Ekonomia matematyczna.

Wykład 7-8. R. Rempała. Materiały dydaktyczne

501

Wykład 7-8.

Funkcja kompensacyjnego popytu konsumenta. Teoria produkcji.

Racjonalne zachowanie konsumenta to także minimalizacja

wydatków przy założonym poziomie użyteczności.

Problem minimalizacji wydatków (PMW)

(PMW): (p

1

x

1

+p

2

x

2

+...+p

m

x

m

)



min

przy ograniczeniach

u(x

1

,x

2

,...,x

m

) =

u

x

1



0, x

2



0,...,x

m



0.

p

i

--- cena i-tego dobra,

x

i

---

ilość jednostek i-tego dobra,

u(x

1

,x

2

,...,x

m

) --

użyteczność koszyka,

u

--

ustalony poziom użyteczności

linie jednakowych kosztów

u(x)=

u

m=2, KSS

12

(x

*

) = -p

1

/p

2

Ekonomia matematyczna.

Wykład 7-8. R. Rempała. Materiały dydaktyczne

502

Optymalne rozwiązanie x

*

= (x

*

1

,....,x

*

m

) problemu (PMW)

traktowane jako funkcja cen p=(p

1

,...,p

m

) i poziomów

użyteczności

u

, (

)

(0

u

u



) nazywa się

funkcją

kompensacyjnego popytu.

Twierdzenie

O

współzależności

rozwiązań

problemów

maksymalizacji użyteczności i minimalizacji wydatków.

Jeżeli funkcja użyteczności u:

R

R

m





jest ciągła, rosnąca i

silnie wklęsła, to

(a)

jeśli koszyk x

*

maksymalizuje

użyteczność u przy zadanych

cenach p=(p

1

,...,p

m

).> 0 i dochodzie d > 0 to x

*

minimalizuje

także wydatki przy tych samych cenach p=(p

1

,...,p

m

) i przy

poziomie użyteczności

u

=u(x

*

).

(b)

jeśli x

*

minimalizuje wydatki przy cenach p=(p

1

,...,p

m

) > 0

i ustalonym poziomie użyteczności

u

,

)

(0

u

u



, to x

*

maksymalizuje użyteczność przy tych samych cenach

p=(p

1

,...,p

m

) i przy dochodzie d=p

1

x

*

1

+...+p

m

x

*

m.

Twierdzen

ie o rozwiązaniu optymalnym zadania (PMW)

Jeżeli funkcja użyteczności u:

R

R

m





jest ciągła, rosnąca i

silnie wklęsła, to koszyk x

*

> 0 jest rozwiązaniem (PMW) wtedy i

tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba



*

> 0, że para (x

*

,



*

)

spełnia układ warunków:











x

x

i

x

x

u

|

)

(



*

p

i

, i=1,2,...,m, oraz u(x

*

)=

u

Wniosek. W szczególności mamy

Ekonomia matematyczna.

Wykład 7-8. R. Rempała. Materiały dydaktyczne

503

KSS

1,2

(

x

*

) =

/

|

)

(











x

x

1

x

x

u











x

x

2

x

x

u

|

)

(

)

*

/(

)

*

(

2

1

p

p







= -p

1

/p

2

Przy

kład. Wyznaczyć funkcję kompensacyjnego popytu w

przypadku użyteczności : u(x

1

,x

2

) =

2

1

x

x



PMW: p

1

x

1

+ p

2

x

2



min

przy ograniczeniach

2

1

x

x



=

u

x

1



0, x

2



0.

Stosujemy Twierdzenie











x

x

i

x

x

u

|

)

(



*

p

i

, i=1,2.

u(x

*

)=

u







1

x

)

x

(

u

1

x

2

1

=



*

p

1

1

2

2

1

x

x

p

p









2

x

)

x

(

u

2

x

2

1

=



*

p

2

2

1

x

x



=

u

2

1

x

x



=

u

u

p

x

p

x

p

x

p

x

2

1

1

1

2

1

1

2









u

p

p

p

x

2

1

2

1





)

(

Wynik:

2

1

2

1

p

p

p

u

x







,

2

1

1

2

p

p

p

u

x







.

