Zestaw C2

Zad. 1. W województwie X 10% ludności korzystała z ulgi podatkowej nieuczciwie. Po wprowadzeniu

nowych przepisów, istnieje obawa, że nastąpi wzrost nieuczciwych obywateli korzystających z tej ulgi.

Po przeprowadzeniu badania na 150 podatnikach, 21 korzystało niesłusznie z tej ulgi. Zweryfikuj tę

hipotezę na poziomie ufności 2%

Rozwiązanie:

Hipoteza zerowa H

0

:

݌ ≥ ݌

଴

Hipoteza alternatywna H

A

:

݌ < ݌

଴

Do weryfikacji hipotezy H

0

stosujemy test dla wskaźnika struktury oparty na statystyce:

ݐ =

݌ − ݌

଴

ට݌

଴

(1 − ݌

଴

)

݊

Statystyka ta przyjmuje postać standardowego rozkładu normalnego N(0,1).

Zbiór krytyczny wynosi

ܹ = (−∞, −ݐ

ଵିఈ

ሿ, gdzie t

1-α

jest kwantylem rzędu 1-α standardowego

rozkładu normalnego.

, gdzie:

α = 2%=0,02 <- poziom istotności

m=21 <- liczba elementów wyróżnionych

n=150 <- rozmiar próby

p=m/n=21/150=0,14 <- frakcja otrzymana z próby

p

0

=10%=0,1 <- hipotetyczna frakcja

t

1-α

=t

0,98

=2,05 <- kwantyl rzędu 0,98 rozkładu standardowego rozkładu normalnego

Zbiór krytyczny wynosi zatem:

ܹ = (−∞; −2,05ሿ

Natomiast wartość statystyki jest równa:

ݐ =

݌ − ݌

଴

ට݌

଴

(1 − ݌

଴

)

݊

=

0,14 − 0,1

ට0,1(1 − 0,1)

150

= 1,63

Wniosek: Wartość statystyki t=1,63 nie należy do zbioru krytycznego, zatem na poziomie istotności

0,02 nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Przyjmujemy zatem, że nastąpił wzrost

liczby nieuczciwych obywateli.