1

Andrzej BANACHOWICZ

Katedra Metod Sztucznej Inteligencji i Matematyki Stosowanej

ANALIZA SYSTEMOWA

Szczecin 2011

2

JAKOŚCIOWA TEORIA

NIELINIOWYCH RÓWNAŃ

RÓŻNICZKOWYCH



Płaszczyzna fazowa



Stabilność punktów krytycznych

3

Liniowe równania różniczkowe zwyczajne można

rozwiązać w systematyczny sposób, w szczególności jako
rozwiązania w postaci szeregów potęgowych. Nie ma
natomiast ogólnych, systematycznych metod analitycznego
rozwiązywania nieliniowych równań różniczkowych. Ale
nawet w przypadku niemożliwości otrzymania rozwiązania
lub sami nie potrafimy rozwiązać danego równania, to
możemy zbadać je jakościowo, tj. określić cechy
(właściwości) rozwiązania.

4

W wielu zagadnieniach pochodzących z mechaniki klasycznej
otrzymujemy równania w postaci

x" + f (x, x’ ) = 0. (1)

Numeryczne rozwiązywanie takich równań jest stosunkowo
proste. Jednakże rozwiązania numeryczne dają dyskretny
zbiór wartości – liczb, nie określają więc dokładnego
przebiegu rozwiązania – całki.

5

Właściwości rozwiązań równań różniczkowych warto badać z
wielu powodów:
1. możemy lepiej zrozumieć sens fizyczny (lub specyficzny

danej nauki, problemu) rozwiązania;

2. możemy określić ograniczenia na wartości pewnych

parametrów i uwzględnić to w numerycznych
algorytmach rozwiązywania równania; skraca to również
czas wykonywania obliczeń, ich złożoność oraz zmniejsza
błędy numeryczne;

3. mamy możliwość sprawdzenia poprawności rozwiązania

numerycznego.

6

Możemy, na przykład, poznać wiele właściwości rozwiązań
równania wahadła o dowolnej amplitudzie



” +







sin







bez jego rozwiązywania. Istotną rolę odgrywa tutaj pojęcie
płaszczyzny fazowej.

7

Rozpatrzmy następujące równanie różniczkowe (oscylator

harmoniczny):

x” +



2

x = 0. (3)

Wiemy, że jego rozwiązaniem jest funkcja

x(t) = x

0

cos



t +

sin



t, (4)

gdzie: x

0

– położenie początkowe, v

0

– szybkość początkowa.

8

Rozwiązanie to jest okresowe z częstością



(







f, f =

,

czyli



=

, to T =

– i to jest okres). Własność tą można

odkryć bez rozwiązywania równania (3), czyli nie znając (4).
W tym celu pomnóżmy obie strony równania (3) przez x’,
otrzymamy kolejno:

x' (x” +



2

x) = x' · 0,

x’ x” + x’



2

x = 0.

9

Wykorzystajmy następujące tożsamości:

= x’x” oraz

= xx’ . (5)

Uwzględniając (5), otrzymamy

+



2

= 0,

(x’

2

+



2

x

2

) = 0,

10

czyli

x’

2

+



2

x

2

= const. (6)

Wykreślmy zbiór opisany równaniem (6) w układzie
współrzędnych płaskich x, x’. Będzie to rodzina elips o
środku w początku układu współrzędnych (rysunek). Każda
elipsa odpowiada wybranej stałej const. w równaniu (6).

11

Przykład.

Z (6) mamy

x' =

.

C – const.
Zauważmy, że równanie (6) da się przekształcić do równania
kanonicznego elipsy, tj.

(7)

12

Rys. 1. Portret fazowy oscylatora harmonicznego.

Strzałki wskazują kierunek biegu czasu.

13

Płaszczyzna współrzędnych x, x’ nosi nazwę płaszczyzny

fazowej, każda z elips wykresu przedstawia trajektorię drgań
harmonicznych. Płaszczyzna fazowa wraz z rodziną
trajektorii nazywana jest portretem fazowym.

Model matematyczny musi odzwierciedlać istotne cechy
jakościowe i ilościowe badanego zjawiska, a jednocześnie
winien być poprawny matematycznie!

14

Równanie (3) możemy przekształcić do postaci normalnej,

przyjmując:

y = x’,

y’ = –





x, (8)

czyli

v’ = Av, (9)

gdzie: v = [x, y]

T

oraz A =

. (10)

15

Zauważmy, że punkt x = y = 0 jest rozwiązaniem układu

(8). Punkt, w którym x’ = y’ = 0, nazywamy punktem
krytycznym. W tym przypadku punkt krytyczny odpowiada
oscylatorowi spoczywającemu (będącemu) w położeniu
równowagi. Stąd też punkty krytyczne nazywane są czasami
punktami stacjonarnymi.