Ekonomia matematyczna.

Wykład 7-8. R. Rempała. Materiały dydaktyczne

504

Teoria produkcji. Ograniczenia technologiczne.



Firma w działalności produkcyjnej napotyka na bariery. Są

to ogranic

zenia pochodzące od : konsumentów,

konkurentów i technologii.



Zajmujemy się ograniczeniami technologicznymi. Dotyczą

one dostępnych sposobów wytwarzania produktów z

nakładów (czynników produkcji).

nakłady proces produkty

produkcji

Rys.

 Przez proces produkcji

będziemy rozumieli zespół

czynności, które określony wektor nakładów

x = (x

1

,x

2

,...,x

m

)

m

R





przekształcają

na

określony

wektor

wyników

(produktów): y = (y

1

,y

2

,...,y

k

)

k

R





.

x

i

– wielkość nakładu i – tego czynnika produkcji, x

i



0,

y

i

– wielkość produkcji i – tego towaru, y

i



0.

Ekonomia matematyczna.

Wykład 7-8. R. Rempała. Materiały dydaktyczne

505



Zazwyczaj wielkości x

i

, y

i

mierzy się w jednostkach

przepływów, (np. ilość surowca nr i – na tydzień). Dla

uproszczenia pomijamy nazwy jednostek.

Procesowi produkcji przypisujemy technicznie wykonalne plany

produkcji z = (x,y) gdzie x = (x

1

,x

2

,...,x

m

)

m

R





jest wektorem

nakładów a y = (y

1

,y

2

,...,y

k

)

k

R





możliwym wektorem wyników.



Zbiór Z technicznie wykonalnych planów produkcji

nazywamy zbiorem produkcyjnym.

Uproszczenie

. Zakładamy, że

a) rozważamy proces produkcyjny z jednym produktem; k =1.

b) zbiór dopuszczalnych nakładów jest zbiorem

m

R



, Firma

zainteresowana jest maksymalną ilością produktu możliwą do

uzyskania z danej ilości nakładów.

 Niech f:

1

m

R

R







oznacza odwzorowanie (funkcję), która

każdemu

wektorowi

nakładów

x=(x

1

,x

2

,...,x

m

)

przyporządkowuje

maksymalną,

możliwą

wielkość

produkcji y

Ekonomia matematyczna.

Wykład 7-8. R. Rempała. Materiały dydaktyczne

506



Innymi słowy y = f(x

1

,x

2

,...,x

m

) wyraża maksymalną

wielkość produkcji y jaką można osiągnąć z nakładów

(x

1

,x

2

,...,x

m

).



Funkcję f nazywamy skalarną funkcją produkcji.

Przykłady skalarnych funkcji produkcji dla : m=2

a) f(x

1

, x

2

)=min (x

1

,x

2

);

b) f(x

1

, x

2

)= a x

1

+ b x

2

, a, b są dodatnimi stałymi;

c) f(x

1

, x

2

)= A

b

2

a

1

x

x

, A, a, b są dodatnimi stałymi.

Funkcja c) jest funkcją Cobba– Douglassa. Dodatkowy

parametr A wyraża tu skalę produkcji. (f(1,1) = A).

Standardowe założenia o funkcji produkcji

Oznaczenie int

m

R



= {x=( x

1

,x

2

,...,x

m

): x

1

>0, x

2

>0, ...,x

m

>0}.

Założenia są podobne do tych, które odnosiły się do funkcji

użyteczności.

(F1) f:

1

m

R

R







j

est ciągła i dwukrotnie różniczkowalna na

int

m

R



.

Prz

pominamy f jest dwukrotnie różniczkowalna jeśli wszystkie

pochodne drugiego rzędu istnieją i są ciągłe

( tzn.

)

)

(

(

i

j

x

x

f

x









i,j

}

,...,

,

{

m

2

1



są funkcjami ciągłymi na

int

m

R



)

(F2) f(0,0,...,0) = 0.

(F3) Funkcja f jest rosnąca na int

m

R



, tzn.

dla każdej pary x

1

,x

2

; ( x

1



x

2

, x

1



x

2

)



f(x

1

) > f(x

2

).

