Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn

opracowa

ù: Bogdan LIGAJ

1

Zadanie 1

Na rysunku przedstawiono spos

ób obci¹¿enia belki siù¹ skupion¹ P o staùej wartoœci,

kierunku dzia

ùania i zwrocie. Belka wykonana zostaùa ze stali S235 i posiada na caùej

d

ùugoœci staùy przekrój.

P

a

L

B

z

A

y

x

W zadaniu nale

¿y przeprowadziã obliczenia maksymalnych naprê¿eñ zginaj¹cych 

g

,

maksymalnej strza

ùki ugiêcia f oraz masy belki m dla dziewiêciu najczêœciej stosowanych

przekroi. Ich kszta

ùt i wymiary okreœlono na rysunkach poni¿ej. Analizê wymienionych

parametr

ów nale¿y przeprowadziã dla czterech przypadków belek charakteryzuj¹cych siê:

a)

sta

ù¹ wartoœci¹ jednego z gùównych wymiarów przekroju,

b)

sta

ù¹ wartoœci¹ maksymalnej strzaùki ugiêcia,

c)

sta

ù¹ wartoœci¹ maksymalnych naprê¿eñ zginaj¹cych,

d)

sta

ù¹ mas¹.

Dane:

Szukane:

P = 4000 N



g

= ?

a = 500 mm

f = ?

L = 1000 mm

m = ?

E = 2.1

 10

5

MPa

 = 7.86 kg/dm

3

Rozwi

¹zanie:

1. Reakcje w podporach

R

A

= R

B

= P/2 = 2000 N

2. Moment gn

¹cy

M

g

= R

A

 a = 2000  500 =1 000 000 Nmm = 1 000 Nm

0

M

g

M

g

=R

A

 a

pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com

Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn

opracowa

ù: Bogdan LIGAJ

2

3. Obliczenia napr

ê¿eñ zginaj¹cych 

g

, strza

ùki ugiêcia f oraz masy m dla belki

posiadaj

¹cej staù¹ wartoœci¹ jednego z gùównych wymiarów przekroju

a. Kwadratowym (pr

êt kwadratowy)

Przyj

êto wymiary: H = 60 mm

Osiowy moment bezw

ùadnoœci

I

x

=

12

H

4

= 1080000 mm

4

Osiowy wska

ênik wytrzymaùoœci

W

x

=

6

H

3

= 36000 mm

3

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S = H

2

= 3600 mm

2

Maksymalna warto

œã strzaùki ugiêcia

f =

1080000

210000

48

1000

4000

I

E

48

L

P

3

x

3















= 0.367 mm

Maksymalna warto

œã naprê¿eñ zginaj¹cych



g

=

36000

10

1000

W

M

3

x

g





= 27.8

MPa

Masa belki

m = V

  = S  L   = (3600 1000  0,000001)  7.86 = 28.4 kg

b. Kwadratowym (pr

êt kwadratowy)

Przyj

êto wymiary: H = 60 mm

Osiowy moment bezw

ùadnoœci

I

x

=

12

H

4

= 1080000 mm

4

Osiowy wska

ênik wytrzymaùoœci

W

x

=

3

H

12

2 

= 25455.8 mm

3

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S = H

2

= 3600 mm

2

Maksymalna warto

œã strzaùki ugiêcia

f =

1080000

210000

48

1000

4000

I

E

48

L

P

3

x

3















= 0.367 mm

Maksymalna warto

œã naprê¿eñ zginaj¹cych



g

=

8

.

25455

10

1000

W

M

3

x

g





= 39.3

MPa

Masa belki

m = V

  = S  L   = (3600 1000  0,000001)  7.86 = 28.4 kg

H

x

x

y

y

H

H

x

x

y

y

H

Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn

opracowa

ù: Bogdan LIGAJ

3

c. Prostok

¹tnym (pùaskownik)

Przyj

êto wymiary: H = 60 mm, B = 15 mm

Osiowy moment bezw

ùadnoœci

I

x

=

12

H

B

3



= 270000 mm

4

Osiowy wska

ênik wytrzymaùoœci

W

x

=

6

H

B

2



= 9000 mm

3

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S = H

2

= 900 mm

2

Maksymalna warto

œã strzaùki ugiêcia

f =

270000

210000

48

1000

4000

I

E

48

L

P

3

x

3















= 1.470 mm

Maksymalna warto

œã naprê¿eñ zginaj¹cych



g

=

9000

10

1000

W

M

3

x

g





= 111.1 MPa

Masa belki

m = V

  = S  L   = (900 1000  0,000001)  7.86 = 7.1 kg

d. Prostok

¹tnym (pùaskownik)

