Wprowadzenie do fizyki

Mirosław Kozłowski

Mirosław Kozłowski

rok akad. 2002/2003

Część 1b

Dynamika punktu

materialnego w jednym

materialnego w jednym

wymiarze

Koniec
pokazu

Dynamika punktu materialnego

w R

1

cz. b

Slajd podsumowania

3

1.8 Ruchy harmoniczne

1.9 Podsumowanie. Dynamika punktu

materialnego w jednym wymiarze

Linki do stron WWW

Hyper Physics

Astronomy Picture of the Day

Space Photos and Images

1.8 Ruchy harmoniczne

Piękna muzyka stanowi jedno
z najgłębszych doznań estetycznych
człowieka. Począwszy od Pitagorasa ludzie
starają się zrozumieć na czym polega
piękno słuchanych utworów.

Ruchy w R1

5

piękno słuchanych utworów.

Na razie wystarczy, jeżeli powiemy, że
powstanie doznań muzycznych jest
złożonym procesem psychofizycznym,
którego główna część przebiega w naszym
mózgu.

,

kx

F

−

=

Zajmiemy się teraz elementarnym
procesem drgań harmonicznych źródeł
dźwięku.

Szarpnięta struna drga zgodnie z
prawem Hooke’a:

Ruchy w R1

6

,

kx

F

−

=

gdzie F jest siłą przyłożoną do struny,
a x wychyleniem struny z położenia
równowagi.

Zgodnie z II zasadą dynamiki

,

2

2

kx

dt

x

d

m

F

−

=

=

k = moduł sprężystości; stały,
czyli

2

x

d

Ruchy w R1

7

czyli

,

0

2

2

2

=

+

x

dt

x

d

ω

gdzie

.

2

m

k

=

ω

Wzór w ramce jest podstawowym wzorem
opisującym drgania harmoniczne.
Dlaczego drgania? Bo jak łatwo sprawdzić:

( )

t

A

t

x

ω

sin

=

Ruchy w R1

8

lub ogólnej

( )

.

cos

sin

t

B

t

A

t

x

ω

ω

+

=

A więc podsumowując, mamy:

.

cos

sin

,

0

2

2

2

t

B

t

A

x

x

dt

x

d

ω

ω

ω

+

=

=

+

Ruchy w R1

9

.

cos

sin

t

B

t

A

x

ω

ω

+

=

Wzór w ramce opisuje ruch szarpniętej struny
lub ogólniej ruch oscylatora harmonicznego
(który drga ze stałą częstością

ω

).

Jeżeli struna jest stale „szarpana” z siłą F(t)
oraz drga w ośrodku (w powietrzu), które
stawia opór –cdx/dt (c = stała) to równanie
drgań struny ma bardziej skomplikowaną
postać:

( )

2

dx

x

d

Ruchy w R1

10

( )

.

2

2

t

F

dt

dx

c

kx

dt

x

d

m

=

+

+

Prawo
Newtona

Prawo
Hooke’a

Opór
ośrodka

Siła
zewnętrzna

Aby elegancko rozwiązać to równanie, tzn.
znaleźć x(t) musimy poznać funkcję
eksponencjalną e

t

oraz liczby zespolone.

Dodatek matematyczny

Ruchy w R1

11

Dodatek matematyczny

Ile wynosi pochodna funkcji a

t

, gdzie a jest

dowolną stałą?

Pochodna funkcji eksponencjalnej

Rozważmy funkcję:

( )

( )

,

ln

ln

,

a

t

t

y

a

t

y

t

=

=

Ruchy w R1

12

( )

( )

[

]

( )

.

1

ln

ln

,

ln

ln

dt

dy

y

dt

dy

dy

t

y

d

dt

t

y

d

a

t

t

y

=

=

=

Z drugiej strony

( )

[

]

[

]

.

ln

ln

ln

a

a

t

dt

d

dt

t

y

d

=

=

A więc

1 dy

Ruchy w R1

13

.

ln

ln

,

ln

1

a

a

a

y

dt

dy

a

dt

dy

y

t

=

=

=

czyli

[ ]

.

ln a

a

a

dt

d

t

t

=

Funkcję eksponencjalną definiują podstawy

Ruchy w R1

14

Funkcję eksponencjalną definiują podstawy
logarytmu naturalnego. Szukamy a, dla
którego

.

,

1

ln

1

a

e

a

e

a

=

=

→

=

Dla funkcji eksponencjalnej

[ ]

t

t

t

e

e

e

e

dt

d

=

=

ln

oraz

Ruchy w R1

15

oraz

[ ]

t

t

n

n

e

e

dt

d

=

dla dowolnego naturalnego n.
Co za wspaniała funkcja!