Ekonomia matematyczna.

Wykład 7-8. R. Rempała. Materiały dydaktyczne

507

(F4) Funkc

ja f jest wklęsła na int

m

R



, tzn.

dla każdej pary x

1

,x

2

, i każdego





[0,1],

f(

2

1

x

)

1

(

x









)

)

x

(

f

)

1

(

)

x

(

f

2

1











.

(F5) Funkcja f jest dodatnio jednorodna stopnia

0





,

tzn dla

każdego x

0

i

R

m









,

f(











,...,

,

(

)

2

1

x

x

f

x

x

m

) =

)

(x

f





.

Komentarz

Ad(F1) Małe zmiany nakładów powodują małe zmiany wyników.

Ad (F2) Zerowym nakładom odpowiadają zerowe wyniki.

Ad (F3) Wzrost nakładów powoduje wzrost produkcji.

Ad(F4)

i

2

i

2

x

x

f

0

x

x

f













)

(

)

(

jest funkcją nierosnącą (nierosnąca

produktywność krańcowa i-tego czynnika).

Ad (F5)

a)

1





,

0





, f(

)

(

)

x

f

x







------

spełniony jest

postulat proporcjonalnych przychodów ze skali.

b) 0 <



< 1;

1





f(

)

(

)

x

f

x









<



f(x) ---------

spełniony jest postulat

malejących przychodów ze skali.

c)

,

,

1

1









f(

)

(

)

x

f

x









>



f(x) ---------

spełniony jest postulat

rosnących przychodów ze skali.

Ekonomia matematyczna.

Wykład 7-8. R. Rempała. Materiały dydaktyczne

508

Krańcowa produktywność i-tego czynnika

Pochodna

i

m

2

1

m

i

i

1

0

x

i

0

x

i

x

x

x

x

f

x

x

x

x

f

x

x

f

x

x

f

i

i





























)

,...,

,

(

)

,...,

,...,

(

lim

)

(

lim

)

(

wyraża krańcową produktywność i-tego czynnika.

Izokwanty

Izokwantą produkcji na poziomie y

0

nazywamy zbiór

wsz

ystkich nakładów x, którym odpowiada ten sam poziom

produkcji y

0

.

Formalny zapis: Izokwanta={x

0

y

x

f



)

(

:

}

Przykład: f(x

1

, x

2

) = x

1

x

2

.

x

2

x

1

Izokwanty: x

1

x

2

.= y

0,

y

0

> 0.

Współczynnik nachylenia izokwanty w punkcie x do osi x

1

(x

2

) nazywa się krańcową techniczną stopą substytucji

(KTSS) pierwszego (drugiego) czynnika przez drugi

(pierwszy).

Ekonomia matematyczna.

Wykład 7-8. R. Rempała. Materiały dydaktyczne

509

W przykładzie KTSS

1,2

(2,2) = -

1

4

4

x

4

2

1









Inny sposób liczenia

-





































)

,

(

)

,

(

|

)

(

/

|

)

(

2

2

x

2

2

2

x

1

x

x

f

x

x

f

=







2

2

1.

Ogólnie:

Krańcowa techniczna stopa substytucji (KTSS)

i-tego

czynnika przez j-ty w punkcie x, to iloraz:

j

i

x

x

f

x

x

f











)

(

/

)

(

.

Ćwiczenia Zestaw 4.

Funkcja produkcji dana jest wzorem C-D:

f(x

1

,x

2

)=2

4

1

2

2

1
1

x

x

/

/

.

1.

Określić stopień jednorodności.

2.

Określić produktywność krańcową czynnika 1(2) w punkcie

(4,4).

3.

Wyznaczyć izokwantę przechodzącą przez punkt (4,1).

4.

Wyznaczyć krańcową techniczną stopę substytucji

pierwszego czynnika przez drugi w punkcie (4,4)

KTSS

1,2

(4,4).

Ad 1. f(



x

1

,



x

2

)=2(



x

1

)

1/2

(



x

2

)

1/4

=

4

/

1

2

2

/

1

1

4

/

3

2

x

x



=

=

4

/

3



f(x

1

, x

2

).