Przyj

êto wymiary: H = 60 mm, B = 15 mm

Osiowy moment bezw

ùadnoœci

I

y

=

12

B

H

3



= 16875 mm

4

Osiowy wska

ênik wytrzymaùoœci

W

y

=

6

B

H

2



= 2250 mm

3

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S = H

2

= 900 mm

2

Maksymalna warto

œã strzaùki ugiêcia

f =

16875

210000

48

1000

4000

I

E

48

L

P

3

y

3















= 23.5 mm

Maksymalna warto

œã naprê¿eñ zginaj¹cych





g

=

2250

10

1000

W

M

3

y

g





= 444.4 MPa

Masa belki

m = V

  = S  L   = (900 1000  0,000001)  7.86 = 7.1 kg

B

x

x

y

y

H

H

y

y

x

x

B

Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn

opracowa

ù: Bogdan LIGAJ

4

e. Ko

ùowym (prêt okr¹gùy)

Przyj

êto wymiary: D = 60 mm

Osiowy moment bezw

ùadnoœci

I

x

=

64

D

4





= 636172.5 mm

4

Osiowy wska

ênik wytrzymaùoœci

W

x

=

32

D

3





= 21205.8 mm

3

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S =

4

D

2





= 2827.4 mm

2

Maksymalna warto

œã strzaùki ugiêcia

f =

5

.

636172

210000

48

1000

4000

I

E

48

L

P

3

x

3















= 0.624 mm

Maksymalna warto

œã naprê¿eñ zginaj¹cych



g

=

8

.

21205

10

1000

W

M

3

x

g





= 47.2 MPa

Masa belki

m = V

  = S  L   = (2827.4 1000  0,000001)  7.86 = 22.2 kg

f. Pier

œcieniowym (ksztaùtownik zamkniêty okr¹gùy)

Przyj

êto wymiary: D = 60 mm, g = 5 mm, d = D – 2g

Osiowy moment bezw

ùadnoœci

I

x

=





64

d

D

4

4







= 329376.4 mm

4

Osiowy wska

ênik wytrzymaùoœci

W

x

=

D

d

D

32

4

4







= 10979.2

mm

3

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S =





4

d

D

2

2







= 863.9 mm

2

Maksymalna warto

œã strzaùki ugiêcia

f =

4

.

329376

210000

48

1000

4000

I

E

48

L

P

3

x

3















= 1.20 mm

Maksymalna warto

œã naprê¿eñ zginaj¹cych



g

=

2

.

10979

10

1000

W

M

3

x

g





= 91.1 MPa

Masa belki

m = V

  = S  L   = (863.9 1000  0,000001)  7.86 = 6.8 kg

D

x

x

y

y

D

x

x

y

y

g

Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn

opracowa

ù: Bogdan LIGAJ

5

g. Kwadratowym

„pustym” w œrodku (ksztaùtownik zamkniêty kwadratowy)

Przyj

êto wymiary: H = 60 mm, g = 5 mm, h = H – 2g

Osiowy moment bezw

ùadnoœci

I

x

=

12

h

H

4

4



= 559166.7 mm

4

Osiowy wska

ênik wytrzymaùoœci

W

x

=

H

h

H

6

1

4

4





= 18638.9

mm

3

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S =

2

2

h

H



= 1100 mm

2

Maksymalna warto

œã strzaùki ugiêcia

f =

7

.

559166

210000

48

1000

4000

I

E

48

L

P

3

x

3















= 0.71 mm

Maksymalna warto

œã naprê¿eñ zginaj¹cych



g

=

9

.

18638

10

1000

W

M

3

x

g





= 53.7 MPa

Masa belki

m = V

  = S  L   = (1100 1000  0,000001)  7.86 = 8.6 kg

h. Kwadratowym

„pustym” w œrodku (ksztaùtownik zamkniêty kwadratowy)

Przyj

êto wymiary: H = 60 mm, g = 5 mm, h = H – 2g

Osiowy moment bezw

ùadnoœci

I

x

=

12

h

H

4

4



= 559166.7 mm

4

Osiowy wska

ênik wytrzymaùoœci

W

x

=

H

h

H

12

2

4

4





= 13179.7

mm

3

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S =

2

2

h

H



= 1100 mm

2

Maksymalna warto

œã strzaùki ugiêcia

f =

7

.

559166

210000

48

1000

4000

I

E

48

L

P

3

x

3















= 0.71 mm

Maksymalna warto

œã naprê¿eñ zginaj¹cych



g

=

7

.

