Zestaw 5.

Zadanie 5.1

Niech G b ¾

edzie podgrup ¾

a S

8

generowan ¾

a przez permutacje (123) (45) i (78). Wówczas

G

jako podgrupa grupy permutacji S

8

dzia÷

a na zbiór X = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8g poprzez lewe dzia÷anie

: G

X

! X;

( ; x) = (x):

Wyznaczy´c wszystkie orbity tego dzia÷

ania oraz stabilizatory wszystkich elementów zbioru X.

Zadanie 5.2

We´zmy dowoln ¾

a liczb ¾

e naturaln ¾

a n i rozwa·

zmy dzia÷

anie

: O(n)

R

n

! R

n

;

(A; x)

7! Ax

grupy ortogonalnej O(n) na R

n

. Wyznaczy´c orbity tego dzia÷

ania oraz grup ¾

e izotropii wektora e

1

z bazy standardowej przestrzeni wektorowej R

n

.

Zadanie 5.3

Niech

: G

X

! X b ¾

edzie lewym dzia÷

aniem grupy G na zbiorze X. Dla dowolnego

punktu x 2 X pokaza´c, ·

ze stabilizator punktu x jest normaln ¾

a podgrup ¾

a grupy G wtedy i tylko

wtedy, gdy wszystkie punkty z orbity punktu x maj ¾

a takie same stabilizatory.

Zadanie 5.4

Rozwa·

zmy dzia÷

anie T : O(1)

S

n

! S

n

grupy O(1) = f 1; 1g na n-wymiarow ¾

a sfer ¾

e

S

n

zde…niowane w ten sposób, ·

ze

T (a; x) = ax

dla dowolnych a 2 O(1), x 2 S

n

. Niech

: S

n

! S

n

=O(1); x

7! O(1)x

b ¾

edzie rzutowaniem. Przestrzeni ¾

a rzutow ¾

a w R

n+1

nazywamy przestrze´n orbit S

n

=O(1)

dzia÷

ania

T

razem z najbogatsz ¾

a topologi ¾

a, w której rzutowanie

jest odwzorowaniem ci ¾

ag÷

ym (topologi ¾

a

ilorazow ¾

a wyznaczon ¾

a przez

), tj. podzbiór U

S

n

=O(1)

jest otwarty w topologii ilorazowej

wtedy i tylko wtedy, gdy

1

[U ]

jest otwarty w S

n

, gdzie w S

n

mamy topologi ¾

e indukowan ¾

a z R

n+1

.

Przestrze´n rzutow ¾

a w R

n+1

oznaczamy symbolem RP

n

.

De…niujemy dzia÷

anie

: R

(R

n+1

n f0g) ! R

n+1

n f0g ;

(a; x)

7! ax:

Orbit ¾

e wyznaczon ¾

a przez x = (x

1

; : : : ; x

n+1

)

2 R

n+1

nf0g b ¾

edziemy oznacza´c symbolem [x

1

; : : : ; x

n+1

]

.

W przestrzeni orbit P = (R

n+1

n f0g)=R tego dzia÷ania wprowadzamy topologi¾

e ilorazow ¾

a wzgl ¾

edem

rzutowania

: R

n+1

n f0g ! P; (x

1

; : : : ; x

n+1

)

7 ! [x

1

; : : : ; x

n+1

] :

(a) Opisa´c orbity dzia÷

a´n T i

oraz stabilizatory ka·

zdego punktu wzgl ¾

edem tych dzia÷

a´n.

(b) Pokaza´c, ·

ze odwzorowanie

jest otwarte i domkni ¾

ete.

(c) Wykaza´c, ·

ze przestrzenie topologiczne RP

n

i P s ¾

a homeomor…czne. Homeomor…zmem jest

odwzorowanie

: P

! RP

n

;

([x

1

; : : : ; x

n

]) =

x

jjxjj

;

x

jjxjj

;

x = (x

1

; : : : ; x

n+1

)

2 R

n+1

n f0g. Pokaza´c najpierw poprawno´s´c de…nicji tego odwzorowania, tj.

niezale·

zno´s´c od wyboru reprezentantów.