Stopień jednorodności wynosi

4

3

/





.

Ekonomia matematyczna.

Wykład 7-8. R. Rempała. Materiały dydaktyczne

510

Ad 2.

2

1
1

4

1

2

4

1

2

2

1
1

1

x

x

x

x

1

2

1

2

x

x

f

/

/

/

/

)

(















4

3
2

2

1
1

2

1
1

4

3
2

2

x

2

x

x

x

1

4

1

2

x

x

f

/

/

/

/

)

(















2

1

4

1

4

4

x

1

4

4

x

x

f

/

/

)

,

(

|

)

(









=

2

2

,













4

3

2

1

4

4

x

2

4

2

4

x

x

f

/

/

)

,

(

|

)

(

2

3

2

1

/

.

Produkt

ywność krańcowa: czynnika pierwszego

wynosi 2

-1/2

, czynnika drugiego 2

-3/2

Ad 3 Izokwanta={ x

2

R





: 2

4

1

2

2

1
1

x

x

/

/

= y

0

}

Dla izokwanty przechodzącej przez punkt (4,1)

parametr y

0

wynosi 2

4

1/2

1

1/4

= 2

2 1=4. Zatem

poszukiwana izokwanta, to { x

2

R





: 2

4

1

2

2

1
1

x

x

/

/

= 4}.

Ad 4.

-





































)

,

(

)

,

(

|

)

(

/

|

)

(

4

4

x

2

4

4

x

1

x

x

f

x

x

f

=

-







2

3

2

1

2

2

/

/

-2.

Inny sposób:

Izokwanta przechodząca przez (4,4) ma parametr

y

0

=2

4

1/2

4

1/4

= 4

2

.

Równanie odpowiadającej izokwanty, to

x

2

= (y

0

)

4

/ (2

2

1
1

x

/

)

4

= 4

4

( 2 )

4

./ (16

2

1

x

)=4

4

./ (4

2

1

x

)=4

3

/

2

1

x



1

2

dx

dx

2

4

4

2

x

4

2

3

3

3

1

3

















.

Ekonomia matematyczna.

Wykład 7-8. R. Rempała. Materiały dydaktyczne

511

Odp. KTSS

1,2

(4,4) =

2



.

Podmioty gospodarcze. Motywacja działań



Konsumenci, przy wyborach koszyków konsumpcyjnych, kierują

się maksymalizacją użyteczności lub minimalizacją wydatków.



Motywacją działania producentów jest maksymalizacja zysków

lub minimalizacja kosztów produkcji.

Przedsiębiorstwo w warunkach konkurencji

doskonałej

Zakładamy, że

1. Proces produkcji opisuje skalarna funkcja produkcji

spełniająca założenia

a) standardowe warunki: F1-F3.

b) warunek F4 w silniejs

zej wersji F4’ (ścisła

wklęsłość)



F4’: dla każdej pary x

1

,x

2

, i każdego





[0,1]

,

f

(

2

1

x

1

x

)

(









)

)

(

)

(

)

(

2

1

x

f

1

x

f











.

c)

założenie F5 jest spełnione z parametrem

jednorodności stopnia

).

,

( 1

0





2.

Przedsiębiorstwo nie ma wpływu na ceny produktu

ani na ceny czynników produkcji.

3.

Nie ma kłopotów ze zbytem produktu.

Ekonomia matematyczna.

Wykład 7-8. R. Rempała. Materiały dydaktyczne

512

4. Celem

jest

maksy

malizacja

zysków

lub

minimalizacja kosztów produkcji.

S

trategie długo i krótkookresowe.



W

pierwszym

przypadku

zakładamy,

że

przedsiębiorstwo ma nieograniczona swobodę w

wyborze wielkości i struktury czynników produkcji.

W drugim-

występują o graniczenia.

Strategia długookresowa. Maksymalizacja zysku.

(SDMZ)

Model uproszczony :1-produkt i 1- czynnik produkcji.

