Hipotezy wytężeniowe; naprężeniowe zredukowane. Rozpatrujemy złożony, trójwymiarowy stan naprężenia σ

1

σ

2

σ

3.

Naprężenia zredukowane σ

zred

jest to zastępcze naprężenie rozciągające, powodujące takie samo niebezpieczeństwo zniszczenia, co dany

złożony stan naprężenia. Warunek wytrzymałości: σ

zred

≤ kr. Gdzie: kr- naprężenie dopuszczalne dla jednoosiowego rozciągania. Definicja

naprężenia zredukowanego wynika z przyjętej hipotezy wytężeniowej. Materiał izotropowy wykazuje we wszystkich kierunkach takie same
właściwości wytrzymałościowe. Dla materiałów symetrycznych: Rer=Rec= Re. Rer- granica plastyczności przy rozciąganiu, Rec- granica
wytrzymałości przy ściskaniu.
Naprężenia zredukowane wg. Hipotezy Hubera:
σ

zred

=√

σ

2

11

+ σ

22

2

+ σ

33

2

- σ

11

σ

22

-σ

22

σ

33

-σ

33

σ

11

+3(σ

12

2

+σ

23

2

+σ

31

2

) ≤kr=Re/n

e

.

n

e

- współczynik bezpieczeństwa,

lub: σ

zred

=√σ

1

2

+σ

2

2

+σ

3

2

–σ

12

-σ

23

-σ

31

≤kr=Re/n

e

.

Naprężenia zredukowane wg hipotezy Columa-Treski (hipotezy maksymalnych naprężeń stycznych)
σ

zred

=σ

max

- σ

min

=2σ

t max

≤kr- Re/n

e

.

σ

tmax

-maksymalne naprężenia styczne,

σ

max

, σ

min

- największe i najmniejsze naprężenia główne. Dla materiałów niesymetrycznych.

(Rr≡Rm)≠Rc. Materiały niesymetryczne- inne właściwości przy rozciąganiu i ściskaniu Rr≡Rm- granica wytrzymałości na rozciąganie, Rc-
granica wytrzymałości na ściskanie. Naprężenia zredukowane wg hipotezy Burzyńskiego
σ

zred

=z-1/2z * Iσ+ z+1/2z σ

H

≤Rm/n

m

gdzie: Iσ= σ

1

+σ

2

+σ

3

- 1-szy niezmiennik tensora naprężenia, σ

H

- naprężenia zredukowane Hubera, z=Rc/Rm, n

m

- współczynnik

bezpieczeństwa. Gdy Rm=Rc, to z=1 i naprężenia zredukowane Burzyńskiego stają się równe naprężeniom zredukowanym Hubera.
Naprężenia zred wg hipotezy Mohra-

бzred= бmax – 1/H * бmin ≤kr.

Wyznaczanie składowych tensora naprężenia w układzie współrzędnych obróconym względem dowolnego układu x

1

x

2

,

σ

nα

= ½(σ

11

+σ

22

)+ ½(σ

11

+σ

22

)cos2α + σ

12

sin2α

σ

n

= ½( σ

11

+σ

22

)- ½(σ

11

-σ

22

)cos2α – σ

12

sinα,

α

t α

= - ½(σ

11

-σ

22

)sin2α + σ

12

cos2α,

tg2α

0

= 2σ

12

/ σ

11

-σ

22

,

σ

n α

= ½(σ

1

+σ

2

)+ ½(σ

1

-σ

2

)cos2α,

σ

n (α+90)

= ½(σ

1

+σ

2

)- ½(σ

1

-σ

2

)cos2α,

α

t α

= - ½(σ

1

-σ

2

)sin2α.

Uogólnione prawo Hookea
Σ

11

= 1/E[σ

11

- V(б

22

+б

33

)] +α

T

∆T,

Σ

22

=1/E[б

22

-V(б

22

+б

33

)]+ α

T

∆T,

Σ

33

=1/E[б

33

- V(б

11

+б

22

)]+ α

T

∆T,

Σ

12

=б

12

/2G,

Σ

23

=б

23

/2G,

Σ

13

=б

13

/2G,

e= ∆V/V- odkształcenie objętościowe, V- objętość elementarnej kostki, ∆V- przyrost V,
e= Σ

11

+Σ

22

+Σ

33

= б

śr

/B,

б

śr

= 1/3(б

11

+б

22

+б

33

),

B= E/3(1-2V)- moment ściśliwości Helmholtza.
Prawo Hookea:
Σ

11

=1/E(б

11

-Vб

22

)

б

11

=E/1-V

2

(Σ

11

+VΣ

22

),

Σ

22

=1/E(б

22

-Vб

11

)

б

22

= E/1- V

2

(Σ

22

+VΣ

11

),

Σ

12

=б

12

/2G

б

12

=2GΣ

12

Stałe materiałowe- są to współrzędne tensorów sztywności i podatności. Ogólnie każdy z tych tensorów ma 81 współrzędnych jednak dla
materiału izotropowego ilość niezależnych współrzędnych zmniejsza się do 9. Zależność między modułami E,G,v dla izotropii wyprowadza
się zwykle analizując stan czystego ścinania. Wiadomo że stan ten można zrealizować poprzez jednoczesne rozciąganie i ściskanie na
kierunkach prostopadłych, nachylonych do płaszczyzny ścinania pod kątem 45. Naprężenia obrócone б

’

12

powodują powstawanie kąta:

α=1/2(π-Σ

12

) gdzie Σ’

12

= (1/2G)б

12

.