13179

10

1000

W

M

3

x

g





= 75.9 MPa

Masa belki

m = V

  = S  L   = (1100 1000  0,000001)  7.86 = 8.6 kg

H

x

x

y

y

g

H

H

x

x

y

y

g

H

Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn

opracowa

ù: Bogdan LIGAJ

6

i. Prostok

¹tnym „pustym” w œrodku (ksztaùtownik zamkniêty prostok¹tny)

Przyj

êto wymiary: H = 60 mm, B = 40 mm, g = 5 mm

h = H

– 2g, b = B – 2g

Osiowy moment bezw

ùadnoœci

I

x

=

12

h

b

H

B

3

3







= 407500 mm

4

Osiowy wska

ênik wytrzymaùoœci

W

x

=

H

6

h

b

H

B

3

3









= 13583.3 mm

3

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S =

h

b

H

B







= 900 mm

2

Maksymalna warto

œã strzaùki ugiêcia

f =

407500

210000

48

1000

4000

I

E

48

L

P

3

x

3















= 0.97 mm

Maksymalna warto

œã naprê¿eñ zginaj¹cych



g

=

3

.

13583

10

1000

W

M

3

x

g





= 73.6 MPa

Masa belki

m = V

  = S  L   = (900 1000  0,000001)  7.86 = 7.1 kg

x

x

y

y

H

B

g

Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn

opracowa

ù: Bogdan LIGAJ

7

4. Obliczenia napr

ê¿eñ zginaj¹cych 

g

oraz masy

m dla belki posiadaj¹cej staù¹ wartoœã

maksymalnej strzaùki ugiêcia f

W obliczeniach przyj

êto, i¿ belkê bêdzie charakteryzowaùa staùa wartoœã strzaùki ugiêcia

f = 1mm. Po przekszta

ùceniu wzoru na strzaùkê ugiêcia okreœlono wartoœã osiowego

momentu bezw

ùadnoœci I

x

wymaganego dla analizowanych przekroi

1

210000

48

1000

4000

f

E

48

L

P

I

3

3

x

















= 396825.4 mm

4

Warto

œã osiowego momentu bezwùadnoœci posùu¿y do wyznaczenia wymiarów belki.

a. Kwadratowym (pr

êt kwadratowy)

Wymiary przekroju poprzecznego belki obliczamy ze
wzoru na osiowy moment bezw

ùadnoœci

H =

4

4

x

4

.

396825

12

I

12







= 46.7 mm

Osiowy wska

ênik wytrzymaùoœci

W

x

=

6

H

3

= 16989.6 mm

3

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S = H

2

= 2182.2 mm

2

Maksymalna warto

œã naprê¿eñ zginaj¹cych



g

=

6

.

16989

10

1000

W

M

3

x

g





= 58.9

MPa

Masa belki

m = V

  = S  L   = (2182.2 1000  0,000001)  7.86 = 17.2 kg

b. Kwadratowym (pr

êt kwadratowy)

Wymiary przekroju poprzecznego belki obliczamy ze
wzoru na osiowy moment bezw

ùadnoœci

H =

4

4

x

4

.

396825

12

I

12







= 46.7 mm

Osiowy wska

ênik wytrzymaùoœci

W

x

=

3

H

12

2 

= 12013.5 mm

3

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S = H

2

= 2182.2 mm

2

Maksymalna warto

œã naprê¿eñ zginaj¹cych



g

=

5

.

12013

10

1000

W

M

3

x

g





= 83.2

MPa

Masa belki

m = V

  = S  L   = (2182.2 1000  0,000001)  7.86 = 17.2 kg

H

x

x

y

y

H

H

x

x

y

y

H

Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn

opracowa

ù: Bogdan LIGAJ

8

c. Prostok

¹tnym (pùaskownik)

Przyj

êto, ¿e wymiar B =

H

4

1 

Wysoko

ϋ H przekroju poprzecznego belki obliczamy

ze wzoru na osiowy moment bezw

ùadnoœci, który po

podstawieniu i przekszta

ùceniu ma postaã

H =

4

4

x

4

.

396825

48

I

48







= 66.1 mm

B =

H

4

1 

=16.5 mm

Osiowy wska

ênik wytrzymaùoœci

W

x

=

6

H

B

2



= 12013.5 mm

3

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S =

H

B



= 1091.1 mm

2

Maksymalna warto

œã naprê¿eñ zginaj¹cych



g

=

5

.

12013

10

1000

W

M

3

x

g





= 83.2 MPa

Masa belki

m = V

  = S  L   = (1091.1 1000  0,000001)  7.86 = 8.6 kg

d. Prostok

¹tnym (pùaskownik)

Przyj

êto, ¿e wymiar B =

H

4

1 

Wysoko

ϋ H przekroju poprzecznego belki obliczamy

ze wzoru na osiowy moment bezw

ùadnoœci, który po

podstawieniu i przekszta

ùceniu ma postaã

H =

4

4

y

4

.

