R.Rempała . Materiały dydaktyczne.

301

Wykłady 3-4. a) c.d. Wykładu 2, funkcja użyteczności,

krańcowa stopa substytucji, użyteczność krańcowa,

optymalne wybory.

Ad. a)

1. Zajmowaliśmy się relacją słabej preferencji ( ). Jest to

relacja określona w zbiorze konsumpcyjnym Z, która ma

trzy własności, jest zwrotna, przechodnia i zupełna.

Ekonomiści uważają, że taka relacja dobrze opisuje

upodobania konsumentów w odniesieniu do koszyków ze

zbioru Z. Przechodniośd i zwrotnośd oznaczają

niesprzecznośd gustów konsument ,

(tzn. (x

y y z)

( x z), oraz, że x ). Zupełność oznacza, iż dla

dowolnej pary koszyków (x,y) Z, konsument potrafi wyrazić

swoje upodobanie (x

y y x) .

2.

Relacja słabej preferencji (dla uproszczenia wygodnie jest

słabą preferencję nazywać krótko preferencją), w naturalny

sposób wyznacza dwie inne relację: indyferencji (

x ~ y

x

y y x)

i ścisłej (silnej) preferencji. (

x

 y

x y

y

x)

;

y

x

oznacza: nie prawda, że

y

x.

R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).

302

3. Można pokazać, że relacja indyferencji jest relacją

równoważności (tzn. jest zwrotna symetryczna i

przechodnia). Z zasady abstrakcji (znana w matematyce

własność relacji równoważności) wynika, że zbiór Z rozpada

się na rozłączne podzbiory. Podzbiorami są klasy

równoważności relacji indyferencji).

W przypadku 2-

wymiarowych koszyków podzbiory te nazywają

się krzywymi obojętności. Uzasadnialiśmy, że dwie różne

krzywe obojętności nie mogą się przecinać. Między koszykami

na różnych krzywych mamy zatem ścisłe relacje. Można

powiedzieć, że krzywe prezentują różne poziomy

preferencji.



lub



4. Wprowadzili

śmy pojęcie wypukłości relacji ścisłej wypukłości

oraz monotoniczności. Dla relacji monotonicznych i ściśle

wypukłych mamy następujący” rysunkowy” opis relacji

a

Krzywe obojętności

Koszyki lepsze niż a. Zbiór F(a)={x; x }

jest wypukły. Krzywe indyferencji nie

mogą mieć „płaskich miejsc” .

R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).

303

a

Rys.

Rysunek przedstawia relację, która jest wypukła, ale nie jest ściśle

wypukła. Krzywe obojętności mogą mieć płaskie fragmenty.

Koszyki optymalne

Zauważmy, że w przypadku relacji zaznaczonych na rysunku

koszyk optymalny

znajduje się w zbiorze budżetowym na

„najwyższej” krzywej obojętności.

Rys. Przykłady wyznaczania koszyków optymalnych.

Koszyki lepsze niż a. Zbiór

F(a)={x; x

} jest wypukły.

Relacja jest wypukła ale nie

jest ściśle wypukła.

R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).

304

Przykład rachunkowy.

Zb={x=(x

1

,x

2

)





2

R : x

1

+ x

2

d



}, p

1

=p

2

=1.

Zbiór konsumpcyjny Z =



2

R

Relacja preferencji jest

określona następująco:

x

y

def



a

1

x

1

+a

2

x

2



a

1

y

1

+a

2

y

2

, a

1

,a

2

– stałe dodatnie

Zadanie.

1) Wyznaczyć rodzinę krzywych obojętności. 2) Czy relacja jest

monotoniczna? 3) Czy relacja jest wypukła? 4) Czy relacja jest ściśle wypukła?

5) Wyznaczyć koszyki optymalne w Zb.

x ~ y



gdy x

y i y x



a

1

x

1

+a

2

x

2

= a

1

y

1

+a

2

y

2

Ad 1

.

