Elementy teorii szeregów Fouriera

Definicja. Szeregiem trygonometrycznym nazywamy szereg funkcyjny postaci

(

)

0

1

1

cos

sin

2

n

n

n

a

a

nx b

nx

∞

=

+

+

∑

(

, gdzie a b

.

)

∗

,

n

n

∈ \

Zał, że szereg trygonometryczny

(

jest zbieżny jednostajnie,

jest sumą tego szeregu, jest

R-całkowalna. Wtedy

.

)

∗

a

π

( )

f x

sin

n

n

b

n

f

( )

0

1

cos

n

f x dx

a

nx dx

x dx

π

π

π

π

π

π

∞

=

−

−

−





=

+

+









∑

∫

∫

∫

Lemat.

.

0

cos

sin

0

n

n

n

a

nx dx

b

nx dx

π

π

π

π

>

−

−

∀

+

∫

∫

=

Uwaga. Dla

,

.

0

n

=

sin

0

nx dx

π

π

−

=

∫

cos

2

nx dx

π

π

π

−

=

∫

Wniosek.

( )

( )

0

0

1

f x dx

a

a

f x dx

π

π

π

π

π

π

−

−

=

⇒

=

∫

∫

.

Lemat. (1)

;

,

0

cos

cos

n m

n m

nx

mx dx

n m

π

π

π

∈

−

∧ ≠



∀

= 

∧ =



∫

`

(2)

;

,

sin

cos

0

n m

nx

mx dx

π

π

∈

−

∀

=

∫

`

(3)

n m

.

,

0

sin

sin

n m

nx

mx dx

n m

π

π

π

∈

−

∧ ≠



∀

= 

∧ =



∫

`

Wniosek. Jeżeli

jest sumą jednostajnie zbieżnego szeregu trygonometrycznego, to

( )

f x

( )

cos

x

1

n

n

a

f

n

π

π

π

∈

−

∀

=

∫

`

x dx , oraz

( )

1

sin

n

n

b

f x

n

π

π

π

∈

−

∀

=

∫

`

x dx .

Definicja. Zał, że jest R-całkowalna,

są zdefiniowane powyższymi wzorami. Wtedy szereg

f

,

n

n

a b

(

)

0

1

1

cos

sin

2

n

n

n

a

a

nx b

nx

∞

=

+

+

∑

nazywamy szeregiem Fouriera dla .

f

Uwaga. Nie każda funkcja jest sumą swojego szeregu Fouriera, ponieważ suma szeregu jest
okresowa.

f

Twierdzenie. Zał, że

są ciągłe, oraz ma stały znak. Wtedy

.

[ ]

, : ,

f g a b

→ \

( ) ( )

b

b

a

a

f c

g x dx

=

∫

∫

g

[ ]

( ) ( )

,

c a b

f x g x dx

∈

∃

Twierdzenie. Zał, że

są ciągłe,

, oraz jest monotoniczna. Wtedy

.

[ ]

, : ,

f g a b

→ \

( ) ( )

b

c

a

a

g a

f x dx

∫

∫

1

g C

∈

)

b

c

f x dx

∫

g

[ ]

( ) ( )

( ) (

,

c a b

f x g x dx

g b

∈

∃

=

+

Lemat (1)

0

sin

lim

0

b

a b n

a

nx

dx

x

< <

→∞

∀

=

∫

;

1

(2)

0

sin nx

dx

x

∞

∫

jest zbieżna;

(3)

0

0

0

sin

sin

lim

n

n

nx

x

dx

dx

x

x

∞

∞

>

→∞

∀

=

∫

∫

;

(4) Niech

( )

1

sin

n

n

n

nx

I

d

x

π

π

+

=

∫

x . Wtedy

0

0

sin

n

n

nx

dx

I

x

∞

∞

=

=

∑

∫

,

jest naprzemienny, oraz

0

n

n

I

∞

=

∑

li

;

Wniosek.

m

0

n

n

I

→∞

=

0

0

0

sin

sin

a

n

nx

x

dx

dx

x

x

π

>

∀

≤

∫

∫

,

0

0

0

sin

s

a

a

nx

dx

π

>

∀

≤

∫

∫

in x

dx

x

x

.

(5) Zał, że

jest ciągła. Wtedy l

;

[ ]

: ,

f

a b

→ \

( )

( )

im

cos

0 lim

sin

b

b

n

n

a

a

f x

nxdx

f x

nxdx

→∞

→∞

= =

∫

∫

(6)

sin

2

b

a

nx

dx

x

π

=

∫

.

Twierdzenie. Zał, że ,

,

i monotoniczna. Wtedy

0

a

>

[ ]

: ,

f

a b

→ \

1

f

C

∈

( )

sin

m

2

b

n

a

nx

f x

dx

x

π

→∞

=

∫

li

, a

( )

sin

b

a

nx

f x

dx

x

∫

to całka Dirichleta.

Wniosek. Zał, że ,

jest funkcją przedziałami monotoniczną i przedziałami klasy

. Wtedy:

0

a

>

[ ]

: ,

f

a b

→ \

1

C

(1)

( )

( )

0

sin

m

lim

2

b

n

x

a

nx

f x

dx

f x

x

π

+

→∞

→

= ⋅

∫

li

; (2)

( )

( )

0

sin

lim

0

sin

2

a

n

nx

f x

dx

f

x

π

+

→∞

=

∫

.

Twierdzenie. Zał, że jest funkcją o okresie

, przedziałami monotoniczną i przedziałami klasy

. Jeżeli dla każdego punktu nieciągłości funkcji spełniony jest warunek

f

2

π

1

C

x

f

( )

( )

(

1

0

0

2

f x

f

f

−

=

( )

+

+

)

. Wtedy funkcja rozwija się w szereg Fouriera.

f

2