396825

768

I

768







= 132.1 mm

B =

H

4

1 

=33.0 mm

Osiowy wska

ênik wytrzymaùoœci

W

y

=

6

B

H

2



= 24027.0 mm

3

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S =

H

B



= 4364.4 mm

2

Maksymalna warto

œã naprê¿eñ zginaj¹cych





g

=

0

.

24027

10

1000

W

M

3

y

g





= 41.6 MPa

Masa belki

m = V

  = S  L   = (4364.4 1000  0,000001)  7.86 = 34.3 kg

B

x

x

y

y

H

H

y

y

x

x

B

Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn

opracowa

ù: Bogdan LIGAJ

9

e. Ko

ùowym (prêt okr¹gùy)

Wymiary przekroju poprzecznego belki obliczamy ze
wzoru na osiowy moment bezw

ùadnoœci

D =

4

4

x

4

.

396825

64

I

64











= 53.3 mm

Osiowy wska

ênik wytrzymaùoœci

W

x

= 14884.1 mm

3

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S = 2233.1 mm

2

Maksymalna warto

œã naprê¿eñ zginaj¹cych



g

= 67.2 MPa

Masa belki

m = 17.6 kg

f. Pier

œcieniowym (ksztaùtownik zamkniêty okr¹gùy)

Przyj

êto wymiary: g =

D

25

2 

, d = D

– 2g =

D

25

21 

Úrednicê D przekroju poprzecznego belki obliczamy

ze wzoru na osiowy moment bezw

ùadnoœci, który po

podstawieniu i przekszta

ùceniu ma postaã

D =

4

4

x

12259

4

.

396825

1562500

12259

I

1562500















= 63.3 mm

d =

3

.

63

25

21

D

25

21







= 53.2 mm

Osiowy wska

ênik wytrzymaùoœci

W

x

= 12529.3

mm

3

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S = 927.8 mm

2

Maksymalna warto

œã naprê¿eñ zginaj¹cych



g

= 79.8 MPa

Masa belki

m = 7.3 kg

D

x

x

y

y

D

x

x

y

y

g

Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn

opracowa

ù: Bogdan LIGAJ

10

g. Kwadratowym

„pustym” w œrodku (ksztaùtownik zamkniêty kwadratowy)

Przyj

êto wymiary: g =

H

25

2 

, h = H

– 2g =

H

25

21 

Wysoko

ϋ H przekroju poprzecznego belki obliczamy

ze wzoru na osiowy moment bezw

ùadnoœci, który po

podstawieniu i przekszta

ùceniu ma postaã

H=

4

4

x

49036

4

.

396825

1171875

49036

I

1171875







= 55.5 mm

h =

5

.

55

25

21

H

25

21







= 46.6 mm

Osiowy wska

ênik wytrzymaùoœci

W

x

=

H

h

H

6

1

4

4





= 14301.7

mm

3

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S =

2

2

h

H



= 906.6 mm

2

Maksymalna warto

œã naprê¿eñ zginaj¹cych



g

=

7

.

14301

10

1000

W

M

3

x

g





= 69.9 MPa

Masa belki

m = V

  = S  L   = (906.6 1000  0,000001)  7.86 = 7.1 kg

h. Kwadratowym

„pustym” w œrodku (ksztaùtownik zamkniêty kwadratowy)

Przyj

êto wymiary: g =

H

25

2 

, h = H

– 2g =

H

25

21 

Wysoko

ϋ H przekroju poprzecznego belki obliczamy

ze wzoru na osiowy moment bezw

ùadnoœci, który po

podstawieniu i przekszta

ùceniu ma postaã

H=

4

4

x

49036

4

.

396825

1171875

49036

I

1171875







= 55.5 mm

h =

5

.

55

25

21

H

25

21







= 46.6 mm

Osiowy wska

ênik wytrzymaùoœci

W

x

= 10112.8

mm

3

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S = 906.6 mm

2

Maksymalna warto

œã naprê¿eñ zginaj¹cych



g

= 98.9 MPa

Masa belki

m = 7.1 kg

H

x

x

y

y

g

H

H

x

x

y

y

g

H

Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn

opracowa

ù: Bogdan LIGAJ

11

i. Prostok

¹tnym „pustym” w œrodku (ksztaùtownik zamkniêty prostok¹tny)

Przyj

êto wymiary: g =

H

25

2 

, h = H

– 2g =

H

25

21 

B =

H

3

2 

, b = B

– 2g =

H

75

38 

Wysoko

ϋ H przekroju poprzecznego belki obliczamy

ze wzoru na osiowy moment bezw

ùadnoœci, który po

podstawieniu i przekszta

ùceniu ma postaã

H =

4

4

x

107333

4

.

396825

3515625

107333

I

3515625







= 60.0 mm

B =

0

.

