1

Andrzej BANACHOWICZ

Katedra Metod Sztucznej Inteligencji i Matematyki Stosowanej

ANALIZA SYSTEMOWA

Szczecin 201

2

NUMERYCZNE METODY ROZWIĄZYWANIA

RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH

Istnienie i jednoznaczność rozwiązań.

Typowe

zagadnienie

początkowe

(zagadnienie

Cauchy’ego) wyraża się następującymi zależnościami:

(1)

3

Nie każde zagadnienie początkowe (1) ma rozwiązanie.
Jednakże może być spełnione dla pewnej klasy funkcji

Twierdzenie.

Jeśli dla pewnych

funkcja jest ciągła w

prostokącie

,

to zagadnienie (1) ma rozwiązanie

dla

, gdzie

.

4

Jeśli funkcja

jest ciągła, to zagadnienie początkowe

może mieć wiele rozwiązań.

Na

przykład

zagadnienie

ma

rozwiązanie trywialne

, ale także postaci

.

Jednoznaczność

rozwiązania

wymaga

nałożenia

dodatkowych warunków na funkcje.

5

Twierdzenie.

Jeśli funkcje

oraz

są ciągłe w prostokącie

,

to dla

zagadnienie początkowe ma

jednoznaczne rozwiązanie.

Inne, tego typu twierdzenie, jest oparte na nierówności
Lipschitza.

6

Twierdzenie.

Jeśli funkcja

jest ciągła dla , i

jeśli istnieje stała

taka, że zachodzi nierówność

to zagadnienie początkowe

ma w

przedziale

jednoznaczne rozwiązanie.

7

Powyższa nierówność nosi nazwę warunku Lipschitza
(względem drugiej zmiennej –

).

Dla funkcji jednej zmiennej

, warunek

pociąga za sobą ciągłość tej funkcji. I może być również
spełniony, gdy jej pochodna nie wszędzie istnieje.

8

Jeśli pochodna

istnieje i jeśli to na

mocy twierdzenia o wartości średniej spełniony jest warunek
Lipschitza.

Przykład.
Wykazać, że następujące zagadnienie początkowe ma

rozwiązanie:

dla

9

Mamy

ale

, to

dla

oraz

10

Zastosowanie wzoru Taylora.

Rozwiązując numerycznie równanie różniczkowe, na ogół

otrzymujemy tablicę przybliżeń

wartości dokładnego

rozwiązania

dla argumentów

Na podstawie tej tablicy

budujemy funkcję przybliżającą to rozwiązanie.

Przykład.

Korzystając ze wzoru Taylora zakładamy istnienie

odpowiednich pochodnych funkcji f. Rozpatrzmy następujący
zadanie.

11

Dane jest zagadnienie Cauchy’ego:

Ze wzoru Taylora mamy

w którym odrzucono pochodne począwszy od piątej.

12

Wyrażenie na pierwszą pochodną

mamy dane w

zagadnieniu początkowym. Wyższe pochodne otrzymamy
różniczkując to wyrażenie.

Mamy więc

,

,

.

13

Stąd, ze wzoru Taylora otrzymamy następujący ciąg
rekurencyjny:

i wykorzystując obliczone pochodne powyżej pochodne,
przyjmując

, otrzymamy

14

15

Oraz uwzględniając warunek

, będziemy mieli:

………………………………………………

16

t

x

x'