Krzywe obojętności

: {x=(x

1

,x

2

): a

1

x

1

+a

2

x

2

= s}, s>0.

x

2

s/a

2

s/a

1

x

1

Rys. Dobra są substytutami. Konsument skłonny jest zamienić jedno na drugie

według stałej stopy.

Zauważmy, że preferencje rosną przy oddalaniu koszyków od początku układu.

Ad 2)-

4). Relacja jest monotoniczna i wypukła. Nie jest ściśle wypukła.

Ad 5) Koszyki optymalne leżą na tej krzywej obojętności, która jest

najbardziej odległej od środka układu i ma niepuste przecięcie ze

zbiorem budżetowym Zb.

Rys.I

a

1

/a

2

<1

x

2

optimum

x

=

(0,d)

R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).

305

Rys.II

.

..

a

1

/a

2

> 1

x

2

optimum

x

=

(d,0)

x

1

x

2



optimum

RysIII

. a

1

/a

2

= 1

d

x

1

Optymalne są wszystkie koszyki z odcinka łączącego (0,d) z (d,0).

Założenie. W dalszych rozważaniach będziemy przyjmowali, że zbiór

konsumpcyjny Z=

m

R



Uwaga .

W przypadku relacji monotonicznej koszyki optymalne znajdują

się na hiperpłaszczyźnie budżetowej. ( Dla m=2 na linii budżetowej.)

Zadania. Zestaw 2 podany jest na ostatniej stronie.

UŻYTECZNOŚĆ

Funkcja użyteczności jest liczbową charakterystyką

relacji preferencji.

Def.

R

R

u

m





:

jest funkcją użyteczności jeśli dla

dowolnej pary koszyków x,y





m

R

spełnia warunki:

1. u(x) > u(y)



x

 y

R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).

306

2. u(x) = u(y)



x ~ y

Wniosek. Ponieważ x y



x~ y lub x

 y, to z definicji

wynika, że u(x)



u(y)



x

y.

Wartość u(x) nazywa się użytecznością koszyka x.

{y: u(y)=u(x)}

– koszyki obojętne względem x,

{y: u(y)>u(x)}

– koszyki lepsze niż x,

{y: u(y)



u(x)}

– koszyki nie gorsze niż x.

Funkcja u oddaje kierunek wzrostu preferencji.- inna

nazwa

– użyteczność porządkowa.

Użyteczność porządkową można opisać na wiele

sposobów, np.:

x



y



z

u

1

: 1 2 3

u

2

: 7 8 9

u

3 :

-2 -1 0

Def.

Niech R

~

R



Funkcja (transformacja)

R

R

f



~

:

nazywa się monotonicznie rosnąca na R

~

jeśli spełnia

warunek:

(u

1

, u

2

, R

~



, u

1

> u

2

)



f(u

1

) > f(u

2

)

Ważna własność użyteczności.

R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).

307

Jeśli funkcja u jest użytecznością, a funkcja f jest

monotonicznie rosnąca na zbiorze wartości u to nowa

funkcja v(x)= f(u(x)) jest

też funkcją użytecznością

opisującą tę samą relację preferencji, którą opisywała u.

Innymi słowy: monotonicznie rosnąca transformacja funkcji

użyteczności jest znowu funkcją użyteczności.

Konstrukcja funkcji użyteczności, m=2.

Wykorzystuje się następujące własności:



Funkcja użyteczności na krzywych obojętności jest

stała.



Różnym krzywym przypisuje różne wartości.



Krzywe bardziej preferowane otrzymują większe

wartości.

Przypadek preferencji monotonicznych

x

1

=x

2

a

a

Rys.Krzywe obojętności przecinają prostą : x

2

=x

1

.

Z monotoniczności relacji wynika, że punkt przecięcia jest jedyny.

Niech

K

a

={x=(x

1

,x

2

) : (x

1

,

x

2

) ~ (a,a)}, a>0.u(x)

def



a 2 dla x



K

a

R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).