60

3

2

H

3

2







= 40.0 mm

h =

0

.

60

25

21

H

25

21







= 50.4 mm

b =

0

.

60

75

38

H

75

38







= 30.4 mm

Osiowy wska

ênik wytrzymaùoœci

W

x

= 13217.9 mm

3

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S = 869.1 mm

2

Maksymalna warto

œã naprê¿eñ zginaj¹cych



g

= 75.7 MPa

Masa belki

m = 6.8 kg

x

x

y

y

H

B

g

Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn

opracowa

ù: Bogdan LIGAJ

12

5. Obliczenia strza

ùki ugiêcia f oraz masy m dla belki posiadaj¹cej staù¹ wartoœã

maksymalnych naprê¿eñ zginaj¹cych 

g

W obliczeniach przyj

êto, i¿ belkê bêdzie charakteryzowaùa staùa wartoœã maksymalnych

napr

ê¿eñ zginaj¹cych 

g

= 100 MPa. Na tej podstawie okre

œlono wartoœã osiowego

wska

ênika wytrzymaùoœci W

x

, jakim powinien charakteryzowa

ã przekrój

100

10

1000

M

W

3

g

g

x









= 10 000 mm

3

Warto

œã osiowego wskaênika wytrzymaùoœci posùu¿y do wyznaczenia wymiarów przekroju

belki.

a. Kwadratowym (pr

êt kwadratowy)

Wymiary przekroju poprzecznego belki obliczamy ze
wzoru na osiowy wska

ênik wytrzymaùoœci

H =

3

3

x

10000

6

W

6







= 39.1 mm

Osiowy moment bezw

ùadnoœci

I

x

=

12

H

4

= 195743.4 mm

4

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S = H

2

= 1532.6 mm

2

Maksymalna warto

œã strzaùki ugiêcia

f =

4

.

195743

210000

48

1000

4000

I

E

48

L

P

3

x

3















= 2.03 mm

Masa belki

m = V

  = S  L   = (1532.6 1000  0,000001)  7.86 = 12.0 kg

b. Kwadratowym (pr

êt kwadratowy)

Wymiary przekroju poprzecznego belki obliczamy ze
wzoru na osiowy wska

ênik wytrzymaùoœci

H =

3

3

x

2

10000

12

2

W

12







= 43.9 mm

Osiowy moment bezw

ùadnoœci

I

x

= 310723.3 mm

4

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S = 1931.0 mm

2

H

x

x

y

y

H

H

x

x

y

y

H

Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn

opracowa

ù: Bogdan LIGAJ

13

Maksymalna warto

œã strzaùki ugiêcia

f = 1.28 mm

Masa belki

m = 15.2 kg

c. Prostok

¹tnym (pùaskownik)

Przyj

êto, ¿e wymiar B =

H

4

1 

Wysoko

ϋ H przekroju poprzecznego belki obliczamy

ze wzoru na osiowy wska

ênik wytrzymaùoœci, który po

podstawieniu i przekszta

ùceniu ma postaã

H = 62.1 mm

B =

H

4

1 

=15.5 mm

Osiowy moment bezw

ùadnoœci

I

x

= 310723.3 mm

4

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S = 965.5 mm

2

Maksymalna warto

œã strzaùki ugiêcia

f = 1.28 mm

Masa belki

m = 7.6 kg

d. Prostok

¹tnym (pùaskownik)

Przyj

êto, ¿e wymiar B =

H

4

1 

Wysoko

ϋ H przekroju poprzecznego belki obliczamy

ze wzoru na osiowy wska

ênik wytrzymaùoœci, który po

podstawieniu i przekszta

ùceniu ma postaã

H = 98.6 mm

B =

H

4

1 

=24.7 mm

Osiowy moment bezw

ùadnoœci

I

y

= 123310.6 mm

4

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S = 2432.9 mm

2

Maksymalna warto

œã strzaùki ugiêcia

f = 3.22 mm

Masa belki

m = 19.1 kg

B

x

x

y

y

H

H

y

y

x

x

B

Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn

opracowa

ù: Bogdan LIGAJ

14

e. Ko

ùowym (prêt okr¹gùy)

Wymiary przekroju poprzecznego belki obliczamy ze
wzoru na osiowy wska

ênik wytrzymaùoœci

D = 46.7 mm
Osiowy moment bezw

ùadnoœci

I

x

= 233508.9 mm

4

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S = 1713.0 mm

2

Maksymalna warto

œã strzaùki ugiêcia

f = 1.70 mm

Masa belki

m = 13.5 kg

f. Pier

œcieniowym (ksztaùtownik zamkniêty okr¹gùy)

Przyj

êto wymiary: g =

D

25

2 

, d = D

– 2g =

D

25

21 

Úrednicê D przekroju poprzecznego belki obliczamy

ze wzoru na osiowy wska

ênik wytrzymaùoœci, który po

podstawieniu i przekszta

ùceniu ma postaã

D = 58.8 mm

d =

8

.