Problem optymalizacyjny (SDMZ1-

1) przybiera postać

(SDMZ1-1)



(x) = pf(x)

– vx



max

x

0



p --- ustalona cena rynkowa produktu,

v ---- ustalona cena rynkowa czynnika,



(x) ---- zysk firmy (funkcja celu),

p f(x).----

przychody ze sprzedaży,

v x ----

koszt nakładu.

Ekonomia matematyczna.

Wykład 7-8. R. Rempała. Materiały dydaktyczne

513

Poszukiwanie optymalnego czynnika produkcji w

zadaniu SDMZ1-1.

Niech y oznacza wielkość produktu końcowego.

Niech



> 0 oznacza ustalony zysk

Zbiór {(x,y):



= py

– vx } opisuje linię jednakowego zysku.

Współczynnik nachylenia linii do osi x wynosi

p

v

.

y y = f(x)

linie jednakowego zysku

Rys. X

Linie z wyższymi poziomami zysku wyżej przecinają oś y.

W punkcie x funkcja produkcji n

apotyka najwyżej położoną linię

zysku. Zatem

p

v

dx

x

df

x

x





|

)

(

Wniosek.

W punkcie optymalnego wyboru czynnika produkcji (w

przypadku optimum wewnętrznego) wartość krańcowej

produkcyjności czynnika jest równa cenie czynnika

tzn.

v

dx

x

df

p

x

x





|

)

(

Ekonomia matematyczna.

Wykład 7-8. R. Rempała. Materiały dydaktyczne

514

Okazuje się, że podobną własność mają optymalne wybory

przy uwzględnieniu wielu czynników produkcji.

PROBLEM (SDMZ1-m) -

strategia długookresowa

maksymalizacja zysków, 1produkt, m czynników

(SDMZ1-m):



(x) = pf(x)

– (v

1

x

1

+.v

2

x

2

+...+v

m

x

m

)



max

x

i

0



, i =1,2,...m.

Przypominamy

p

– cena produktu końcowego,

x = (x

1

,x

2

,...,x

m

)

– wektor nakładów,

f(x) = ilość wytworzonego produktu przy nakładach opisanych

wektorem x,

v = (v

1

,v

2

,...,v

m

)

– wektor cen poszczególnych nakładów

(czynników produkcji).

Twierdzenie 1 (O optymalnym wyborze nakładów w

problemie

(SDMZ1-m))

ZAŁOŻENIE

.

A. Funkcja produkcji spełnia warunki

wymienione w punkcie 1 na str.511.

B. Ceny p, v

1

,v

2

,...,v

m

spełniają warunek

m

2

1

i

x

x

f

p

v

x

x

f

p

i

0

x

i

i

x

i

i

,...,

,

)

(

lim

)

(

lim





















TEZA. Zadanie (SDMZ1-

m) ma dokładnie jedno rozwiązanie

x = (x

1

,x

2

,...,x

m

) >0 dla którego



(x) > 0, a warunkiem

koniecznym i dosta

tecznym optymalności jest spełnienie

równań:

Ekonomia matematyczna.

Wykład 7-8. R. Rempała. Materiały dydaktyczne

515

(*)

m

2

1

i

v

x

x

f

p

i

x

x

i

,...,

,

|

)

(











.

Uwagi do Twierdzenia 1

a)

Rozwiązanie zadanie (SDMZ1 - m) sprowadza się do wyznaczenia

wektora x = (x

1

,x

2

,...,x

m

), który spełnia równania (*)

.

b)

(*) oznacza, że przy optymalnym wyborze zysk firmy nie może być

powiększony przez zmianę poziomu któregokolwiek nakładu.

Zadanie. (Przykład wykorzystania Twierdzenia 1 )

Funkcja produkcji dana jest wzorem C-D: f(x

1

,x

2

) = 2

4

1

2

2

1
1

x

x

/

/

Znaleźć optymalne wielkości nakładów przy cenach p, v

1

,v

2

spełniających założenie B Twierdzenia 1.

Uwaga 1.

Funkcje typu C-

D spełniają warunki 1 ze str.511.

Można zatem wykorzystać tezę Twierdzenia do wyznaczenia

wektora optymalnych nakładów.

