Zestaw 3.

Zadanie 3.1

Niech

b ¾

edzie niepustym zbiorem oraz niech

:

!

b ¾

edzie dzia÷

aniem

przyporz ¾

adkowuj ¾

acym podzbiorom A; B 2 2 ich ró·znic ¾

e symetryczn ¾

a A B = (A [ B) n (A \ B).

Pokaza´c, ·ze

z dzia÷

aniem

jest grup ¾

a, w której elementem neutralnym jest ?. Co to jest A

1

dla

dowolnego A 2 2 ?

Niech

=

f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7g, A = f1; 2; 3g, B = f3; 4; 5g i C = f5; 6; 7g. Rozwazwi ¾

a·z w grupie

( ;

) równania A X = B oraz A X B = C.

Zadanie 3.2

Pokaza´c, ·ze je´sli (G; ) jest grup ¾

a, w której (ab)

3

= a

3

b

3

oraz (ab)

5

= a

5

b

5

dla dowolnych

a; b

2 G, to grupa ta jest abelowa.

Zadanie 3.3

Niech (G; ) b ¾

edzie grup ¾

a, a 2 G. Zbiór

C(a) =

fg 2 G : g a = a gg

nazywamy centralizatorem elementu a w grupie G. Przez Z(G) oznaczmy centrum grupy G.

(a) Pokaza´c, ·ze C(a) jest podgrup ¾

a grupy G.

(b) W grupie S

3

znale´z´c C(x) dla ka·zdego x 2 S

3

.

(c) Pokaza´c, ·ze Z(G) =

\

a2G

C(a).

(d) Pokaza´c, ·ze a 2 Z(G) wtedy i tylko wtedy, gdy C(a) = G.
(e) Pokaza´c, ·ze C(x

1

ax) = x

1

C(a)x dla ka·zdego x

2 G.