Ekonomia matematyczna. Wykład 13 R. Rempała. Materiały dydaktyczne

1

Liniowy model duopolu Cournota

(

Por. T. Tokarski Ekonomia Matematyczna . Modele Makroekonomjczne. PWE,Warszawa

2011, 256-269).



Na rynku mamy 2 producentów. Obaj produkują taki
sam produkt.



Funkcje kosztów produkcji są liniowe:
C

i

(y

i

) =c

i

y

i

+ f

i

; c

i

> 0, f

i

> 0 ; i=1,2.

y

i

- wielkość produkcji i-tego producenta.



Zakładamy, że popyt na dobro (zgłaszany przez
konsumentów) jest liniową funkcją ceny p i zapisuje się
y

d

(p) =

.



Produkcja dostosowuje się do popytu:

y

1+

y

2

zatem cena równowagi staje się funkcją zależną od
poziomu y

1+

y

2

i przyjmuje następującą postać:

p(y

1

,y

2

) = p(y

1+

y

2

) =

Niech a

, b

, zatem

p(y

1

,y

2

) = a

– b (y

1+

y

2

)

Założenie1 c

1

< a, c

2

< a

(koszty krańcowe niższe od ceny startu)

Założenie2 Producenci są duopolistami. Mogą sprzedać
całą swoją produkcję dostosowaną do popytu.

Funkcje zysków

1

(y

1,

y

2

) = y

1

p(y

1

,y

2

)

– C

1

(y

1

)

zysk producenta nr 1;

2

(y

1,

y

2

) = y

2

p(y

1

,y

2

)

– C

2

(y

2

)

zysk producenta nr 2.

Ekonomia matematyczna. Wykład 13 R. Rempała. Materiały dydaktyczne

2

Wykorzystując wzory na p

i

oraz C

i

otrzymujemy

1

(y

1,

y

2

) = y

1

[a

– b (y

1+

y

2

)]

c

1

y

1

– f

1

,

2

(y

1,

y

2

) = y

2

[a

– b (y

1+

y

2

)]

c

2

y

2

– f

2

.

Producenci, aby zmaksymalizować swoje zyski, zachowują
się jak gracze i stosują następujące strategie:



producent nr 1 przy produkcji producenta 2 na poziomie

y

2

wybiera taką wielkość y

1

(y

2

), która maksymalizuje

1.



producent nr 2 przy produkcji producenta 1 na poziomie

y

1

wybiera taką wielkość y

2

(y

1

), która maksymalizuje

2.

Pokażemy, że taka strategia prowadzi do punktu równowagi
Cournota tzn do

takiej para (



1

y

,)



2

y

, że

(a)



1

(



1

y

,



2

y

) =

)

y

,

y

(

max

2

1

1

0

1

y







(b)



2

(



1

y

,



2

y

) =

)

y

,

y

(

max

2

1

2

0

2

y







Wyznaczanie optymalnej odpowiedzi producenta (gracza)

przy ustalonym poziomie produkcji konkurenta



Funkcje zysków są funkcjami liniowymi. Możemy
stosować tradycyjne metody rachunku różniczkowego.

1).Ustalamy y

2

. Warunki konieczne i dostateczne

optymalnego wybory

są nastepujące:

a)



b)



< 0

Ekonomia matematyczna. Wykład 13 R. Rempała. Materiały dydaktyczne

3

2) Ustalamy y

1

. Warunki konieczne i dostateczne optymalnego

wybory

dpowiedzi 2 producenta

są następujące:

a)



b)



< 0

Ze względu na założenie b >0, warunki 1b) i 2b są spełnione.
Z rozwiązań równań 1a) i 2a) otrzymujemy następujące
optymalne odpowiedzi producentów nazywane liniami
reakcji

LR

1

:

=

linia reakcji producenta 1

LR

2

:

=

linia reakcji producenta 2

Dla uproszczenia w dalszych rozważaniach opuszczamy *

Rys1

.

Linia reakcji producenta nr.1 Rys2. Linia reakcji producenta nr.2

y

2

LR

1

:

=

y

2

LR

2

:

=

B

1

A

2

A

1

B

2

y

1

y

1

Zauważmy, że odpowiedzią na

jest

Zauważmy, że odpowiedzią na

jest

W szczególności odpowiedzią producenta 1

W szczególności odpowiedzią producenta 2

na wybór producenta 2: y

2

=0 jest na wybór producenta 1: y

1

=0 jest

y

1

=

y

2

=

Punkty A

1

,B

1

– wyznaczają

przecięcia LR

1

Punkty A

2

,B

2

– wyznaczają

przecięcia LR

2

z osiami współrzędnych. z osiami współrzędnych.

Ekonomia matematyczna. Wykład 13 R. Rempała. Materiały dydaktyczne

4

Rys.3 Linie reakcji LR

1

i LR

2

oraz dochodzenie do równowagi

Cournota.
y

2

punkt równowagi Cournota

D

1

A

1

B

2

y

1

Prosta B

1

A

1

,

to LR

1

–linia reakcji pierwszego producenta.

Prosta A

2

B

2

,

to LR

2

–linia reakcji pierwszego producenta.

Niech LR

1

(y) (LR

2

(y))oznacza odpowiedź pierwszego

(drugiego) producenta na y oznaczający poziom produkcji
konkurenta.



Jeżeli spełnione jest założenie

B

1

> A

2

tzn.

>

(por. Rys.3),

to następujący ciąg optymalnych odpowiedzi startujący z
zerowego poziomu produkcji pierwszego producenta:

,

LR

2

(

1

(

,

LR

2

(

,

=

1

(

zbiega do punktu równowagi Cournota.

B

1

A

2

0

D

2

Ekonomia matematyczna. Wykład 13 R. Rempała. Materiały dydaktyczne

5



Taki sam wynik zbieżności otrzymamy dla ciągu
startujacego z zerowego poziomu produkcji drugiego
producenta (na rysunku punkt z punktu A

2

)

Zauważmy, że punkt równowagi jest punktem przecięcia
prostych reakcji LR

1

i LR

2

, zatem jest rozwiązaniem układu

równao liniowych:

=

=

Rozwiązaniem układu jest para (

) gdzie

Dokładne wyznaczenie rozwiązanie zostawiamy jako
dwiczenie.