308

Wyznaczanie krzywych obojętności przy znanej

użyteczności u(x)

Krzywa obojętności = {x : u(x)= const.}

Przykład: u(x

1

,x

2

)=x

1

x

2

Rodzina krzywych obojętności {x: x

1

x

2

= s} s 0



.

Uwaga. Funkcja v(x

1

,x

2

) = x

1

2

x

2

2

opisuje tę samą relację bo

v(x)=(u(x))

2

. Funkcja kwadratowa na R

+

jest ściśle rosnąca (



).

Optymalny wybór

W języku funkcji użyteczności: optymalny wybór to koszyk

x

o maksymalnej użyteczności w zbiorze budżetowym;

Innymi słowy: optymalny wybór to taki koszyk, którego

użyteczność jest nie mniejsza niż użyteczność każdego innego

koszyka ze zbioru budżetowego (tzn. u(

x

)



u(x)).

Poszukiwanie

x

Problem: Znaleźć koszyk

x

rozwiązujący następujący problem

optymalizacyjny

u(x)



max

Zb

x



Innymi słowy:

u(x)



max

przy warunkach ograniczających

d

x

p

x

p

x

p

m

m

2

2

1

1









...

,

x

1

,

0



x

2

,

0



. ...

, x

m

,

0



gdzie p

1

, p

2

, ...,p

m

– ceny, d – dochód.

Terminologia

R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).

309



u(x)

– funkcja celu,



zbiór rozwiązań dopuszczalnych - zbiór koszyków

spełniających warunki ograniczające,



w zbiorze rozwiązań dopuszczalnych poszukujemy

koszyka, który maksymalizuje funkcję celu.

Uwaga. a) W przypadku relacji monotonicznej koszyki optymalne

znajdują się na hiperpłaszczyźnie budżetowej. ( Dla m=2 na linii

budżetowej; por. Rys. )

x

.

Wniosek. w przypadku relacji monotonicznych zbiór rozwiązań

dopuszczalnych wystarczy ograniczyć do tych koszyków, które spełniają

warunki:

d

x

p

x

p

x

p

m

m

2

2

1

1









...

,

x

1

,

0



x

2

,

0



. ...

, x

m

0



.

Przykład. u(x

1

,x

2

)=x

1

x

2



max,

.

x

1

+ x

2

= 2, 1

x

1

,

0



x

2

,

0



Rozwiązanie:

x

=(1,1)

1

Rys. W punkcie optymalnego wyboru krzywa obojętności jest styczna

do linii budżetu. Innymi słowy: nachylenie stycznej = nachylenie linii

budżetu.

Warunek konieczny optymalnego wyboru

.

J

eśli koszyk

optymalny jest punktem wewnętrznym linii budżetu ( tzn. obie współrzędne są

R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).

310

dodatnie), to w przypadku relacji monotonicznej ( i przy krzywych

obojętności opisanych funkcją różniczkowalną) w punkcie tym nachylenie

krzywej obojętności = nachyleniu linii budżetu.

Wynika to z faktu,

że krzywa obojętności, w punkcie optymalnego wyboru, nie

mo

że przecinać linii budżetu.

Uwaga

. a) Warunek ten nie musi być spełniony w przypadku optimum

brzegowego oraz w przy

braku regularności krzywych obojętności.

b) Warunek ten nie jest warunkiem wystarcz

ającym.

c) W dalszym toku wykładu będziemy badali dokładniej warunki

konieczne i dostateczne optymalnego wyboru koszyka.

Krańcowa stopa substytucji (KSS) przy m=2

Rozważmy przypadek, w którym krzywa obojętności daje się

zapisać za pomocą różniczkowalnej funkcji x

2

=g(x

1

).

Krańcowa

stopa substytucji dobra pierwszego przez drugie w punkcie

(x

1

,x

2

) (KSS)

1,2

(x

1

,x

2

) w przypadku m=2 jest poch

odną funkcji

g(x

1

).

X

2

.

x

1

1

2

x

x





-

wyraża nachylenie siecznej.

R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).

311

0

1

x





lim

1

2

x

x





-

wyraża nachylenie stycznej w punkcie (x

1

,x

2

).