Kąt α można wyznaczyć przez odkształcenia
Σ

11

= -Σ

22

=Σ jako:

tgα= tg( ½ π-Σ’

12

)= 1-Σ

11

/1+Σ

22

=1-Σ/1+Σ,

stąd dla małych katów uzyskuje się Σ’

12

=Σ. Wykorzystując uogólnione prawo Hookea obliczamy: Σ=1/E*(1+V)б

11

, co po podstawieniu do

wyrażenia: Σ’

12

=(1/2G)*б’

12

, daje poszukiwaną zależność

G= E/3*(1-2V) pod ułamkiem wszystko.

Rozciąganie(ściskaniem)- nazywa się taki przypadek obciążenia pręta prostego, przy którym w dowolnym jego przekroju siłą wew jest siła
normalna do przekroju działającego wzdłuż osi pręta.
N(x)= P+całka od x do L po qdx,
N(x)=całka od A po б(x)da=б(x)A.
б(x)=N(x)/A- zasada de Sait-Venouta,
Σ(x)=б(x)/E, Σ(x)=N(x)/EA,
∆L=PL/EA- wydłużenie,
EA-sztywność na rozciąganie,
kr=б

dop

=Rm/n

m

- dla rozciągania,

kr=б

dop

=Rc/hc- dla ściskania.

Zasada de Saint de Venouta- uśrednianie wpływu sił w przekroju ciała znacznie odległego od punktów przyłożenia sił statycznych.


W ogólnym przypadku płaski stan naprężeń ma trójwymiarowy charakter i tensor naprężenia б ma 9 składników różnych od zera.
W płaskim stanie naprężenia. б

11

,б

22

- naprężenia normalne, б

12

=б

21

- naprężenia styczne. Pierwszy wskaźnik „i” składowej naprężenia б

ij

określa kierunek normalnej do powierzchni, na której składowa działa. Drugi wskaźnik „j” określa kierunek działania tej składowej.
Naprężenia normalne są dodatnie, gdy mają charakter rozciągający, a ujemne gdy mają charakter ściskający. Naprężenia styczne б

ij

są

dodatnie gdy na ścianie o większej współrzędnej x

i

mają zwrot zgodny z osią x

j

. Naprężenia główne (naprężenia w układzie osi głównych),

б

1

,б

2

- naprężenia główne o ekstremalnych wartościach spośród wszystkich naprężeń normalnych б

n α

, б

1

=бmax, б

2

=б min- spośród

wszystkich naprężeń. (macierz walimy 1), б

11

= 100MPa, б

12

= б

21

=50MPa, б

22

= -150MPa.

Naprężenia główne;
б

1

,б

2

= ½( б

11

+ б

22

)+- 1/2√( б

11

- б

22

)

2

+4 б

12

2

,

б

1

,б

2

= ½(100-150)+- 1/2√(100+150)

2

+4 50

2

= -22,5+- ½* 320,32= -22,5+- 160,1= 137,6 MPa i -182,6 MPa. Dla układów płaskich podać

zależność między składowymi stanu naprężenia i odkształcenia mając dane:
Σ

11

= 6*10

-3

, Σ

12

=4*10

-3

, Σ

22

=9* 10

-3

, V=0,3,

E= 2*10

5

MPa Moduł Kirchhoffa G=E/2(1+V)= 2*10

5

/2,6= 200000/2,6= 76923,1 MPa,

2Σ

12

= б

12

/G

б

12

=2Σ

12

*G, б

12

= 2*4*10

-3

*76923,1= 6,2 *10

5

*10

-3

= 6,2*10

2

=620, Σ

22

= 1/E(б

22

-V*б

11

), б

22

=E/1-V

2

(Σ

22

+VΣ

11

), Σ

11

= 1/E(б

11

-

Vб

22

), б

11

= E/1-V

2

(б

11

+Vб

22

). Wytężenia materiału dla naprężeń: б

1

=137,6 MPa, б

2

= -192,6 MPa macierz rysujemy od lewego rogu w dół

100, 50 i prawa strona 50, -150, б

0

=б

zred

≤Re. Naprężenia zredukowane wg hipotezy Hubera;

б

zred

=√ σ

2

11

+ σ

22

2

+ σ

33

2

- σ

11

σ

22

-σ

22

σ

33

-σ

33

σ

11

+3(σ

12

2

+σ

23

2

+σ

31

2

) ≤kr=Re/n

e

,

б

zred

(H)= √б

1

2

+б

2

2

+б

3

2

-б

1

б

2

-б

2

б

3

-б

3

б

1

≤kr,

Naprężenia zredukowane Coulomba-Treski
б

zred

= бmax-бmin=2,5

t max

≤kr=Re/ne,

Huber б

zred

(H)=√б

n

2

+3б

t

2

,

Coulomb-Treska б

zred

(c)= √ б

n

2

+4 б

t

2

.