58

25

21

D

25

21







= 49.4 mm

Osiowy moment bezw

ùadnoœci

I

x

= 293786.1

mm

4

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S = 798.3 mm

2

Maksymalna warto

œã strzaùki ugiêcia

f = 1.35 mm

Masa belki

m = 6.3 kg

g. Kwadratowym

„pustym” w œrodku (ksztaùtownik zamkniêty kwadratowy)

Przyj

êto wymiary: g =

H

25

2 

, h = H

– 2g =

H

25

21 

Wysoko

ϋ H przekroju poprzecznego belki obliczamy

ze wzoru na osiowy wska

ênik wytrzymaùoœci, który po

podstawieniu i przekszta

ùceniu ma postaã

H=

4

3

x

98072

10000

1171875

98072

W

1171875







= 49.3 mm

h =

3

.

49

25

21

H

25

21







= 41.4 mm

H

x

x

y

y

g

H

D

x

x

y

y

D

x

x

y

y

g

Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn

opracowa

ù: Bogdan LIGAJ

15

Osiowy moment bezw

ùadnoœci

I

x

=

12

h

H

4

4



= 246272.0

mm

4

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S =

2

2

h

H



= 714.2 mm

2

Maksymalna warto

œã strzaùki ugiêcia

f =

0

.

246272

210000

48

1000

4000

I

E

48

L

P

3

x

3















= 1.60 mm

Masa belki

m = V

  = S  L   = (714.2 1000  0,000001)  7.86 = 5.6 kg

h. Kwadratowym

„pustym” w œrodku (ksztaùtownik zamkniêty kwadratowy)

Przyj

êto wymiary: g =

H

25

2 

, h = H

– 2g =

H

25

21 

Wysoko

ϋ H przekroju poprzecznego belki obliczamy

ze wzoru na osiowy wska

ênik wytrzymaùoœci, który po

podstawieniu i przekszta

ùceniu ma postaã

H = 55.3 mm

h =

3

.

55

25

21

H

25

21







= 46.4 mm

Osiowy moment bezw

ùadnoœci

I

x

= 390932.4

mm

4

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S = 899.9 mm

2

Maksymalna warto

œã strzaùki ugiêcia

f = 1.02 mm

Masa belki

m = 7.1 kg

i. Prostok

¹tnym „pustym” w œrodku (ksztaùtownik zamkniêty prostok¹tny)

Przyj

êto wymiary: g =

H

25

2 

, h = H

– 2g =

H

25

21 

B =

H

3

2 

, b = B

– 2g =

H

75

38 

Wysoko

ϋ H przekroju poprzecznego belki obliczamy

ze wzoru na osiowy wska

ênik wytrzymaùoœci, który po

podstawieniu i przekszta

ùceniu ma postaã

H = 54.7 mm

B =

7

.

54

3

2

H

3

2







= 36.5 mm

h =

7

.

54

25

21

H

25

21







= 46.0 mm

H

x

x

y

y

g

H

x

x

y

y

H

B

g

Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn

opracowa

ù: Bogdan LIGAJ

16

b =

7

.

54

75

38

H

75

38







= 27.7 mm

Osiowy moment bezw

ùadnoœci

I

x

= 273558.2 mm

4

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S = 721.6 mm

2

Maksymalna warto

œã strzaùki ugiêcia

f = 1.45 mm

Masa belki

m = 5.7 kg

Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn

opracowa

ù: Bogdan LIGAJ

17

6. Obliczenia strza

ùki ugiêcia f oraz naprê¿eñ zginaj¹cych 

g

dla belki posiadaj

¹cej staù¹

masê m

W obliczeniach przyj

êto, i¿ belkê bêdzie charakteryzowaùa staùa wartoœã masy m = 14

kg. Na tej podstawie mo

¿na okreœliã wartoœã pola powierzchni przekroju poprzecznego S

ze wzoru

000001

.

0

86

.

7

1000

14

L

m

S













= 1781.2 mm

2

Warto

œã pola powierzchni przekroju poprzecznego posùu¿y do wyznaczenia wymiarów

przekroju belki.

a. Kwadratowym (pr

êt kwadratowy)

Wymiary przekroju poprzecznego belki obliczamy ze
wzoru na pola powierzchni

H =

2

.

1781

S



= 42.2 mm

Osiowy moment bezw

ùadnoœci

I

x

=

12

H

4

= 264380.7 mm

4

Osiowy wska

ênik wytrzymaùoœci

W

x

=

6

H

3

= 12528.7

mm

3

Maksymalna warto

œã strzaùki ugiêcia

f =

7

.