KSS

1,2

opisuje krańcową stopę według, której konsument

zamieni dobro 1 na dobro 2.

Z

a marginalną ilość

1

x



„ jesteśmy skłonni płacić drugim

dobrem

” -

1

2

1

2

x

KSS

x









,

Nie mylić z ceną! Cena – to co musimy zapłacić. Ile mamy ochotę

zapłacić zależy od preferencji.

Wniosek. Warunek konieczny optymalnego wyboru oznacza,

że w punkcie optymalnego wyboru ( przy optimum wewnętrzny i

przy r

egularnych krzywych obojętności) KSS

1,2

=-p

1

/p

2

Przykład. Wyznaczanie KSS

Niech u(x

1

,x

2

) = x

1

x

2

Krzywa obojętności (KO) = {x

: x

1

x

2

=s}, s

– stała.

x

2

= s/x

1

. , g(x

1

)=s/x

1

,

1

2

x

x





=

'

g

(x

1

) = -s/

2

1

x

= KSS

1,2

(x

1

,x

2

) na krzywej z

parametrem s.

Zadanie.

Znaleźć KSS

1,2

dobra pierwszego przez drugie w koszyku

(x

1

,x

2

) = (1,2).

Rozwiązanie. Koszyk (1,2) znajduje się na krzywej z

parametrem s = 2

R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).

312

KSS

1,2

= -s/

2

1

x

=- 2/1=-2.

Użyteczne pojęcia matematyczne.

1.

Ciągłość funkcji.

Funkcja u:

R

R

m





jest ciągła w punkcie x=(x

1

,x

2

,...,x

m

) jeżeli dla

każdego ciągu {x

n

}, x

n

m

R





jeśli x

n



x to u(x

n

)



u(x)

(Przypominamy x

n



x



d(x

n

,x)



0, d oznacza odległość.)

Funkcja u:

R

R

m





jest ciągła na

m

R



jeśli jest ciągła w każdym

punkcie x

m

R





.

2.

Funkcje wklęsłe.

Funkcję u:

R

R

m





nazywamy wklęsłą na

m

R



jeśli dla każdego

]

1

,

0

[





i każdej pary punktów x,y



m

R



spełniony jest warunek (*)

(*) u(



x + (1-



)y)





u(x) +(1-



)u(y)

3.

Funkcje silnie (ściśle) wklęsłe

Jeżeli w poprzedniej definicji warunek (*) spełniony jest z ostrą

nierównością dla

)

1

,

0

(





,

to funkcję nazywamy ściśle wklęsłą.

(Por. Rysunek dla u:

R

R



).

R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).

313

4

Rosnące użyteczności.

Funkcja użyteczności nazywa się rosnąca na R

m



jeśli dla dowolnej pary

koszyków x,y prawdziwy jest warunek:

x



y



x

y



u(x) > u(y),

co

oznacza, że : jeśli x

1



y

1

,...,x

m



y

m

i co najmniej jedna z

nierówności jest ostra to u(x) > u(y)

Związek rosnących funkcji użyteczności z relacjami

monotonicznymi.

Wniosek z definicji.

Jeżeli funkcja użyteczności jest rosnąca to

relacja użyteczności, którą ta funkcja opisuje jest monotoniczna.

Związek wklęsłych użyteczności z relacjami wypukłymi.

Twierdzenie1.

Jeżeli funkcja użyteczności u:

R

R

m





jest

wklęsła (silnie wklęsła) na

m

R



to relacja preferencji, którą ta

funkcja opisuje jest wypukła ( silnie wypukła).

Dowód. Rozważmy taką parę takich koszyków x,y , że

x

y.

Należy wykazać, że

(**)



x + (1-



)y

y

Z założenia wiadomo, że

R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).

314

1. x

y

u(x)



u(y), ( z definicji u)

2. u(



x + (1-



)y)





u(x) +(1-



)u(y)

(z wklęsłości u)

Zatem z 1 i 2 wynika, że

u(



x + (1-



)y)





u(x) +(1-



)u(y)





u(y) +(1-



)u(y) = u(y).