x - obliczone numerycznie

Różnice

0

-0,5000

1,0000

-0,5000

0,0000

0,1

-0,3900

1,1987

-0,3900

0,0000

0,2

-0,2605

1,3894

-0,2605

0,0000

0,3

-0,1127

1,5646

-0,1127

0,0000

0,4

0,0516

1,7174

0,0516

0,0000

0,5

0,2298

1,8415

0,2298

0,0000

0,6

0,4188

1,9320

0,4188

0,0000

0,7

0,6150

1,9854

0,6150

0,0000

0,8

0,8146

1,9996

0,8146

0,0000

0,9

1,0136

1,9738

1,0136

0,0000

1

1,2081

1,9093

1,2081

0,0000

1,1

1,3943

1,8085

1,3942

0,0000

1,2

1,5687

1,6755

1,5687

0,0000

1,3

1,7284

1,5155

1,7284

0,0000

1,4

1,8711

1,3350

1,8711

0,0000

1,5

1,9950

1,1411

1,9950

0,0000

1,6

2,0991

0,9416

2,0991

0,0000

1,7

2,1834

0,7445

2,1834

0,0000

1,8

2,2484

0,5575

2,2484

0,0000

1,9

2,2955

0,3881

2,2955

0,0000

2

2,3268

0,2432

2,3268

0,0000

2,1

2,3451

0,1284

2,3451

0,0000

2,3

2,3561

0,0063

2,3537

0,0024

2,4

2,3563

0,0038

2,3538

0,0024

2,5

2,3582

0,0411

2,3558

0,0024

2,6

2,3657

0,1165

2,3633

0,0024

2,7

2,3827

0,2272

2,3802

0,0024

2,8

2,4122

0,3687

2,4098

0,0024

2,9

2,4572

0,5354

2,4548

0,0024

17

Numeryczne rozwiązanie równanie różniczkowego – wzór Taylora.

18

Wady i zalety:

Wady – Jeśli rząd metody (stopień wykorzystywanej
pochodnej) jest większy od 1, to zachodzi konieczność
wielokrotnego różniczkowania funkcji

. Jej odpowiednie

pochodne muszą istnieć w obszarze, przez które przechodzi
poszukiwane rozwiązanie. Jest to warunek znacznie
mocniejszy niż ten, który zapewnia istnienie i jednoznaczność
rozwiązania. Ewentualna pomyłka popełniona podczas
analitycznego różniczkowania funkcji nie będzie wykryta
podczas obliczeń numerycznych.

19

Zalety – Zaletą jest prostota metody oraz fakt, że na niej
opiera się wiele innych metod rozwiązywania numerycznego
równań różniczkowych zwyczajnych. Zapewnia też ona dużą
dokładność, gdy uwzględni się pochodne wyższych stopni.

20

Błędy.

W metodzie wykorzystującej wzór Taylora uwzględniamy
składniki aż do zawierającego

Odrzucona reszta jest

równa

Jest to błąd lokalny metody.

21

Nie znamy

–szej pochodnej, ale jej proste

przybliżenie określa wzór

22

Ogólnie, błędy występujące w każdej metodzie

rozwiązywania numerycznego równań różniczkowych
zwyczajnych zaliczamy do następujących grup:

a) błąd lokalny metody,
b) błąd lokalny zaokrąglenia,
c) błąd globalny metody,
d) błąd globalny zaokrąglenia,
e) błąd całkowity.

23

Błąd lokalny metody, podobnie jak w powyższym

przykładzie, jest skutkiem obcięcia procesu (wyrażenia)
nieskończonego do postaci skończonej. Bywa też nazywany
błędem obcięcia.

Błąd lokalny przenosi się na wartości obliczane w

następnych krokach. Skutki wszystkich błędów lokalnych
metody kumulują się i dają błąd globalny metody (wartości
końcowej).

24

Błędy lokalne rzędu

dają błąd globalny nie

mniejszy niż

, gdyż liczba kroków niezbędna dla

przejścia od

do dowolnego

wynosi

Błąd zaokrąglenia spowodowany jest ograniczoną

precyzją obliczeń, a jego wielkość zależy od typu liczb, na
których operuje komputer. Również ten błąd lokalny przenosi
się na błąd globalny zaokrąglenia (końcowej wartości).

Błąd całkowity jest sumą błędów globalnych metody i

zaokrąglenia.

25

Metoda Eulera.

Metodą rzędu pierwszego, opartą na wzorze Taylora, jest

metoda Eulera. Przedstawia ją następujący wzór:

Zaletą tej metody jest jej prostota oraz to, że nie musimy
różniczkować funkcji

Wadą jest konieczność wyboru

bardzo małego

(ze względu na dokładność).

26

Metoda ta ma także ważne znaczenie teoretyczne, bowiem

na metodzie Eulera oparty jest jeden z dowodów istnienia
rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego.

Przykład.

Ruch obiektu na płaszczyźnie (statku, samolotu) opisuje

następujące równanie

gdzie:

– wektor położenia (współrzędnych), – wektor

prędkości, który znamy tylko z pomiarów.