264380

210000

48

1000

4000

I

E

48

L

P

3

x

3















= 1.50 mm

Maksymalna warto

œã naprê¿eñ zginaj¹cych



g

=

7

.

12528

10

1000

W

M

3

x

g





= 79.8 MPa

b. Kwadratowym (pr

êt kwadratowy)

Wymiary przekroju poprzecznego belki obliczamy ze
wzoru na pola powierzchni

H =

2

.

1781

S



= 42.2 mm

Osiowy moment bezw

ùadnoœci

I

x

=

12

H

4

= 264380.7 mm

4

Osiowy wska

ênik wytrzymaùoœci

W

x

=

12

H

2

3



= 8859.1

mm

3

H

x

x

y

y

H

H

x

x

y

y

H

Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn

opracowa

ù: Bogdan LIGAJ

18

Maksymalna warto

œã strzaùki ugiêcia

f =

7

.

264380

210000

48

1000

4000

I

E

48

L

P

3

x

3















= 1.50 mm

Maksymalna warto

œã naprê¿eñ zginaj¹cych



g

=

1

.

8859

10

1000

W

M

3

x

g





= 112.9 MPa

c. Prostok

¹tnym (pùaskownik)

Przyj

êto, ¿e wymiar B =

H

4

1 

Wysoko

ϋ H przekroju poprzecznego belki obliczamy

ze wzoru na pole powierzchni, kt

óry po podstawieniu

i przekszta

ùceniu ma postaã

H = 84.4 mm

B =

H

4

1 

= 21.1 mm

Osiowy moment bezw

ùadnoœci

I

x

= 1057522.8 mm

4

Osiowy wska

ênik wytrzymaùoœci

W

x

= 25057.5 mm

3

Maksymalna warto

œã strzaùki ugiêcia

f = 0.38 mm

Maksymalna warto

œã naprê¿eñ zginaj¹cych



g

= 39.9 MPa

d. Prostok

¹tnym (pùaskownik)

Przyj

êto, ¿e wymiar B =

H

4

1 

Wysoko

ϋ H przekroju poprzecznego belki obliczamy

ze wzoru na pole powierzchni, kt

óry po podstawieniu

i przekszta

ùceniu ma postaã

H = 84.4 mm

B =

H

4

1 

= 21.1 mm

Osiowy moment bezw

ùadnoœci

I

y

= 66095.2 mm

4

Osiowy wska

ênik wytrzymaùoœci

W

y

= 6264.4 mm

3

Maksymalna warto

œã strzaùki ugiêcia

f = 6.0 mm

Maksymalna warto

œã naprê¿eñ zginaj¹cych



g

= 159.6 MPa

B

x

x

y

y

H

H

y

y

x

x

B

Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn

opracowa

ù: Bogdan LIGAJ

19

e. Ko

ùowym (prêt okr¹gùy)

Wymiary przekroju poprzecznego belki obliczamy ze
wzoru na pole przekroju
D = 47.6 mm
Osiowy moment bezw

ùadnoœci

I

x

= 252465.0 mm

4

Osiowy wska

ênik wytrzymaùoœci

W

x

= 10602.9 mm

3

Maksymalna warto

œã strzaùki ugiêcia

f = 1.57 mm

Maksymalna warto

œã naprê¿eñ zginaj¹cych



g

= 94.3 MPa

f. Pier

œcieniowym (ksztaùtownik zamkniêty okr¹gùy)

Przyj

êto wymiary: g =

D

25

2 

, d = D

– 2g =

D

25

21 

Úrednicê D przekroju poprzecznego belki obliczamy

ze wzoru na pole powierzchni, kt

óry po podstawieniu

i przekszta

ùceniu ma postaã

D =















46

2

.

1781

625

46

S

625

= 87.8 mm

d =

8

.

87

25

21

D

25

21







= 73.7 mm

Osiowy moment bezw

ùadnoœci

I

x

=





64

d

D

4

4







= 1462650.3

mm

4

Osiowy wska

ênik wytrzymaùoœci

W

x

=





D

32

d

D

4

4









= 33329.7

mm

3

Maksymalna warto

œã strzaùki ugiêcia

f = 0.27 mm

Maksymalna warto

œã naprê¿eñ zginaj¹cych



g

= 30.0 MPa

D

x

x

y

y

D

x

x

y

y

g

Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn

opracowa

ù: Bogdan LIGAJ

20

g. Kwadratowym

„pustym” w œrodku (ksztaùtownik zamkniêty kwadratowy)

Przyj

êto wymiary: g =

H

25

2 

, h = H

– 2g =

H

25

21 

Wysoko

ϋ H przekroju poprzecznego belki obliczamy

ze wzoru na pole powierzchni, kt

óry po podstawieniu

i przekszta

ùceniu ma postaã

H=

184

2

.