Z definicji funkcji użyteczności mamy więc



x + (1-



)y

y, co

oznacza wypukłość relacji

”

.

Użyteczność krańcowa

Rozważmy koszyk x = (x

1

,x

2

,...,x

m

). Załóżmy, że zmieniamy ilość i-tego

towaru o

i

x



. Pozostałe zawartości nie zmieniają się. Wywołuje to

zmianę użyteczności: u(x

1

,x

2

,. x

i

+

i

x



...,x

m

) - u(x

1

,x

2

,...,x

m

).

Definicja użyteczności krańcowej

Krańcową użytecznością i-tego towaru w koszyku x nazywamy

pochodną cząstkową

i

x

x

u





)

(

=

0

i

x





lim

i

m

2

1

m

i

i

2

1

x

)

x

,...,

x

,

x

(

u

)

x

,...,

x

x

,...

x

,

x

(

u









Uwaga. Można wykazać, że jeżeli u:

jest rosnąca i silnie wklęsła,

to, dla każdego x>0

i

x

)

x

(

u





>0, i=1,2,…,n

Komentarz.

Krańcową użytecznością i-tego towaru w koszyku x

informuje o ile , w przybliżeniu, zmieni się użyteczność koszyka

x jeśli ilość i-tego towaru zmieni się o jednostkę, a ilości

pozostałych towarów nie ulegnie zmianie.

R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).

315

Przykłady.

1. u(x

1

,x

2

,...,x

m

) = x

1

+2x

2

+...+mx

m

1

x

x

u





)

(

=1,

2

x

x

u





)

(

=2, ,

i

x

x

u





)

(

=i,......

m

x

x

u





)

(

=m

2. u(x

1

,x

2

)=

3

2

2

1

x

x

,

1

x

x

u





)

(

=

3

2

1

x

x

2

;

2

x

x

u





)

(

=

2
2

2

1

x

3

x





Zadanie. Wyznaczyć użyteczność krańcową drugiego dobra w koszyku

x = (1,3)

Przykład 1.

2

x

x

u





)

(

|

(1,3)

= 2 Przykład 2.

2

x

x

u





)

(

|

(1,3)

= 1





3

3

2

= 27

Użyteczność krańcowa i-tego dobra informuje w przybliżeniu jak zmienia się

użyteczność koszyka x jeśli ilość i-tego dobra w koszyku x zmieni się o jednostkę.

Użyteczności różniczkowalne

Definicja. a)

Funkcję u:

m

R





R nazywamy różniczkowalną jeśli istnieją

wszystkie pochodne

i

x

)

x

(

u





i=1,2,...,m i pochodne te są funkcjami

ciągłymi na

m

R



.

b) Funkcję u:

m

R





R nazywamy dwukrotnie różniczkowalną jeżli

istnieją wszystkie pochodne czastkowe drugiego rzędu

j

i

2

x

x

)

x

(

u







(i,j=1,2,...,m) i pochodne te są funkcjami ciągłymi na

m

R



.

W dalszym ciągu będziemy zakładać, że u

(

m

R





R).

Przypominamy. a) Macierz drugich pochodnych nazywamy hesjanem

(H(x)).

b) Z t

wierdzenia Schwarza wynika, że hesjan jest macierzą symetryczną.

R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).

316

c) Mowimy, że hesjan jest niedodatnio (ujemnie ) określony jeśli dla

każdej pary koszyków x,y

m

R



, y

mamy

(*)

d) Twierdzenie

Sylvestera podaje warunki na spełnienie (*).

e)

Funkcja użyteczności u

(

m

R





R) jest wklęsła na

m

R



wtedy i

tylko wtedy gdy jej hesja H(x

) jest niedodatnio określony na

m

R



.

f) Jeżeli funkcja użyteczności u

(

m

R





R) i jej hesjan H(x) jest

ujemnie określony na określony na

m

R



, to jest ona silnie wklęsła na

m

R



.