Ruchy w R1

16

Sherman K. Stein, Calculus and Analitic Geometry, McGraw-Hill 1987

Rozważmy ponownie równanie ruchu
oscylatora harmonicznego swobodnego,
dla dowolnej funkcji y(t):

( )

( )

.

0

2

2

2

=

+

t

y

dt

t

y

d

ω

(5)

Ruchy w R1

17

dt

Z następującymi warunkami początkowymi:

( )

,

2

,

0

0

0

=

=

=

=

t

t

t

y

dt

dy

( )

( )

( )

,

sin

2

cos

,

sin

cos

,

2

0

,

cos

sin

−

=

−

=

=

=

+

=

t

t

A

t

dy

t

B

t

A

dt

t

dy

B

y

t

B

t

A

y

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

Ruchy w R1

18

( )

.

0

0

0

,

sin

2

cos

=

=

=

−

=

A

A

t

t

t

A

dt

t

dy

ω

ω

ω

ω

ω

( )

.

cos

2

t

t

y

ω

=

Z drugiej strony rozwiązanie równania (5) możemy
przedstawić tak (pamiętamy ):

( )

( )

t

y

dt

t

y

d

n

n

=

Stąd:

,

,

0

2

2

ω

α

ω

α

i

±

=

=

+

Ruchy w R1

19

,

,

0

ω

α

ω

α

i

±

=

=

+

gdzie = jednostka urojona
i ogólne rozwiązanie równania (5) ma postać:

1

−

=

i

( )

.

t

i

t

i

e

e

t

y

ω

ω

−

+

=

Bo, sprawdzając otrzymujemy:

( )

( )

( )

,

,

2

0

−

=

=

−

t

i

t

i

e

i

e

i

dt

t

dy

y

ω

ω

ω

ω

Ruchy w R1

20

( )

.

0

0

=

=

t

dt

t

dy

dt

A więc zgodnie z warunkiem początkowym.

Stąd wniosek:
(Leonard Euler w liście do Johna
Bernoulliego, October 18, 1740, Bazylea)

,

cos

2

t

i

t

i

e

e

t

ω

ω

ω

−

+

=

Ruchy w R1

21

.

2

cos

,

cos

2

t

i

t

i

e

e

t

e

e

t

ω

ω

ω

ω

−

+

=

+

=

Korzystając z równości

t

t

ω

ω

2

cos

1

sin

−

=

otrzymujemy:

,

2

sin

t

i

t

i

i

e

e

t

ω

ω

ω

−

−

=

Ruchy w R1

22

2

cos

2

t

i

t

i

e

e

t

i

ω

ω

ω

−

+

=

(ważny i bardzo przydatny wzór),

oraz

.

2

sin

cos

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

e

e

e

e

e

t

i

t

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

=

−

+

+

=

+

−

−

Ruchy w R1

23

2

.

sin

cos

t

i

t

e

t

i

ω

ω

ω

±

=

±

Strona z zeszytu nastoletniego R. Feynmana

,

z książki J. Gleicka, Genius, wyd. Abacus, London, 1992

Teraz wracamy do ogólnego równania struny:

(

)

.

0

θ

ω

+

=

+

+

t

i

e

F

x

c

kx

x

m

&

&

&

Rozwiązania szukamy w postaci:

Ruchy w R1

25

(

)

,

δ

ω

+

=

t

i

Ae

x

A nie zależy od czasu.

Oznaczenie

.

Φ

=

−

δ

θ

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

.

,

0

2

0

2

Φ

+

+

+

+

+

=

+

+

−

=

+

+

+

−

δ

ω

θ

ω

δ

ω

δ

ω

δ

ω

ω

ω

ω

ω

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

e

A

F

ci

k

m

e

F

e

Aci

kAe

e

mA

Ruchy w R1

26

Oznaczenie

.

Φ

=

−

δ

θ

(

)

.

sin

,

cos

,

sin

cos

0

0

2

0

2

Φ

=

Φ

=

+

−

Φ

+

Φ

=

+

+

−

A

F

c

A

F

k

m

i

A

F

ic

k

m

ω

ω

ω

ω

,

,

2

2

2

ω

ω

ω

ω

ω

=

−

=

−

=

Φ

k

m

k

m

c

m

k

c

tg

Ruchy w R1

27

.

2

,

2

2

0

2

0

ω

ω

ω

γ

ω

−

=

Φ

=

tg

m

k

(

)

( )

( )

( )

(

)

,

1

,

2

0

2

2

2

2

0

2

2

2

0

2

2

2

ω

ω

ω

ω

ω

=

=

−

+

=

=

+

−

F

m

k

c

F

A

A

F

c

m

k

Ruchy w R1

28

( )

(

)

(

)

.

2

1

,

2

2

2

0

2

2

2

0

2

2

2

2

2

ω

ω

ω

γ

ω

ω

ω

−

+

=













−

+













=

m

F

A

m

k

m

c

m

Amplituda drgań ma maksimum dla częstości
drgań siły wymuszającej:

.