1781

625

184

S

625







= 77.8 mm

h =

8

.

77

25

21

H

25

21







= 65.3 mm

Osiowy moment bezw

ùadnoœci

I

x

=

12

h

H

4

4



= 1531683.8

mm

4

Osiowy wska

ênik wytrzymaùoœci

W

x

=

H

6

h

H

4

4





= 39383.6

mm

3

Maksymalna warto

œã strzaùki ugiêcia

f =

8

.

1531683

210000

48

1000

4000

I

E

48

L

P

3

x

3















= 0.26 mm

Maksymalna warto

œã naprê¿eñ zginaj¹cych



g

=

6

.

39383

10

1000

W

M

3

x

g





= 25.4 MPa

h. Kwadratowym

„pustym” w œrodku (ksztaùtownik zamkniêty kwadratowy)

Przyj

êto wymiary: g =

H

25

2 

, h = H

– 2g =

H

25

21 

Wysoko

ϋ H przekroju poprzecznego belki obliczamy

ze wzoru na pole powierzchni, kt

óry po podstawieniu

i przekszta

ùceniu ma postaã

H = 77.8 mm
h = 65.3 mm
Osiowy moment bezw

ùadnoœci

I

x

= 1531683.8

mm

4

Osiowy wska

ênik wytrzymaùoœci

W

x

= 27848.4

mm

3

Maksymalna warto

œã strzaùki ugiêcia

f = 0.26 mm

Maksymalna warto

œã naprê¿eñ zginaj¹cych



g

= 35.9 MPa

H

x

x

y

y

g

H

H

x

x

y

y

g

H

Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn

opracowa

ù: Bogdan LIGAJ

21

i. Prostok

¹tnym „pustym” w œrodku (ksztaùtownik zamkniêty prostok¹tny)

Przyj

êto wymiary: g =

H

25

2 

, h = H

– 2g =

H

25

21 

B =

H

3

2 

, b = B

– 2g =

H

75

38 

Wysoko

ϋ H przekroju poprzecznego belki obliczamy

ze wzoru na pole powierzchni, kt

óry po podstawieniu

i przekszta

ùceniu ma postaã

H = 86.0 mm

B =

86.0

3

2

H

3

2







= 57.3 mm

h =

86.0

25

21

H

25

21







= 72.2 mm

b =

86.0

75

38

H

75

38







= 43.6 mm

Osiowy moment bezw

ùadnoœci

I

x

= 1666738.2 mm

4

Osiowy wska

ênik wytrzymaùoœci

W

x

= 38780.5 mm

3

Maksymalna warto

œã strzaùki ugiêcia

f = 0.24 mm

Maksymalna warto

œã naprê¿eñ zginaj¹cych



g

= 25.8 MPa

x

x

y

y

H

B

g

Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn

opracowa

ù: Bogdan LIGAJ

22

7. Zestawienie wynik

ów obliczeñ

W celu mo

¿liwoœci porównania wartoœci naprê¿eñ zginaj¹cych, strzaùki ugiêcia oraz masy

uzyskanych dla przyj

êtych przekroi belki, wyników obliczeñ zestawiono w postaci

wykres

ów.

23.5

6.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

A

B

C

D

E

F

G

H

I

St

rz

aù

ka

u

gi

êc

ia

, m

m

Sta

ùa wartoœã jednego z gùównych

wymiar

ów

Sta

ùa wartoœã strzaùki ugiêcia

Sta

ùa wartoœã naprê¿eñ zginaj¹cych

Sta

ùa masa

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

y

y

x

x

y

y

y

y

x

x

Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn

opracowa

ù: Bogdan LIGAJ

23

444.4 MPa

0.0

20.0

40.0

60.0

80.0

100.0

120.0

140.0

160.0

180.0

A

B

C

D

E

F

G

H

I

Na

pr

ê¿

en

ie,

M

Pa

Sta

ùa wartoœã jednego z gùównych wymiarów

Sta

ùa wartoœã strzaùki ugiêcia

Sta

ùa wartoœã naprê¿eñ zginaj¹cych

Sta

ùa masa

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

y

y

x

x

y

y

y

y

x

x

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

35.0

A

B

C

D

E

F

G

H

I

M

as

a,

k

g

Sta

ùa wartoœã jednego z gùównych wymiarów

Sta

ùa wartoœã strzaùki ugiêcia

Sta

ùa wartoœã naprê¿eñ zginaj¹cych

Sta

ùa masa

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

y

y

x

x

y

y

y

y

x

x