( W przypadku funkcji silnie wklęsłych dla pewnych izolowanych

punktów hesja nie musi być ujemnie określony).

Twierdzenie 2. ( Prawo Gossena)

Jeżeli funkcja użyteczności u

(

m

R





R) i jej hesjan jest ujemnie

określony na

m

R



,

to dla każdego x

m

R



,

m

,...,

2

,

1

i

,

0

x

)

x

(

u

2

i

2









.

Dowód. Niech

= [0,…,0,1,0, będzie i-tym wersolem

.

R

m

Z

ujemnej określoności hesjanu wynika, że

H(x)

Komentarz.

Zauważmy, że własność ta oznacza , że użyteczność

krańcowa i-tego towaru maleje wraz ze wzrostem ilości i-tego towaru w

koszyku x przy ustalonych

ilościach pozostałych towarów.

W ekonomii własność ta nazywa się prawem Gossena.

Prawo to dotyczy realnych sytuacji życiowych. (Ekonomiści w tym

kontekście dają taki przykład:” im więcej zjedliśmy szynki ,to każdy

dodatkowy plasterek smakuje mniej

”).

R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).

317

W dalszych rozważaniach przyjmiemy następujące założenia o funkcji

u

żyteczności

Założenia o funkcji użyteczności (ZoFU)

Funkcja użyteczności u

(

m

R





R)

jest rosnąca i silnie

wklęsła a jej hesjan h(x) jest ujemnie określony przynajmniej na

int

m

R



.

Do

rozważanej klasy funkcji użyteczności dołączamy też funkcje

u

określone na int

m

R



i spełniające powyższe założenia, tzn.

u

(int

m

R





R)

, u jest rosnąca, a jej hesjan jest ujemnie

określony.

Związek krańcowej stopy substytucji z użytecznościami

krańcowymi.

P

rzykład.

u(x

1

,x

2

) = x

2

+

2

1

x

. Oblicz KSS pierwszego dobra

przez drugie w koszyku (1,1).

x

2

+

2

1

x

= s, s > 0

-

rodzina krzywych obojętności.

Interesuje nas krzywa obojętności z parametrem s=2.



x

2

= 2-

2

1

x

, x

2

= g(x

1

) = 2 -

2

1

x

,

'

g

(x

1

) = -2x

1

,

KSS

1,2

=

'

g

(1) = -2.



Inny sposób wyznaczania KSS, gdy x

2

traktujemy jak

funkcją uwikłaną zmiennej x

1

R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).

318

u(x

1

,x

2

)= u(x

1

,g(x

1

))=2. Zatem

1

x

x

u





)

(

+

2

x

x

u





)

(

'

g

(x

1

)=0.

Stąd

'

g

(x

1

)= -

1

x

x

u





)

(

/

2

x

x

u





)

(

,

1

x

x

u





)

(

=2x

1

,

2

x

x

u





)

(

=1,

a więc

'

g

(x

1

) = -

1

x

2

1

, KSS

1,2

=

'

g

(1) = -2.

Mamy następujące ogólne twierdzenie

Twierdzenie 3.

Jeśli funkcja użyteczności u spełnia założenia

ZoFU

, to dla każdego x

int

m

R



spe

łniona jest równość

KSS

i,j

(x)= -

i

x

x

u





)

(

/

j

x

x

u





)

(



W przykładzie dla x=(1,1) mamy:

1

x

x

u





)

(

|

(1,1)

=

2

,

2

x

x

u





)

(

|

(1,1)

=

1.

Zatem KSS

1,2

(1,1) = - 2.

Komentarz.

Definicj

ę KSS dobra i przez j określamy tak jak w

przypadku m=2. Okazuje si

ę, że przy przyjętych założeniach ZoFU

istnieje takie otoczenie ka

żdego punktu int

m

R



że funkcja u(x)=c,

c=const. daje si

ę, w tym otoczeniu, rozwikłać względem j-tej zmiennej,

tzn. x

j

daje si

ę zapisać jako :

dla pewnej

r

óżniczkowalnej funkcji g. Krańcową stopę substytucji dobra i – tego

przez j-te w koszyku

x definiuje

się jako:

R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).

