dr inż. Mariusz Frukacz

Ć

wiczenia z geodezji II

Transformacja współrzędnych prostokątnych płaskich sposobem Helmerta

Transformacja czteroparametrowa Helmerta wyrażona jest wzorami:

i

i

i

ay

bx

c

X

−

+

=

i

i

i

by

ax

d

Y

+

+

=

(1)

gdzie

x

i

, y

i

– współrzędne i-tego punktu w układzie pierwotnym,

X

i

,

Y

i

- współrzędne i-tego punktu w układzie wtórnym.

Wyznaczenie parametrów transformacji i ocena dokładności

1. Obliczenie wsp. środków ciężkości w obu układach (tylko z punktów dostosowania):

0

[ ]

i

x

x

n

=

;

0

[ ]

i

y

y

n

=

;

0

[

]

i

X

X

n

=

;

0

[ ]

i

Y

Y

n

=

(2)

2. Centrowanie współrz

ę

dnych (obliczenie wsp. zredukowanych o

ś

rodki ci

ęż

ko

ś

ci):

(

)

0

i

i

y

y

y

−

= ∆

,

(

)

0

i

i

x

x

x

−

= ∆

,

(

)

i

0

i

X

X

X

∆

=

−

,

(

)

i

0

i

Y

Y

Y

∆

=

−

(3)

3. Wyznaczenie parametrów transformacji:

(

)

(

)

∑

∑

=

=

∆

+

∆

∆

∆

−

∆

∆

=

n

1

i

2

i

2

i

n

1

i

i

i

i

i

y

x

X

y

Y

x

a

;

(

)

(

)

∑

∑

=

=

∆

+

∆

∆

∆

+

∆

∆

=

n

1

i

2

i

2

i

n

1

i

i

i

i

i

y

x

Y

y

X

x

b

(4)

0

0

0

c

y a

x b

X

=

−

+

;

0

0

0

d

x a

y b Y

= −

−

+

(5)

Je

ś

li (5) podstawimy do (1) to otrzymamy drug

ą

wersj

ę

wzorów na transformacj

ę

:

(

) (

)

0

0

0

i

i

i

X

X

x

x b

y

y

a

=

+

−

−

−

(

) (

)

0

0

0

i

i

i

Y

Y

x

x a

y

y b

= +

−

+

−

(6)

4. Obliczenie poprawek dla punktów dostosowania:

i

t

X

i

i

V

X

X

=

−

;

i

t

Y

i

i

V

Y

Y

= −

(7)

5. Ocena dokładno

ś

ci

2

2

0

0

2

2

4

i

i

V

V

m

m

n u

n

=

⇒

=

−

−

∑

∑

(8)

Jako kryterium oceny dokładno

ś

ci transformacji, w formie zgeneralizowanej, mo

ż

emy poda

ć

warunek

.

dop

p

0

m

2

1

m

≤

, gdzie

.

dop

p

m

jest dopuszczalnym

ś

rednim bł

ę

dem poło

ż

enia punktu w

okre

ś

lonej klasie osnowy.

dr inż. Mariusz Frukacz

Ć

wiczenia z geodezji II

6. Obliczenie korekt post-transformacyjnych Hausbrandta:

(

)

∑

∑

=

=

=

n

1

i

ji

n

1

i

i

X

ji

j

X

r

V

r

V

;

(

)

∑

∑

=

=

=

n

1

i

ji

n

1

i

i

Y

ji

j

Y

r

V

r

V

(9)

gdzie

2

j

i

2

j

i

2

ji

ji

)

Y

Y

(

)

X

X

(

1

d

1

r

−

+

−

=

=

(10)

r

ji

– waga (i = 1, 2, ... , n),

n – liczba punktów dostosowania.

Elementy przyj

ę

te do liczenia wag i ich oznaczenia zastosowane we wzorach (9) i (10) zilustrowano

na rysunku.

7. Obliczenie ostatecznych warto

ś

ci współrz

ę

dnych:

j

j

j

X

X

X

V

=

+

;

j

j

j

Y

Y

Y

V

= +

(11)

Wyznaczenie parametrów transformacji z zapisu macierzowego układu równań poprawek

1. Uło

ż

enie równa

ń

poprawek (wprowadzaj

ą

c (1) do (7)):

1

1

1

X

i

V

y a

x b c

X

=

−

− +

1

1

1

Y

i

V

x a

y b d

Y

= −

−

− +

........................................

(12)

n

X

n

n

n

V

y a

x b c

X

=

−

− +

n

Y

n

n

n

V

x a

y b d

Y

= −

−

− +

2. Zapis macierzowy wzorów (12) ma nast

ę

puj

ą

c

ą

posta

ć

:

L

AX

V

+

=

(13)

dr inż. Mariusz Frukacz

Ć

wiczenia z geodezji II

gdzie

V

V

V

V

V

n

Y

n

X

1

Y

1

X

=





































⋮

1

1

1

1

1 0

0

1

...................

...................

1 0

0

1

n

n

n

n

y

x

x

y

A

y

x

x

y

− −









−

−

−









=













− −





−

−

−









X

d

c

b

a

=

























L

Y

X

Y

X

n

n

1

1

=

































⋮

(14)

3. Stosuj

ą

c warunek

min

V

V

T

=

=

Φ

obliczamy wektor parametrów

( )

L

A

A

A

X

T

1

T

−

−

=

(15)

Punkty 4 –7 bez zmian.

Przykład:

Układ pierwotny:

Nr

X

Y

1

0.000

0.000

2

0.000

10.000

3

15.000

5.000

4

3.000

7.000

5

10.000

4.000

Układ wtórny:

Nr

X

Y

1

120.006

99.987

2

100.015

100.008

3

109.985

130.003