II EA Podstawy robotyki – laboratorium

I SERIA

1. Obliczenia symboliczne w robotyce

– SYMBOLIC TOOLBOX MATLABa

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z możliwościami wspomagania

analizy podstawowych zagadnień robotyki (kinematyka, dynamika) za pomocą
obliczeń symbolicznych na przykładzie przybornika Symbolic Toolbox pakietu
Matlab. Program ćwiczenia obejmuje deklaracje i definicje zmiennych sym-
bolicznych, w ogólnym przypadku tablicowych, wykonywanie podstawowych
działań na tych zmiennych, symboliczne różniczkowanie i całkowanie, sym-
boliczne rozwiązywanie równań, upraszczanie wyrażeń wynikowych oraz
wyznaczanie wartości liczbowych wyrażeń symbolicznych.

1. Zadeklarować odpowiednie zmienne symboliczne i utworzyć zmienną tablico-

wą M nadając jej wartość

M =

[

cos(θ

1

+

θ

2

) −

sin(θ

1

+

θ

2

)

z cos (θ

1

+

θ

2

)

sin(θ

1

+

θ

2

)

cos (θ

1

+

θ

2

)

z sin(θ

1

+

θ

2

)

0

0

1

]

.

2. Wyznaczyć determinant i odwrotność macierzy M. Wykonać kilka elementar-

nych operacji symbolicznych na zmiennej M (np. mnożenie macierzy M przez
siebie lub swoją odwrotność). Wykonać różniczkowanie i całkowanie zmien-
nej M względem θ

1

i θ

2

(

diff

,

int

).

3. Przyjmując, że zmienne θ

1

, θ

2

są funkcją pewnego parametru

t

θ

1

=

θ

1

(

t )

θ

2

=

θ

2

(

t ) , wykonać różniczkowanie zmiennej M względem parametru

t

(różniczkowanie funkcji złożonej).

4. Spróbować przedstawić otrzymane wyniki w postaci możliwie najprostszej –

funkcja

simplify

.

5. Wyznaczyć wartości liczbowe zmiennej M dla wybranych wartości para-

metrów θ

1,

θ

2

Przyjmując wartość parametru θ

1

=

0 oraz θ

2

z przedziału

〈

0, 2π 〉 wykreślić przebieg ostatnich elementów pierwszego i drugiego

wiersza (M(1,3) , M(2,3)) w funkcji θ

2

.

6. Korzystając z funkcji

solve

rozwiązać symbolicznie równanie trygono-

metryczne

a cos (α)=b

traktując α jako niewiadomą.

7. (nieobowiązkowe) Napisać funkcję, której argumentami będą dowolna

zmienna symboliczna tablicowa M (o wymiarze 3x3) i wektory kolumnowe
wartości numerycznych zmiennych θ

1,

θ

2

. Funkcja powinna zwracać

wektory kolumnowe wartości numerycznych elementów M(1,3) i M(2,3)
odpowiadających wartościom zmiennych θ

1,

θ

2

. Np.:

function [x,y]=position(M,theta1,theta2).

8. (nieobowiązkowe) Rozwiązać symbolicznie układ równań trygonometrycz-

nych

a cos (α)+b cos(β)=d

1

a sin(α)+bsin (β)=d

2

9. Opisać zrealizowane punkty ćwiczenia w sprawozdaniu. Podać własne

spostrzeżenia i wnioski.