Dynamika punktu materialnego

Dynamika to dział mechaniki, w którym bada się związki między wzajemnymi oddziaływaniami ciał i zmianami ich ruchu. Dynamika zajmuje się siłami działającymi na ciała i źródłami tych sił.

Punkt materialny to ciało, którego rozmiary są do zaniedbania w danym zagadnieniu dynamiki. Zaniedbujemy również rozkład przestrzenny masy tego ciała.

W wielu zagadnieniach, w których wymiary ciała nie są do pominięcia, możemy również stosować zasady dynamiki punktu materialnego w odniesieniu do środka masy tego ciała (jeśli uwzględniamy tylko ruch postępowy ciała, ale nie obrotowy).

Dynamika punktu materialnego - c.d.¹

DEFINICJE

Masa m ciała to wielkość fizyczna, charakteryzująca ciało:

1. miara „liczebności” materii (stąd stare definicje typu wzorca masy w Sèvres pod Paryżem albo definicje oparte na izotopie węgla C₁₂);

2. miara bezwładności ciała, czyli jego reakcja na działającą nań siłę oraz prędkość, osiągana pod działaniem tej siły;

Pęd to iloczyn masy ciała i jego prędkości wektorowej:

Siła to wielkość wektorowa, która jest miarą oddziaływania mechanicznego innych ciał na dane ciało; definiujemy ją jako zmianę pędu w czasie:

Dynamika punktu materialnego - c.d.²

Zasady dynamiki Newtona

Sformułowane przez Isaaca Newtona w jego pracy „Matematyczne zasady filozofii przyrody” (1687).

I. Zasada:

• Każde ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, dopóki działanie innych ciał nie zmusi go do zmiany tego stanu;

• Ciało pozostaje w stanie spoczynku lub stałej prędkości, gdy jest pozostawione samo sobie (działająca na nie siła wypadkowa jest równa zeru);

Inaczej nazywana zasadą bezwładności.

• obalenie nauki Arystotelesa: gdy nie ma sił zewnętrznych, ciała muszą się zatrzymać!

• istnienie inercjalnego układu odniesienia - czyli właśnie takiego, w którym ciało spoczywa jeśli nie działają na niego siły.

Dynamika punktu materialnego - c.d.³

Zasady dynamiki Newtona

II. Zasada:

• Zmiana ruchu jest proporcjonalna do przyłożonej siły i zachodzi w kierunku działającej siły;

• Tempo zmiany pędu ciała jest równe sile wypadkowej działającej na to ciało;

Dla ciał o stałej masie:

a stąd:

Jeżeli na ciało działa stała, niezrównoważona siłą wypadkowa
, to ciało to porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem proporcjonalnym do tej siły a odwrotnie proporcjonalnym do masy - miary bezwładności tego ciała.

Dynamika punktu materialnego - c.d.⁴

Zasady dynamiki Newtona

III. Zasada:

• Działania na siebie dwóch ciał są zawsze równe, lecz przeciwnie skierowane;

• Gdy dwa ciała oddziałują wzajemnie, to siła wywierana przez ciało drugie na pierwsze jest równa i przeciwnie skierowana do siły, jaką ciało pierwsze działa na drugie ciało;

Te siły oddziaływania między ciałami nazywane są siłami reakcji (albo: siłami oddziaływania).

Uwaga: siły reakcji działają na INNE ciała, więc nie można powiedzieć, że one się równoważą!

Dynamika punktu materialnego - c.d.⁵

Siły kontaktowe i siły tarcia

• Siły kontaktowe:

Gdy dwa ciała są dociskane do siebie, występują miedzy nimi siły kontaktowe, których źródłem jest siła odpychająca między atomami obu ciał.

• Siły normalne (prostopadłe):

Składowe sił kontaktowych, prostopadłe do powierzchni rozdzielających ciała (np. siła nacisku ciężaru na podłoże i siła reakcji podłoża na ten nacisk).

• Siły tarcia:

Równoległe do powierzchni styku dwóch ciał składowe siły kontaktowej.