27

Rozwiązaniem jest:



DR –

(metoda Eulera)



INS –

28

Rys. Nawigacja zliczeniowa.

29

Równanie z opóźnionym argumentem.

W niektórych zastosowaniach występują równania

różniczkowe z opóźnionym argumentem; na przykład w
biologicznych modelach zmienności populacji.

Wówczas wartość

zależy od wartości funkcji dla

wcześniejszych wartości argumentu

Przykładem jest

równanie

30

Aby rozwiązać takie równanie zaczynając od momentu

, musimy znać historię funkcji w przedziale
Są to warunki początkowe tego zagadnienia.

Przykład.
Rozpatrzmy zagadnienie

Stąd, dla

mamy

31

Dokładne rozwiązanie będzie następujące:

Następnie dla

będziemy mieli

i dokładne rozwiązanie

itd.

32

W przypadku bardziej złożonych równań różniczkowych

rozwiązujemy je numerycznie, np. wykorzystując wzór
Taylora.

33

Metody Rungego – Kutty.

Wykorzystując wzór Taylora do rozwiązania zagadnienia

początkowego w metodzie

–tego rzędu musimy znaleźć

wyrażenia dla pochodnych funkcji

względem , aż do –tej

pochodnej włącznie.

Metody Rungego – Kutty pozwalają na pominięcie tego

procesu. Zamiast pochodnych będziemy obliczali, dobrane w
pewien sposób, kombinacje wartości funkcji

34

Metoda Rungego – Kutty rzędu drugiego.

Wykorzystamy związek pomiędzy

i

występujący w

zagadnieniu początkowym. Mamy

to

oraz

itd.

35

Uwaga: Występują tutaj funkcje złożone i pochodne
cząstkowe.

Obliczone w ten sposób pochodne wstawiamy do wzoru
Taylora:

36

Pochodne cząstkowe można wyeliminować wykorzystując

wzór Taylora dla funkcji dwóch zmiennych. Mamy

czyli

37

Stąd przybliżone wyrażenie dla

będzie

następujące:

gdzie

Jest to szczególny przypadek metody Rungego – Kutty rzędu
drugiego, zwany metodą Heuna.

38

Metoda Rungego – Kutty rzędu czwartego.

Konstrukcja metod Rungego – Kutty wyższych rzędów

jest dosyć uciążliwa i przedstawimy tylko metodę czwartego
rzędu.

Klasyczną postać metody Rungego – Kutty rzędu

czwartego przedstawia następujący wzór:

gdzie

39

40

Rząd tej metody jest równy 4, ponieważ błąd wzoru

przybliżonego wynosi

; wyrażenie składnika błędu z

jest znane.

Przykład.
Zastosować metodę Rungego – Kutty czwartego rzędu do

zagadnienia początkowego

41

Mamy następujący ciąg:

dalej odpowiednio, podstawiając

42

Rozwiązanie analityczne jest następujące:

43

Błąd lokalny metody Rungego – Kutty

czwartego rzędu.

W pierwszym kroku obliczeń otrzymujemy przybliżone

rozwiązanie

Błąd lokalny wynosi więc

Z badań nad tą metodą wynika, że dla małych

błąd ten

zachowuje się jak czynnik

gdzie jest nieznane i zależy

od

oraz rozwiązania

(lecz nie zależy od ).

44

Załóżmy, że

jest lokalnie stałe. Niech

będzie

przybliżonym rozwiązaniem otrzymanym z

z

wykorzystaniem dwóch kroków metody, z

w miejsce

Stąd mamy

oraz

45

Uwzględniając

powyższe,

po

odpowiednich

przekształceniach, otrzymamy lokalny błąd równy

Na tej podstawie możemy sterować tak programem

obliczeń, aby utrzymywać założony błąd metody,
zmniejszając lub zwiększając

46

Adaptacyjna metoda Rungego – Kutty – Fehlberga.

Wykazano, że jeśli liczba wartości funkcji

obliczanych

w jednym kroku metody Rungego – Kutty jest ustalona, to jej
rząd nie przekracza pewnej wielkości:

Liczba wartości funkcji

1 2 3 4 5 6 7 8

Maksymalny rząd metody R. – K. 1 2 3 4 4 5 6 6