1

x

x

1

v

x

x

f

p









|

)

(

1

4

/

1

2

2

/

1

1

v

x

x

2

1

2

p







2

x

x

2

v

x

x

f

p









|

)

(

2

4

/

3

2

2

/

1
1

v

x

x

4

1

2

p







Mnożąc strony pierwszej równości przez x

1,

a drugiej przez x

2

otrzymujemy:

Ekonomia matematyczna.

Wykład 7-8. R. Rempała. Materiały dydaktyczne

516

2

2

4

1

2

2

1
1

1

1

4

1

2

2

1
1

x

v

x

x

2

p

x

v

x

x

p





/

/

/

/

Dzieląc równości stronami mamy

2

2

1

1

x

v

x

v

2



Z osta

tniej nierówności wynika, że

1

2

2

1

v

x

v

2

x



Podstawiając tę wartość do podkreślonego wzoru mamy:

2

4

3

2

2

1

1

2

2

v

x

v

x

v

2

2

p

















/

/

, a więc

1

x

v

v

2

2

p

4

1

2

2

1
1

2

1

2

2

1





/

/

/

/

, czyli

4

1

2

2

1
1

2

1

2

2

1

x

v

v

2

2

p

/

/

/

/



,

Podnosząc stronami do potęgi 4 otrzymujemy

,

2

2

1

2
2

4

2

4

x

v

v

2

2

p



a więc

2

1

2
2

2

4

2

v

v

2

p

x



.

Podstawiając ostatni

wynik do wzoru na x

1

uzyskujemy:

2

3

1

4

2
2

2

1

2

4

1

2

2

1

2

1

v

v

2

p

v

v

2

p

v

v

2

x

v

v

2

x







.

Odpowiedz. Dla ustalonych cen: p, v

1

, v

2

optymalnym

wyborem czynników produkcji jest :

2

3

1

4

1

v

v

2

p

x



,

2

1

2
2

4

2

v

v

4

p

x



.

Ekonomia matematyczna.

Wykład 7-8. R. Rempała. Materiały dydaktyczne

517

Zauważmy, że

a.

optymalny wybór zależy od cen, a otrzymana

postać pozwala śledzić ten wpływ,

b. zmiana skali cen nie zmienia wyboru.

Powrót do PROBLEMU (SDMZ1-m)

(

strategia długookresowa maksymalizacja zysków, 1produkt, m czynników)

Optym

alny wybór czynników produkcji traktowany jako funkcja

cen: p, v = (v

1

,v

2

,...,v

m

) nazywa się funkcją produkcyjnego

popytu.

Zatem

x(p,v)=(x

1

(p,v),x

2

(p,v),...,x

m

(p,v))

–funkcja

produkcyjnego

popytu na czynniki produkcji.

Zauważmy, że naturalne jest przyjęcie następującego

nazewnictwa:

y(p,v)= f(x(p,v))

funkcja podaży produktu

końcowego.

)]

,

(

...

)

,

(

)

,

(

[

))

,

(

(

)

,

(

v

p

x

v

v

p

x

v

v

p

x

v

v

p

x

pf

v

p

m

m

2

2

1

1













funkcja optymalnego zysku.

Zadanie 2. Posługując się funkcją produkcyjnego popytu z

Zadania1 wyznaczyć funkcje podaży i zysku.

a)

y(p,v) = f(x(p,v))=2

4

1

2

2

1

1

v

p

x

v

p

x

/

/

))

,

(

(

))

,

(

(

=

Ekonomia matematyczna.

Wykład 7-8. R. Rempała. Materiały dydaktyczne

518

2

4

1

2
2

2

1

4

2

1

2

3

1

4

v

v

4

p

v

v

2

p

/

/

























=

2

2

1

3

v

v

p

funkcja podaży,

b)

)]

,

(

)

,

(

[

))

,

(

(

)

,

(

v

p

x

v

v

p

x

v

v

p

x

pf

v

p

2

2

1

1









=

p

2

2

1

3

v

v

p

--

(



2

3

1

4

1

v

v

2

p

v

2

1

2
2

4

2

v

v

4

p

v

)

=

)

(

4

1

2

1

1

v

v

p

2

2

1

4





.

funkcja optymalnego zysku.