(d) Obrazem

jS

n

jest P. Wywnioskowa´c st ¾

ad, ·

ze P jest zwart ¾

a i spójn ¾

a przestrzeni ¾

a topolog-

iczn ¾

a.

(e) Dla dowolnego k 2 f1; : : : ; n + 1g de…niujemy

U

k

=

[ (x

1

; : : : ; x

n+1

)

2 R

n+1

: x

k

6= 0

=

f[x

1

; : : : ; x

n+1

]

2 P : x

k

6= 0g

oraz odwzorowanie

{

k

: U

k

! R

n

; {

k

([x

1

; : : : ; x

n+1

]) =

x

1

x

k

;

x

2

x

k

; : : : ;

x

k 1

x

k

;

x

k+1

x

k

; : : : ;

x

n+1

x

k

:

Pokaza´c, ·

ze

n+1

[

k=1

U

k

= P

oraz f{

k

: k

2 f1; : : : ; n + 1gg jest rodzin ¾

a takich homeomor…zmów, ·

ze {

k

{

1

p

jest dyfeomor…zmem

klasy C

1

dla wszystkich p; k 2 f1; : : : ; n + 1g.

(f ) Dla ka·

zdego m 2 P istnieje jego takie spójne otoczenie (zbiór otwarty) U

P

, ·

ze (

jS

n

)

1

[U ]

jest sum ¾

a dwóch otwartych roz÷¾

acznych podzbiorów dyfeomor…cznych z U .

Zadanie 5.5

Niech

: G

X

! X,

: G

Y

! Y b ¾

ed ¾

a lewymi dzia÷

aniami grupy G odpowiednio

na zbiór X i zbiór Y . Pokaza´c, ·

ze odwzorowanie

( ; ) : G

(X

Y )

! X

Y;

(g; (x; y))

7 ! ( (g; x); (g; y))

jest lewym dzia÷

aniem grupy G na X

Y

. Dzia÷

anie to nazywamy diagonalnym dzia÷

aniem grupy

G

na iloczyn kartezja´nski X

Y

. Wykaza´c, ·

ze stabilizatorem elementu (x; y) 2 X

Y

jest cz ¾

e´s´c

wspólna stabilizatora Stab (x) punktu x wzgl ¾

edem dzia÷

ania

oraz stabilizatora Stab (y) punktu

y

wzgl ¾

edem dzia÷

ania

. Poda´c przyk÷

ad dzia÷

a´n tranzytywnych

: G

X

! X,

: G

Y

! Y ,

których dzia÷

anie diagonalne nie jest tranzytywne.

Zadanie 5.6

Niech fe

1

; e

2

; e

3

g b ¾

edzie kanoniczn ¾

a baz ¾

a przestrzeni wektorowej C

3

. De…niujemy

odwzorowanie T : S

3

C

3

! C

3

w ten sposób, ·

ze

T ( ; (z

1

; z

2

; z

3

)) = z

1

e

(1)

+ z

2

e

(2)

+ z

3

e

(3)

=

z

(1)

; z

(2)

; z

(3)

dla wszystkich

2 S

3

, (z

1

; z

2

; z

3

)

2 C

3

. Pokaza´c, ·

ze T jest dzia÷

aniem grupy permutacji S

3

na C

3

.

Wykaza´c, ·

ze podprzestrze´n wektorowa

V = (z

1

; z

2

; z

3

)

2 C

3

: z

1

+ z

2

+ z

3

= 0

przestrzeni C

3

jest niezmiennicza ze wzgl ¾

edu na reprezentacj ¾

e e

T : S

3

! Aut(C

3

)

S(C

3

)

odpowiada-

j ¾

acej dzia÷

aniu T , tj. e

T ( )[V ]

V

dla ka·

zdego

2 S

3

. Wyznacz orbity punktów e

1

; e

2

; e

3

; (i; 1; 0)

.

Czy dzia÷

anie T jest tranzytywne? Czy T jest wierne?

Pokaza´c, ·

ze

tr( e

T ( )) =

jfj 2 f1; 2; 3g :

(j) = j

gj

dla ka·

zdej permutacji

2 S

3

.

2