w1[n - 3] = 4x[n - 1],
w1[n - 2] + 2w1[n - 3] + 5w1[n - 4] = 4x[n - 2].
Po przekształceniach tych równań otrzymamy równanie wejściowo-wyjściowe:
y[n] + 2y[n - 1] + 5y[n - 2] = 4x[n - 1] + 8x[n - 2] (60)
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 70 / 74
1
Systemy c.d.
Systemy o stałych skupionych
Systemy SLS
Schematy blokowe i przykłady systemów
2
Opis systemów w dziedzinie czasu
Systemy SLS czasu ciągłego
Systemy SLS czasu dyskretnego
Schematy blokowe i równania systemu
Dyskretyzacja równań czasu ciągłego
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 71 / 74
Sposób postępowania (1)
Wynikiem dyskretyzacji równań różniczkowych czasu ciągłego
jest równanie czasu dyskretnego
Dyskretyzacja pozwala na numeryczne rozwiązywanie równań
różniczkowych za pomocą formuł rekurencyjnych. Jest także
krokiem wstępnym do cyfrowej realizacji systemów analogowych
IstotÄ… dyskretyzacji jest aproksymacja pochodnych za pomocÄ…
formuł różnicowych znanych z metod numerycznych
Do aproksymacji 1. pochodnej stosuje się formułę Eulera 1. rzędu:
dy(t) y(nT ) - y ((n - 1)T )
H" (61)
dt T
t=nT
Błąd metody Eulera jest rzędu O(T )  tj. jest tym mniejszy, im
mniejsza jest długość kroku dyskretyzacji T
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 72 / 74
Sposób postępowania (2)
Na podstawie (61) przeprowadzimy dyskretyzację równania
różniczkowego czasu ciągłego 1. rzędu (23):
y(nT ) - y ((n - 1)T ) x(nT ) - x ((n - 1)T )
+ ay(nT ) = b1 + b0x(nT )
T T
y[0] = y0, n + 1, 2, . . . (62)
Dyskretyzacja prowadzi do następującej formuły rekurencyjnej:
1
y(nT ) = (y ((n - 1)T + b1x(nT ) - b1 (x(n - 1)T ) + b0Tx(nT )))
1 + aT
y[0] = y0, n = 1, 2, . . . (63)
Stosując wcześniej wprowadzoną notację dla sygnałów próbkowanych
równomiernie (w dziedzinie czasu), wzór (63) można zapisać
w prostszej postaci:
1
y[n] = (y[n - 1] + b1x[n] - b1x[n - 1] + b0Tx[n])
1 + aT
y[0] = y0, n = 1, 2, . . . (64)
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 73 / 74
Dziękuję za uwagę
W. Moczulski (Politechnika Śląska, KPKM) Teoria systemów i sygnałów - w.03 21 paz
dziernika 2009 74 / 74