Wartości własne macierzy A (z równania 10) i

odpowiadające im wektory własne to:







i



,







i



, h

1

=

[1,



i



]

T

, h

2

= [1, i



]

T

, stąd rzeczywiste rozwiązanie

równania (9) będzie miało postać:

16

v =

= c

1

+ c

2

. (11)

Równanie (11) opisuje rodzinę elips o środku w początku
układu współrzędnych. Z układu równań (8) możemy określić
zwrot krzywych. Zauważmy, że x’ > 0 dla y > 0, więc x rośnie
wraz z czasem t w górnej półpłaszczyźnie fazowej, w dolnej
zaś maleje, bo x’ < 0 dla y < 0.

17

Rozpatrzmy teraz tłumiony oscylator harmoniczny, opisuje go
następujące równanie różniczkowe:

x" +



x’ +



2

x = 0. (12)

Sprowadźmy je do postaci normalnej, podstawiając

y = x’,

y’ =



y



2

x, (13)

18

czyli

v’ = Av =

=

. (14)

Tutaj także punkt (0, 0) jest punktem krytycznym, co
odpowiada spoczynkowi oscylatora. Wartości własne
macierzy A to:



1,2

=

, (15)

19

więc zachowanie rozwiązań zależy od współzależności



oraz



. Jeśli





2

> 4





2

, to obie wartości własne są rzeczywiste

ujemne, wtedy x(t) monotonicznie wygasa (jest tłumione),
dążąc do 0. Ten typ zachowania układu nazywamy
tłumieniem aperiodycznym.

Przyjmijmy, dla przykładu, że:







= 2, wtedy

wartości własne i odpowiadające im wektory własne macierzy
A będą równe:













h

1

= [



1, 4]

T

, h

2

= [



1, 1]

T

.

Rozwiązaniem równania (14) jest więc

v =

= c

1

+ c

2

.

20

Wszystkie trajektorie dla t → ∞ zbliżają się do początku

układu współrzędnych stycznie do pewnej prostej. Prosta ta
pokrywa się z kierunkiem wektora własnego h

2

= [



1, 1]

T

na

płaszczyźnie fazowej, jest to prosta y = x’ =



x. Dzieje się tak

dlatego, że dla dużych t pierwszy składnik w równaniu (14)
maleje szybciej niż drugi i staje się pomijalnie mały.
Trajektoria zmierz wówczas (przy t → ∞) do kierunku
wektora [



1, 1]

T

. Punkt krytyczny taki, jak (0, 0) nazywamy

węzłem, w tym przypadku jest to węzeł stabilny.

21

Dla





2

< 4





2

obie wartości własne (14) są zespolone i równe



1,2

=

, (16)

opisują więc drgania tłumione. Przy t → ∞ trajektorie
spiralnie dążą do początku układu współrzędnych (do stanu
równowagi). Punkt krytyczny tego typu nazywamy
ogniskiem. W tym przypadku jest to ognisko stabilne.

22

Rozpatrzmy przypadek wahadła o dowolnej amplitudzie
wahań (równanie nieliniowe), do którego rozwiązania
wykorzystuje się funkcje analityczne. Z fizycznego punktu
widzenia jest to punkt materialny o masie m zawieszony na
nieważkim sztywnym cięgle (ramieniu) o długości l,
wahający się w jednej płaszczyźnie. Opisuje go równanie



’’ +



2

sin



= 0, (17)

gdzie:



– kąt odchylenia wahadła od pionu,



2

=

, g –

przyspieszenie ziemskie.

23

Wiele własności rozwiązań równania (17) możemy poznać

bez konieczności jego bezpośredniego rozwiązywania.
Przekształćmy to równanie do postaci normalnej (układu
dwóch równań pierwszego rzędu), wykorzystując następujące
oznaczenia:







’,



’ = –







sin



. (18)

24

Przestrzeń fazowa, w tym przypadku, będzie miała
współrzędne





i



. Punkty krytyczne są rozwiązaniami

układu równań:







’ = 0,



’ = –







sin





, (19)

czyli:





0 oraz





n





dla n = 0, 1, 2, … . Dla n = 0,



2,



4, … , punkty krytyczne odpowiadają wahadłu w

spoczynku, wiszącemu swobodnie w dół.

25

Stabilność punktów krytycznych.

Trajektorie możemy zaliczyć do jednej z trzech kategorii:

1. Wszystkie trajektorie zbliżają się do punktu krytycznego

przy t → ∞. Dzieje się tak w przypadku, gdy wartości
własne są rzeczywiste ujemne [leżą na lewo od zera na osi
liczb rzeczywistych] lub gdy część rzeczywista pary
sprzężonych wartości własnych jest ujemna [lewa strona
płaszczyzny

zespolonej].

Punkt

taki

nazywamy

asymptotycznie stabilnym.

26

2. Trajektorie nie zbliżają się do punktu krytycznego, ani nie

dążą do nieskończoności przy t → ∞. Dzieje się tak w
przypadku, gdy wartości własne są czysto urojone [część
rzeczywista jest równa zeru!]. Taki punkt nazywamy
stabilnym.

3. Niektóre trajektorie dążą do nieskończoności przy t → ∞.

Dzieje się tak w przypadku, gdy co najmniej jedna wartość
własna jest rzeczywista dodatnia lub gdy część rzeczywista
pary zespolonych wartości własnych jest dodatnia. O takim
punkcie krytycznym mówimy, że jest niestabilny.