Zestaw 7.

Zadanie 7.1
Niech M

3;1

b ¾

edzie przestrzeni ¾

a Minkowskiego, tj. R

4

z funkcjona÷

em dwuliniowym

: R

4

R

4

! R;

((x

1

; x

2

; x

3

; y

4

); (y

1

; y

2

; y

3

; y

4

)) = x

1

y

1

+ x

2

y

2

+ x

3

y

3

x

4

y

4

:

(a) Wykaza´c, ·

ze przestrze´n Minkowskiego jest nieosobliwa ( jest niezdegenerowana).

(b) Pokaza´c, ·

ze w przestrzeni Minkowskiego dla ka·

zdych x; y; z 2 R, nie wszystkich równych zero

(x

2

+ y

2

+ z

2

> 0

), istnieje takie t 2 R, ·

ze wektor (x; y; z; t) jest izotropowy.

(c) W przestrzeni Minkowskiego wskaza´c, tak ¾

a dwuwymiarow ¾

a podprzestrze´n S, ·

ze istnieje niezerowy

wektor x 2 S, który jest prostopad÷y do ka·

zdego jej wektora.

Zadanie 7.2
Niech (V; !) b ¾

edzie przestrzeni ¾

a dwuliniow ¾

a nad cia÷

em K. Niech q(x) = !(x; x) oznacza norm ¾

e

wektora x 2 V
(a) Udowodni´c nast ¾

epuj ¾

ac ¾

a to·

zsamo´s´c Cauchy’ego:

q(x) (q(x)q(y)

!(x; y)!(y; x)) = q(q(x)y

!(x; y)x)

dla wszystkich x; y 2 V .

(b) Z punktu (a) wywnioskowa´c dla przestrzeni euklidesowej (V; !) nierówno´s´c Cauchy’ego-

Schwarza:

(!(x; y))

2

q(x) q(y)

dla dowolnych x; y 2 V:

Zadanie 7.3
W przestrzeni Minkowskiego M

3;1

wykaza´c nierówno´s´c typu Cauchy’ego-Schwarza:

( (x; y))

2

q(x) q(y)

dla wszystkich x; y 2 R

4

, takich ·

ze q(x) < 0 i q(y) < 0.

Zadanie 7.4
Udowodni´c, ·

ze ka·

zdy sko´nczony zbiór f

1

; : : : ;

n

g parami prostopad÷ych i nieizotropowych wektorów

przestrzenie re‡eksywnej (V; !) jest liniowo niezale·

zny w przestrzeni wektorowej V .

Zadanie 7.5
(a) Wyznaczy´c rz ¾

ad grupy klas kwadratów K = (K )

2

dla nast ¾

epuj ¾

acych cia÷

: K = C, K = R,

K = Q.
(b) Wykaza´c, ·

ze je´sli K jest cia÷

em sko´nczonym i char K = 2, to K = (K )

2

.

(c) Wykaza´c, ·

ze je´sli K jest cia÷

em sko´nczonym i char K 6= 2, to rz ¾

ad grupy K = (K )

2

jest równy 2.

(d) Wykaza´c, ·

ze je´sli K jest cia÷

em o charakterystyce 2, to (K )

2

jest podcia÷

em cia÷

a K.

Zadanie 7.6
Niech K b ¾

edzie dowolnym cia÷

em oraz niech a; b 2 K, ab (a + b) 6= 0. Wykaza´c, ·

ze macierze

a 0
0 b

;

a + b

0

0

ab(a + b)

s ¾

a kongruentne.