• Współczynniki tarcia statycznego i kinetycznego:

(
to siła nacisku ciała na drugie ciało,
to siła tarcia)

Dynamika punktu materialnego - c.d.⁶

Rodzaje sił

• W fizyce współczesnej rozróżnia się cztery typy sił, działających między ciałami, powstające na wskutek oddziaływań między nimi:

1. grawitacyjne (siły przyciągania, związane z masą jako źródłem oddziaływania);

2. elektrostatyczne (siły przyciągania bądź odpychania, związane z obecnością nieskompensowanego ładunku elektrycznego bądź spowodowane rozkładem przestrzennego tego ładunku);

3. słabe (oddziaływania między cząstkami elementarnymi);

4. silne (jw.);

• Siłę grawitacyjną nazywamy inaczej ciężarem tego ciała. Równa jest ona iloczynowi masy
tego ciała i przyspieszenia grawitacyjnego
:

Rozwiązywanie zagadnień z dynamiki

• Wykres ciała swobodnego:

Jest to rysunek ciała i wszystkich sił działających na niego.

Przykład: Równia pochyła o kącie nachylenia θ a na niej ciało o masie m, które zsuwa się z równi z przyspieszeniem a. Współczynnik tarcia między ciałem a równią równy jest μ.

- siła grawitacji

- siła reakcji podłoża

- siła tarcia

Rozwiązywanie zagadnień z dynamiki - c.d.

c.d. przykładu z ciałem na równi pochyłej

wynik:

Zasada zachowania pędu

• Historycznie: zasadę zachowania pędu można wyprowadzić z II i III zasady dynamiki Newtona (podobnie jak zasadę zachowania energii) - jakkolwiek można postąpić dokładnie odwrotnie...

• W rzeczywistości można wyprowadzić zarówno zasady Newtona jak i zasady zachowania energii i pędu z praw jednorodności przestrzeni i czasu.

• Prawo jednorodności przestrzeni mówi, że wszystkie prawa fizyki są takie same we wszystkich położeniach w przestrzeni.

• Prawo jednorodności czasu znaczy, że prawa fizyki nie zmieniają się w czasie (a w konsekwencji: żadna stała fizyczna nie zmienia swej wartości w czasie).

• Pojęcie układu odosobnionego (zamkniętego, izolowanego): jest to układ, na który nie działają żadne siły zewnętrzne (źródła wszystkich sił znajdują się w obrębie samego układu; są to siły oddziaływania między ciałami układu).

Zasada zachowania pędu - c.d.¹

• Rozpatrzmy układ odosobniony złożony z n ciał o masach m₁, m₂,...,m_n. Ciała te mają prędkości v₁,v₂,...,v_n. Oznaczmy siły (wewnętrzne!) jakimi ciała działają na siebie jako: F_ik - siła, jaką ciało k-te działa na ciało i-te.

• Z II zasady dynamiki Newtona:

...

• Dodając stronami powyższe równania:

Zasada zachowania pędu - c.d.²

• Z III zasady dynamiki Newtona mamy:

• Podstawiając ten warunek do poprzedniego równania, otrzymujemy:

• Pęd układu równy jest sumie pędów poszczególnych elementów:

• Ostatecznie, otrzymujemy:

czyli:

Zasada zachowania pędu:

Pęd zamkniętego układu ciał nie zmienia się z upływem czasu.

Zasada zachowania pędu - c.d.³

• Podobny rezultat osiągniemy, gdy rozważymy działanie siły zewnętrznej a dokładniej: układ sił zewnętrznych, których wypadkową jest
. Wtedy:

Zmiana pędu układu jest równa wypadkowej sił zewnętrznych, działających na układ.

• Inna postać sformułowania zasady zachowania pędu:

Suma pędów wszystkich ciał układu w momencie początkowym równa się sumie pędów tych ciał w dowolnym momencie późniejszym.

(Najczęściej stosowana do zagadnienia zderzeń).

13

---