319

KSS

i,j

(x)







i

j

x

x

Twierdzenie 3 daje spos

ób wyznaczania KSS za pomocą

pochodnych cz

ąstkowych.

Optymalne wybory c.d.

Twierdzenie.4.(O je

dyności optymalnego wyboru) Jeżeli

funkcja użyteczności u:

m

R





R

jest ciągła i silnie wklęsła, to

dla każdego dochodu d i dla każdego wektora cen p=(p

1

, p

2

,

,

) > 0 istnieje dokładnie jeden koszyk spełniający warunek

u(

dla każdego x ze zbioru budżetowego

wyznaczonego przez d i p.

Dowód (Podręczniki pozycja [1]).

Wniosek

a)

Z Twierdzenia 4 wynika, że jest rozwiązaniem

następującego zadania maksymalizacji użytecznosci (ZMaxU):

u(x)



max

przy warunkach ograniczających

d

x

p

x

p

x

p

m

m

2

2

1

1









...

,

x

1

,

0



x

2

,

0



. ...

, x

m

.

0



b) W przypadku gdy dodatkowo u jest funkcja rosnącą , to

znajduje się na hiperpłaszczyźnie budżetowej.

d

x

p

...

x

p

x

p

m

m

2

2

1

1









R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).

320

x

1

,

0



x

2

,

0



. ...

, x

m

.

0



Twierdzenie 5. ( Warunek konieczny i dostateczny ZMaxU)

Jeżeli funkcja użyteczności u:

m

R





R

jest rosnąca,

różniczkowalna i silnie wklęsła na int

m

R



, to koszyk

>0 jest

rozwiązaniem ZMaxU wtedy i tylko wtedy gdy istnieje że

para (

spełnia układ n+1 równań:

(a)

i

x

)

x

(

u





=

i=1,2,…,m

(b)

d

x

p

...

x

p

x

p

m

m

2

2

1

1









Dowód wynika z Twierdzenia Kuhna-Tuckera (Literatura [2] str.

785).

Wnioski z Twierdzenia 5.

a)Z Twierdzenia 3 o KSS i warunku (a) Twierdzenia 5 wynika,

że KSS

i,j

(

= -

i

x

)

x

(

u





:

j

x

)

x

(

u





=

b)

Zauważmy, że wynik ten jest zaskakujący. Oznacza on, ze

przy różnych funkcjach użyteczności spełniających założenia

Tw.5

mogą być różne koszyki optymalne przy tych samych

cenach,

a krańcowa stopa substytucji pozostaje taka sama.

KSS

i,j

(

x

)=-p

i

/p

j

c) Stosunek

–p

i

/p

j

jest stopą wymiany oferowaną przez

rynek.

R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).

321

Ważny przykład. Funkcja użyteczności Cobba-Douglasa

u(x

1

,x

2

) = x

a

1

b

2

x

; a > 0, b > 0.

Rys.a=b=1/2



Równoważny opis preferencji:

1.

u(x

1

,x

2

) = ln(x

a

1

b

2

x

) = a ln x

1

+b ln x

2

2.

u(x

1

,x

2

) = (x

a

1

b

2

x

)

b

a

1



=

b

a

b

2

b

a

a

1

x

x





Preferencje opisane użytecznością C-D są silnie wypukłe i

monotoniczne. Funkcja s

pełnia też założenia Tw. 5.

Optymalny wybór jest optimum wewnętrznym.

Zadanie z użytecznością C-D

Znaleźć koszyk popytu w przypadku użyteczności C-D

a ln x

1

+b ln x

2



max

przy warunkach ograniczających

d

x

p

x

p

2

2

1

1





,

x

1

,

0



x

2

,

0



.

Wystarczy rozważyć koszyki dla których

(*) KSS

1,2

(x)= -p

1

/p

2

.