2

2

2

0

γ

ω

ω

−

=

r

(Proszę to sprawdzić!)

Wartość amplitudy dla

2

2

0

2

γ

ω

ω

−

=

r

Ruchy w R1

29

Wartość amplitudy dla
równa się:

0

2

γ

ω

ω

−

=

r

(

)

[

]

.

2

2

1

2

2

0

0

γ

ω

γ

ω

ω

−

=

=

m

F

A

r

Na szczęście
W przeciwnym przypadku
Nieskończona amplituda drgań oznacza katastrofę
dla dowolnych układów drgających.
Wszystko uległoby zniszczeniu.
W związku z tym wróćmy na chwilę do wzoru

.

0

≠

γ

( )

!

∞

→

ω

A

Ruchy w R1

30

W związku z tym wróćmy na chwilę do wzoru
określającego amplitudę drgań:

( )

(

)

(

)

.

2

1

2

2

2

0

2

0

ω

ω

γω

ω

−

+

=

m

F

A

Możemy go zapisać tak:

( )

(

)

[

]

(

)

[

]

.

2

2

1

2

2

0

2

2

0

0

ω

γ

ω

ω

γω

ω

ω

ω

i

i

m

F

A

−

−

+

−

=

Ruchy w R1

31

Można, bez przesady powiedzieć, że liczby
zespolone gwarantują stabilność układów
drgających, a więc gwarantują stabilność materii.

Podstawowe składniki materii:
atomy, cz

ą

stki, j

ą

dra atomowe s

ą

oscylatorami harmonicznymi.
Równanie ruchu, które opisuje te
układy, równanie Schrödingera jest

Ruchy w R1

32

układy, równanie Schrödingera jest
równaniem dla zespolonej funkcji

.

( )

t

r ,

r

Ψ

Wzory do zapamiętania

( )

(

)

.

dx

dg

dg

dF

dx

x

g

dF

=

Pochodna funkcji złożonej:

Pochodna iloczynu funkcji:

Ruchy w R1

33

( ) ( )

[

]

( ) ( ) ( ) ( )

.

dx

x

dg

x

f

x

g

x

d

x

df

x

d

x

g

x

f

d

+

=

=

Wzory do zapamiętania

( )

( )

( )





Pochodna ilorazu funkcji:

Ruchy w R1

34

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

[ ]

.

2

x

g

dx

x

dg

x

f

x

g

dx

x

df

dx

x

g

x

f

d

−

=













Ponadczasowe zasady zachowania

Zasada zachowania pędu:

(

)

.

0

2

1

=

+

+

+

N

p

p

p

dt

d

r

L

r

r

Ruchy w R1

35

dt

( ) ( )

(

)

.

0

=

+

x

T

x

V

dt

d

Zasada zachowania energii dla sił potencjalnych:

1.9. Podsumowanie

Dynamika punktu materialnego

w jednym wymiarze

a. Istnieją układy inercyjne.

W układach inercyjnych spełnione są
Zasady Dynamiki Newtona. Ziemia nie

Ruchy w R1

36

Zasady Dynamiki Newtona. Ziemia nie
jest układem inercyjnym, jednak
odstępstwo od inercyjności jest niewielkie
i dlatego na Ziemi Zasady Dynamiki są
spełnione z dość dobrym przybliżeniem.

b. Istnieją siły potencjalne, to znaczy siły

spełniające warunek:

( )

( )

,

dx

x

dV

x

F

−

=

V(x) jest energią potencjalną. Przykłady sił

Ruchy w R1

37

( )

( )

( )

( )

.

,

2

,

,

2

2

1

2

1

x

g

m

x

V

x

k

x

V

g

m

x

F

x

k

x

F

−

=

=

=

−

=

V(x) jest energią potencjalną. Przykłady sił
potencjalnych:

( ) ( )

.

E

x

V

x

T

=

+

Zasada zachowania energii dla sił potencjalnych:

Ruchy w R1

38

.

2

1

stała

=

+

p

p

r

r

Zasada zachowania pędu w przypadku braku
sił zewnętrznych:

(

)

,

0

2

2

=

+

+

+

e

F

kx

dt

dx

c

dt

x

d

m

t

i

δ

ω

c. Oscylator harmoniczny:

Ruchy w R1

39

.

1

,

,

1

,

1

4

3

2

=

−

=

−

=

−

=

i

i

i

i

i

dt

dt

To jest ostatni slajd części drugiej rozdziału „Ruch
punktu materialnego w przestrzeni jednowymiarowej”.
Możesz:
•przejść do „Spisu treści” i wybrać kolejny rozdział,
•wrócić do materiału tego rozdziału,
•zakończyć pokaz.

40

Spis treści

Koniec
pokazu