Wyprowadzenie wzoru na naprężenia w skręconych cienkościennych rurach kołowych.
r-promień środka, δ-grubość ścianki, założenie б

t

=const, Da=r dβ δ,

MS=całka od 0 do 2π*r*б

t

*r*dβ*δ,

Ms= r

2

*δ* б

t

*2π, Ms= б

t

*2π*r

2

*δ,

б

t

=Ms/2π r

2

δ ≤kt.

Obliczenia naprężeń w prostokącie- б

1

=300/δ, б

zred

=√б

1

2

+б

2

2

-б

1

б

2

≤k, б

2

=200/δ, kr=250MPa, δ=264,5/250≥1,05.

Linia ugięcia belki:

ψ(α

i

)=dV/dx

1

- kąt ugięcia, V- ugięcie,

Hg(xi)=1/ρ(xi)= - d

2

V/dx

1

2

, Hg= 1/ρ= Mg/ EI

3

,

-Mg/EI

3

= d

2

V/dx

1

2

dla I

3

= const ,

EI

3

dV/dx

1

= EI

3

ψ(x

1

)= -SMg(x

1

)dx

1

+ C, EI

3

V(x

1

)= -S( SMg(x

1

)dx

1

+ Cx

1

+ D. Stałe C i D wyznacza się z warunków brzegowych dla x

1

=0 V(x

1

=0)=0, dla x

1

= l V(x 1=l)=0.

Rozciąganie(ściskaniem)- nazywa się taki przypadek obciążenia pręta prostego, przy którym w dowolnym jego przekroju siłą wew jest siła
normalna do przekroju działającego wzdłuż osi pręta.
N(x)= P+całka od x do L po qdx,
N(x)=całka od A po б(x)da=б(x)A.
б(x)=N(x)/A- zasada de Sait-Venouta,
Σ(x)=б(x)/E, Σ(x)=N(x)/EA,
∆L=PL/EA- wydłużenie,
EA-sztywność na rozciąganie, kr=б

dop

=Rm/n

m

- dla rozciągania, kr=б

dop

=Rc/hc- dla ściskania. Zasada de Saint de Venouta- uśrednianie

wpływu sił w przekroju ciała znacznie odległego od punktów przyłożenia sił statycznych.


Związki

konstytutywne

(fizyczne)-

Nazywamy zależności między stanem naprężenia a stanem odkształcenia. б

ij

=C

ijkl

Σ

kl

, ijkl-współrzędne tensora sztywności materiału C,

ijkl=1,2,3,
2 wymiarowy;
Σ

1

=1/E(б

1

-Vб

2

)

б

1

=E/1-V

2

(Σ

1

+VΣ

2

),

Σ

2

=1/E(б

2

-Vб

1

)

б

2

=E/1-V

2

(Σ

2

+VΣ

1

).

3 wymiarowy:
Σ

1

=1/E[б

1

-V(б

2

+б

3

)]

б

1

=E/1+V[(Σ

1

+V/1-2V)e],

Σ

2

=1/E[б

2

-V(б

3

+б

1

)]

б

2

=E/1+V[Σ

2

+(V/1-2V)e],

Σ

3

=1/E[б

3

-

V(б

1

+б

2

)]

б

3

=E/1+V[Σ

3

+(V/1-2V)e], б

1

+б

2

+ б

3

=б

m

= 3б

3V

,

e=Σ

1

+Σ

2

+Σ

3

e=б

śr

/B,

B=E/(1-2V)3,
e=б

śr

(1-2V)3/E,

0<V<0,5,
B-moduł ściśliwości Helmholtza, E- moduł sprężystości Younga, G-moduł Kirchoffa

moduł sprężystości postaciowej

Σ

1

+Σ

2

+Σ

3

=1/E(1-2V)(

б

1

+б

2

+ б

3

),

e-względne odkształcenie objętościowe.
Skręcanie- nazywa się ten przypadek, obciążenia pręta prostego przy którym w jego przekroju poprzecznym układ sił wew sprowadza się do
wektora momentu leżącego na osi tego pręta. Przypadek ten zachodzi wówczas kiedy obciążenie pręta prostego stanowią pory sił leżących na
osi tego pręta. Maksymalne naprężenia styczne: б

max

=Ms/Ws≥ks, Ms-wew moment skręcający, Ws-wskaźnik wytrzymałości przekroju, Is-

dopuszczalne naprężenie, GIs- sztywność, Kąt skręcenia: θ=dφ/dx=Ms/Gis, φ=całka od 0 do L MS/GIs po dx= MsL/GIs≤φdop, vs=
½(vw+vz), Ws=2π vs

2

δ, Is= 2π v

s

3

δ.