Wkład Leonharda Eulera w mechatronikę

Leonhard Euler (ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei, zm. 18 września 1783 w Petersburgu) - szwajcarski matematyk i fizyk; był pionierem w wielu obszarach obu tych nauk. Większą część życia spędził w Rosji i Prusach. Jest uważany za jednego z najbardziej produktywnych matematyków w historii[1].

Dokonał licznych odkryć w tak różnych gałęziach matematyki jak rachunek różniczkowy i całkowy i teoria grafów. Wniósł duży wkład w rozwój terminologii i notacji matematycznej, szczególnie trwały w dziedzinie analizy matematycznej. Jako pierwszy w historii użył na przykład pojęcia i oznaczenia funkcji. Opublikował wiele ważnych prac z zakresu mechaniki, optyki i astronomii.

Euler udowodnił tożsamości Newtona (wzory rekurencyjne wiążące sumy potęg wszystkich pierwiastków wielomianu z jego współczynnikami), małe twierdzenie Fermata, twierdzenie Fermata o sumie dwóch kwadratów i wniósł znaczący wkład do twierdzenia Lagrange'a o sumie czterech kwadratów. Odkrył też funkcję funkcję φ (zw. funkcją φ Eulera), przyporządkowującą każdej dodatniej liczbie całkowitej n liczbę mniejszą od n, która informuje ile jest liczb względnie pierwszych z n. Korzystając z właściwości tej funkcji Euler uogólnił małe twierdzenie Fermata w postaci znanej obecnie pod nazwą twierdzenia Eulera o liczbach względnie pierwszych. Uzyskał znaczne wyniki o liczbach doskonałych, które fascynowały ludzi od niepamiętnych czasów, a co najmniej matematyków od czasów Euklidesa - podstawowe twierdzenie o parzystych liczbach doskonałych jest pewną równoważnością, dowiedzioną w jedną stronę przez Euklidesa, a w drugą przez Eulera. Duży postęp poczynił w kierunku twierdzenia o liczbach pierwszych i domyślał się istnienia prawa wzajemności reszt kwadratowych. Te dwa ostatnie pomysły są uważane za fundamentalne dla teorii liczb; utorowały drogę przyszłym pracom Karola Gaussa.

W roku 1736 Euler rozwiązał problem znany jako zagadnienie mostów królewieckich. Królewiec w Prusach (obecnie Kaliningrad w Rosji) leży nad rzeką Pregołą na dwóch dużych wyspach, które w czasach Eulera były połączone - wzajemnie ze sobą i ze stałym lądem - siedmioma mostami. Pytanie brzmiało: czy jest możliwe przejście wszystkich siedmiu mostów tylko jeden raz. Odpowiedź, którą znalazł Euler, brzmi: nie; Euler dowiódł, że tzw.ścieżka Eulera przebiegająca raz i tylko raz przez wszystkie krawędzie grafu istnieje tylko wtedy, gdy liczba węzłów o nieparzystej liczbie krawędzi jest równa 0 lub 2. Rozwiązanie tego problemu jest uważane za pierwsze twierdzenie teorii grafów. Euler wprowadził też oznaczenie znane dziś pod nazwą charakterystyki Eulera powierzchni i dodatkowo wzór pokazujący że dla dowolnego wielościanu wypukłego wynosi ona 2 (twierdzenie Eulera dla wielościanów). Studia nad tym wzorem - zwłaszcza Cauchy'ego i L'Huilliera - i jego uogólnienie to początki topologii.

Niektóre z największych sukcesów Eulera wiążą się z użyciem metod analizy matematycznej w rozwiązywaniu problemów realnego świata; opisał liczne zastosowania: liczb Bernoulliego, szeregów Fouriera, diagramów Venna, liczb Eulera (związanych z rozwinięciem w wzór Taylora funkcji sekans i sekans hiperboliczny), stałych - e i π,ułamków łańcuchowych i całek. Zintegrował rachunek różniczkowy Leibniza z metodą fluksji Newtona i rozwinął narzędzia, które ułatwiły obliczenia fizyczne. Uczynił wiele dla rozwoju całkowania numerycznego, odkrywając metodę znaną dzisiaj pod postacią aproksymacji Eulera. Godnymi uwagi w dziedzinie aproksymacji są: metoda Eulera i wzór Eulera-Maclaurina. Ułatwił też używanie równań różniczkowych, zwłaszcza przez wprowadzenie stałej Eulera-Mascheroniego (γ):

Euler rozwinął model belki nazwany później modelem Bernoulliego-Eulera; stanowił on kamień węgielny nowoczesnej myśli inżynierskiej. Obok pomyślnego stosowania własnych narzędzi analitycznych w rozwiązywaniu problemów mechaniki klasycznej, Euler używał ich do rozwiązywania problemów astronomii sferycznej. Jego praca w dziedzinie astronomii znajdowała uznanie w paryskiej akademii, której nagrody wielokrotnie otrzymywał. Oto niektóre z astronomicznych osiągnięć Eulera: określanie z wielką dokładnością orbit komet i innych ciał niebieskich, wyjaśnienie natury komet i wyliczenie paralaksy Słońca. Jego obliczenia przyczyniły się do zwiększenia dokładności tabel długości geograficznej.

Euler wniósł też ważny wkład do rozwoju optyki. W swojej pracy Optyka nie zgadzał się z ówcześnie obowiązującą korpuskularną teorią światła Newtona. Jego praca z roku 1740 w dziedzinie optyki sprawiła, iż falowa teoria światła zaproponowana przez Huygensa stała się dominującym paradygmatem aż do czasu rozwinięcia kwantowej teorii światła, łączącej obydwa te podejścia.

Euler jest uznawany za autora użycia krzywych zamkniętych dla zilustrowania sylogistycznego rozumowania . Diagramy te stały się znane pod nazwą diagramów Eulera.

---