Liczymy KSS wy

korzystując użyteczności krańcowe





krzywe

obojętności

R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).

322

1

x

x

u





)

(

=

1

x

a

,

2

x

x

u





)

(

=

2

x

b

Zatem KSS

1,2

(x)= - (

1

x

a

) / (

2

x

b

)= -

1

2

x

b

x

a

.

Z

(*) i faktu, że poszukiwany koszyk znajduje się na linii

budżetowej wynika, że koszyk spełnia równania:

-

1

2

x

b

x

a

.=

-p

1

/p

2

d

x

p

x

p

2

2

1

1





Po rozwiązaniu układu otrzymujemy koszyk popytu :







)

(

b

a

a

p

d

x

1

1

b

a

a

d

x

p

1

1







udział wydatków na dobro 1







)

(

b

a

b

p

d

x

2

2

b

a

b

d

x

p

2

2





.



udział wydatków na dobro 2

Inny sposób rozwiązania zadania z użytecznością C-D

Pokażemy, że jeżeli pewien koszyk

x

=(

x

1

,

x

2

) > 0

(tzn.

x

1

>0,

x

2

>0) i pewna liczba



> 0 spełniają

następujący układ równości:

1

x

x

u





)

(

|

x

x



=



p

1

2

x

x

u





)

(

|

x

x



=



p

2

d

x

p

x

p

2

2

1

1





R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).

323

to

x

=(

x

1

,

x

2

) jest rozwiązaniem poprzedniego zadania z

użytecznością. C-D.

Uzasadnienie

.

1

x

a

=



p

1

2

x

b

=



p

2



1

2

x

b

x

a

.=

p

1

/p

2

d

x

p

x

p

2

2

1

1





d

x

p

x

p

2

2

1

1





Otrzymaliśmy ten sam układ równań, który wyznaczał

koszyk

x

w poprzednich rozważaniach.

Drugi sposób rozwiązywania nazywa się metodą mnożników Lagrange’a

Ćwiczenia. Zestaw 2

1.

Zbiór X składa się z czterech koszyków. X= {a,b,c,d}. Sprawdź czy

następująca relacja:

r

def



{(a,a), (a,b), (a,d), (b,b), (b,c), (c,a), (c,c), (d,b), (d,c), (d,d)}

a) jest zwrotna, b)czy jest symetryczna c) czy jest

b)

przechodnia, d) czy jest zupełna?

2.

Sprawdź czy koszyk z= (11, 32) należy do odcinka łączącego

koszyki x=(5,20) i y=(20,50).

3. Czy relacja x

y

def



x

1

+2x

2



y

1

+ 2y

2

jest

a)

monotoniczna b) wypukła c) ściśle wypukła.

Jaką funkcją użyteczności można opisać tę relację?

Podaj równania krzywej obojętności przechodzącej przez

(x

1

,x

2

)=(1,1). Podaj wartość krańcowej stopy substytucji dobra 1

R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).

324

przez 2 w punkcie (1,1). Wyznacz koszyk optymalny przy

cenach (p

1

,p

2

)=(1,1) i dochodzie d=10.

4. Czy funkcje: u(x

1

, x

2

) = 2 (x

1

+2x

2

), u(x

1

, x

2

) =log (2 x

1

+4x

2

) dla

(x

1

,x

2

)



(0,0) są funkcjami użyteczności opisującymi relację z

punktu 3.

5. Niech u(x

1

, x

2

) = x

1

+2x

2

. Wyznacz użyteczności krańcowe dobra 1 i

2 w punk

cie (2,1). Wykorzystując wynik podaj KSS

1,2

w punkcie

(2,1).

6. Rozwa

żmy funkcję użyteczności u(x

1

, x

2

) = lnx

1

+2 lnx

2

. Rozwi

ąż

ZMaxU traktuj

ąc ceny i dochód jako parametry.

7. Rozwi

ąż zadanie 6 przy u(x

1

, x

2

) = x

1

+2 lnx

2

.