Zestaw 2.

Zadanie 2.1

(a) Wyznaczy´c znaki permutacji

1

2

3

: : : 14 15

15 14 13 : : :

2

1

;

1

2

3

: : : 15 16

16 15 14 : : :

2

1

:

(b) Dla dowolnego n 2 N wyznaczy´c znak permutacji

1

2

3

: : : n

1 n

n n

1 n

2 : : :

2

1

.

(c) Pokaza´c, ·ze dla ka·zdego naturalnego n

3 grupa alternuj ¾

aca A

n

jest generowana przez cykle

d÷

ugo´sci 3.

(d) Dla parzystych permutacji z punktów (a), (b) wyznaczy´c ich rozk÷ady w postaci iloczynów cykli

d÷

ugo´sci 3.

Zadanie 2.2
Pokaza´c, ·ze je·zeli zbiory X i Y s ¾

a równoliczne, to ich grupy symetryczne S(X) i S(Y ) s ¾

a izomor-

…czne.

Zadanie 2.3

Niech

M =

x y

0 0

2 M

2;2

(R) : x; y 2 R b ¾

edzie podzbiorem zbioru M

2;2

(R) rzeczywistych macierzy

kwadratowych wymiaru 2

2. Zbada´c, ·ze

M z dzia÷aniem b ¾

ed ¾

acym mno·zeniem macierzy tworzy pó÷-

grup ¾

e. Zbada´c w tej pó÷grupie istnienie prawo- i lewostronnych elementów neutralnych. Wyznaczy´c

jej elementy, które maj ¾

a lew ¾

a- lub praw ¾

a odwrotno´s´c wzgl ¾

edem jej elementów neutralnych (jedno-

stronnych lub dwustronnych).

Zadanie 2.4
Niech X b ¾

edzie dowolnym zbiorem. Pokaza´c, ·ze 2

X

;

[ oraz 2

X

;

\ s ¾

a monoidami. Wyznaczy´c ich

elementy maj ¾

ace odwrotno´sci. Czy s ¾

a to grupy? Czy te monoidy s ¾

a izomor…czne?

Zadanie 2.5
Dla ka·zdej pary (a; b) 2 R

R de…niujemy odwzorowanie

T

(a;b)

: R ! R;

T

(a;b)

(t) = at + b:

Niech

T = T

(a;b)

2 R

R

: (a; b)

2 R

R oznacza zbiór wszystkich takich odwzorowa´n. Czy zbiór

T ze sk÷adaniem odwzorowa´n jest grupoidem, pó÷grup ¾

a, monoidem, grup ¾

a? Wyznaczy´c mo·zliwie

najwi ¾

ekszy podzbiór

T

0

zbioru

T , dla którego (T

0

; ) jest podgrup ¾

a grupy symetrycznej S(R). Czy

grupa ta jest abelowa? Wyznaczy´c centrum Z(

T

0

) grupy

T

0

, czyli zbiór wszystkich elementów U 2

T

0

, takich ·ze U

V = V

U

dla ka·zdego U 2 T

0

.

Zadanie 2.6
Niech R oraz R oznaczaj ¾

a odpowiednio multiplikatywn ¾

a i addytywn ¾

a grup ¾

e liczb rzeczywistych. Pokaza´c,

·

ze istnieje odwzorowanie F : R ! R spe÷niaj ¾

ace warunek

F (a b) = F (a) + F (b) dla ka·zdych a; b

2 R :

( )

Pokaza´c, ·ze ·zadne z odwzorowa´n F : R ! R spe÷niaj ¾

ace warunek ( ) nie jest ró·znowarto´sciowe

(w szczególno´sci nie jest bijekcj ¾

a). Czy izomor…czne s ¾

a grupy R

+

oraz R (R

+

oznacza grup ¾

e multi-

plikatywn ¾

a dodatnich liczb rzeczywistych z mno·zeniem liczb rzeczywistych)?

Zadanie 2.7
W zbiorze X = Q \ [0; 1] okre´slamy dzia÷ania Z; Y : X

X

! X,

a

Z b = min(a; b) =

a; je _zeli a

b;

b; je _zeli b

a;

a

Y b = max(a; b) =

a; je _zeli b

a;

b; je _zeli a

b:

Pokaza´c, ·ze (X;

Z), (X; Y) s ¾

a przemiennymi monoidami spe÷

niaj ¾

acymi prawa rozdzielno´sci:

(a

Y b) Z c = (a Z c) Y (b Z c) ; a Y (b Z c) = (a Y b) Z (a Y c)

dla ka·zdych a; b; c 2 X. Wyznaczy´c grupy elementów odwracalnych dla tych monoidów. Czy monoidy
(X;

Z), (X; Y) s ¾

a izomor…czne?